初一数学竞赛专题29 归纳与猜想

2024年3月19日发(作者：莱芜区2021数学试卷)

专题29 归纳与猜想

阅读与思考

当一个问题涉及相当多的乃至无穷多的情形时，可从问题的简单情形或特殊情况人手，通过对简

单情形或特殊情况的试验，从中发现一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径或方法，这种

研究问题的方法叫归纳猜想法.

归纳是建立在细致而深刻的观察基础上，发现往往是从观察开始的，观察是解决问题的先导，解

题中的观察活动主要有三条途径：

1．数与式的特征观察．

2．几何图形的结构观察．

3．通过对简单、特殊情况的观察，再推广到一般情况.

需要注意的是，用归纳猜想法得到的结果，常常具有或然性，它可能是成功的发现，也可能是失败

的尝试，需用合乎逻辑的推理步骤把它写成无懈可击的证明．

【例1】下图是飞行棋的一颗骰子，根据图中A，B，C三种状态所显示的数字，推出“？”处的数

字是___________.

（“东方航空杯”上海市竞赛试题）

(A) (B) (C)

解题思路：认真观察A，B，C三种状态所显示的数字，从中发现规律，作出推断。

【例2】如图，依次连结第一个正方形各边的中点得到第二个正方形，再依次连结第二个正方形各

边的中点得到第三个正方形，按此方法继续下去，若第一个正方形边长为1，则第n个正方形的面积是

____．

（湖北省武汉市竞赛试题）

解题思路：从观察分析图形的面积入手，先考察n＝1，2，3，4时的简单情形，进而作出猜想．

【例3】如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时

针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．

(1)“17”在射线____上．

(2) 请任意写出三条射线上数字的排列规律．

(3)“2 007”在哪条射线上？

（贵州省贵阳市中考试题）

解题思路：观察发现每条射线上的数除以6的余数相同．

【例4】观察按下列规则排成的一列数：

23451

1

，

2

，

1

，

3

，

2

，

1

，

4

，

3

，

2

，

1

，

5

，

4

，

3

，

2

，

1

，

6

，…(※)

2

(1)在(※)中，从左起第m个数记为F(m)，当F(m)＝

2001

时，求m的值和这m个数的积．

(2)在(※)中，未经约分且分母为2的数记为c．它后面的一个数记为d，是否存在这样的两个数c和

d，使cd＝2 001 000? 如果存在，求出c和d；如果不存在，请说明理由．

（湖北省竞赛试题）

解题思路：按分母递减而分子递增的变化规律，对原数列恰当分组，明确每组中数的个数与分母的

关系、未经约分且分母为2的数在每组中的位置，这是解本例的关键，

2＋32＋5

7

【例5】在2,3两个数之间，第一次写上

1

＝5，第二次在2.5之间和5，3之间分别写上

2

＝

2

5＋3

和

2

＝4，如图所示：

1

第k次操作是在上一次操作的基础上，在每两个相邻的数之间写上这两个数的和的

k

．

(1)请写出第3次操作后所得到的9个数，并求出它们的和．

(2)经过k次操作后所有的数的和记为S

k

，第k＋1次操作后所有数的和记为

S

k

＋

1

，写出S

k

＋

1

与S

k

之间的关系式．

(3)求S

6

的值．

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：(1)先得出第3次操作后所得到的9个数，再把它们相加即可．

(2)找到规律，即毒次操作几个数的时候，除了头尾两个数2和3之外，中间的

n－2个数均重复计算了2次，用S

k

表示出S

k

＋

1

(3)根据(1)，(2)可算出S

6

的值．