2024年4月4日发(作者：河北学考数学试卷2020)
2015
年湖北省高考数学试卷
（
理科
）
一
、
选择题
：
本大题共
10
小题
，
每小题
5
分
，
共
50
分.在每小题给出的四个选
项中
，
只有一项是符合题目要求的.
1.
（
5
分
）
i
为虚数单位
，
］
6
。
7
的共轲复数为
（
A.
i
）
D.
-
1
B.
-
i
C.
1
2.
（
5
分
）
我国古代数学名著
《
九章算术
》
有\"米谷粒分〃题
：
粮仓开仓收粮
，
有
人送来米
1534
石
，
验得米内夹谷
，
抽样取米一把
，
数得
254
粒内夹谷
28
粒
，
则这批米内夹谷约为
（
A.
134
石
）
C.
338
石
B.
169
石
D,
1365
石
3.
（
5
分
）
已知
（
1+x
）
n
的展开式中第
4
项与第
8
项的二项式系数相等
，
则奇数
项的二项式系数和为
（
A.
2
12
B.
2
11
）
C.
2
10
D.
2
9
4.
（
5
分
）
设
X
—
N
（
山
，
oi
2
）,
Y
〜
N
（
由，
廿
）
，
这两个正态分布密度曲线如图
所示.下列结论中正确的是
（
）
C.
对任意正数
t,
P
（
XWt
）
NP
（
YWt
）
D.
对任意正数
t,
P
（
XNt
）
3P
（
YNt
）
5.
（
5
分
）
设
ai
，
a?,
a
n
^R.
nN3.
若
p
：
a
2
,
an
成等比数列
；
q
：
（
ai
2
+a2
2
+...+a
n
-i
2）
（
a2
2
+a3
2
+...+an
2
）
=
（
aia2+a2a3+...+a
n
-ia
n
）
2
,
则
（
A.
p
是
q
的充分条件
，
但不是
q
的必要条件
）
B.
p
是
q
的必要条件
，
但不是
q
的充分条件
C.
p
是
q
的充分必要条件
D.
p
既不是
q
的充分条件
，
也不是
q
的必要条件
1,
K>0
6.
(5
分)已知符号函数
sgnx=
0,
x=0
,
f
(x)
是
R
上的增函数
，
g
(x)
=f
-1,
x<
0
(x)
-
f
(ax)
(a>l),
贝!
J
(
A.
sgn[g
(x)
]
=sgnx
C.
sgn[g
(x)
]=sgn
[f
(x)
]
)
B.
sgn[g
(x)
]=
-
sgnx
D.
sgn[g
(x)
]=
-
sgn
[f
(x)
]
7.
（
5
分
）
在区间
[0,
1]
上随机取两个数
x,
y,
记
Pi
为事件
“
x+yN*
的概率,
P2
为事件
\"|x-y|W»
的概率
，
P3
为事件
“
xyW»
的概率
，
则
（
2
2
）
A.
Pi 2 3 B. P2VP3VP1 C. P3VP1VP2 D. P3VP2VP1 8. （ 5 分 ） 将离心率为 ei 的双曲线 Ci 的实半轴长 a 和虚半轴长 b （ a 尹 b ） 同时增 加 m （ m>0 ） 个单位长度 ， 得到离心率为 e2 的双曲线 C2 ， 则 （ A. 对任意的 a, b, ei>e 2 ） B. 当 a>b 时 ， ei>e2 ； 当 a 时 ， ei C. 对任意的 a, b, ei 2 D. 当 a>b 时 ， ei ； 当 a 时 ， ei>e2 9. （ 5 分 ） 已知集合 A={ （ x, y ） Ix 2 +y 2 x, yGZ}, B={ （ x, y ） ||x|W2, |y|W2, x, yCZ}, 定义集合 AffiB={ （ X1+X2 ， yi+y2 ） （ xi ， yi ） GA, （ X2 ， y 2 ）GB}, 则 A®B 中元素的个数为 （ A. 77 B. 49 ） C. 45 D. 30 10. （ 5 分 ） 设 xUR, [x] 表示不超过 x 的最大整数.若存在实数 t, 使得 [t]=l, [t 2 ]=2, [t n ]=n 同时成立 ， 则正整数 n 的最大值是 （ A. 3 B. 4 C. 5 ） D. 6 二 、 填空题 ： 本大题共 4 小题 ， 考生需作答 5 小题 ， 每小题 5 分 ， 共 25 分.请 将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置 ， 书写不清 ， 模棱两可均不 得分. 11. （ 5 分 ） 已知向量 0A± AB ， I 0Al=3, 则菰•岳 ・ 12. （ 5 分 ） 函数 f （ x ） =4 cos 2 A cos - x ） - 2sinx - | In （ x+1 ） | 的零点个数 为 . 13. （ 5 分 ） 如图 ， 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶 ， 到 A 处时测得公 路北侧一山顶 D 在西偏北 30 。 的方向上 ， 行驶 600m 后到达 B 处 ， 测得此山顶 在西偏北 75 。的方向上 ， 仰角为 30 。 ， 则此山的高度 CD=m. 14. （ 5 分 ） 如图 ， 圆 C 与 x 轴相切于点 T （ 1, 0 ） , 与 y 轴正半轴交于两点 A, B （ B 在 A 的上方 ） ,且 AB =2. （ 1 ） 圆 C 的标准方程为 （ 2 ） 过点 A 任作一条直线与圆 O ： x 2 +y 2 =l 相交于 M, N 两点 ， 下列三个结论: ① INA| =|MA |NB| I MB @ NB| _ |MA - 2 . D NA I IMB \' ③卧折而 其中正确结论的序号是 . （ 写出所有正确结论的序号 ） 选修 4-1 ： 几何证明选讲 15. （ 5 分 ） 如图 ， PA 是圆的切线 ， A 为切点 ， PBC 是圆的割线 ， 且 BC=3PB, 则 AB_ — . AC p B C 选修 4-4 ： 坐标系与参数方程 16. 在直角坐标系 xOy 中 ， 以 。 为极点 ， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已 一 知直线 I 的极坐标方程为 p （ sin0 - 3cos0 ） =O, 曲线 C 的参数方程为 ｛ f 1 x=t- 罕 （ t 阡 t + 斗 为参数 ） ， I 与 C 相交于 A, B 两点 ， 则 |AB|= . 三 、 解答题 ： 本大题共 6 小题 ， 共 75 分.解答应写出文字说明 、 证明过程或演 算步骤. 17. （ 11 分 ） 某同学用 “ 五点法 ” 画函数 f （ x ） =Asin （ 3x+ 。 ） （ w>0, |4 ） |<2L ） 2 在某一个周期内的图象时 ， 列表并填入了部分数据 ， 如表 ： cox + 巾 0 兀 n 2 3 兀 2 5 兀 6 2n X 兀 3 Asin （ cox + 巾 ） 0 5 - 5 0 （ 1 ） 请将上表数据补充完整 ， 填写在相应位置 ， 并直接写出函数 f （ x ） 的解析 式 ； （ 2 ） 将 y=f （ X ） 图象上所有点向左平行移动 e （ e>0 ） 个单位长度 ， 得到 y=g （ x ） 的图象.若 y=g （ x ） 图象的一个对称中心为 （ &2L, o ） , 求 e 的最小值. 12 18. （ 12 分 ） 设等差数列 ｛ a ， 的公差为 d, 前 n 项和 为 S® 等比数列 ｛ bn ｝ 的公比 为 q, 已知 bi=ai ， b2=2, q=d, Sw=100. （ 1 ） 求数列 ｛ an ｝ , ｛ bn ｝ 的通项公式 （ 2 ） 当 d>l 时 ， is Cn= — , 求数列 ｛ Cn ｝ 的前 n 项和 Tn. b n 19. （ 12 分 ） 《 九章算术 》 中 ， 将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱 锥称之为阳马 ， 将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖席.如图 ， 在阳 马 P - ABCD 中 ， 侧棱 PDL 底面 ABCD, 且 PD=CD, 过棱 PC 的中点 E, 作 EF LPB 交 PB 于点 F, 连接 DE, DF, BD, BE. （ 1 ） 证明 ： PBL 平面 DEF. 试判断四面体 DBEF 是否为鳖孺 ， 若是 ， 写出其每个 面的直角 （ 只需写出结论 ） ； 若不是 ， 说明理由 ； （ 2 ） 若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为 2L, 求匹的值. 3 BC 20. （ 12 分 ） 某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 A, B 两种奶制品.生产 1 吨 A 产 品需鲜牛奶 2 吨 ， 使用设备 1 小时 ， 获利 1000 元 ； 生产 1 吨 B 产品需鲜牛奶 1.5 吨 ， 使用设备 1.5 小时 ， 获利 1200 元.要求每天 B 产品的产量不超过 A 产品产量的 2 倍 ， 设备每天生产 A, B 两种产品时间之和不超过 12 小时.假 定每天可获取的鲜牛奶数量 W （ 单位 ： 吨 ） 是一个随机变量 ， 其分布列为 W 12 0.3 15 18 P 0.5 0.2 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产 ， 使其获利最大 ， 因此每天的最大获利 Z （ 单位 ： 元 ） 是一个随机变量. （ 1 ） 求 Z 的分布列和均值 ； （ 2 ） 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立 ， 求 3 天中至少有 1 天的最大获利超 过 10000 元的概率. 21. （ 14 分 ） 一种画椭圆的工具如图 1 所示. 0 是滑槽 AB 的中点 ， 短杆 ON 可 绕 0 转动 ， 长杆 MN 通过 N 处钗链与 ON 连接 ， MN ± 的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动 ， 且 DN=ON=1, MN=3, 当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时 ， 带动 N 绕 0 转动 ， M 处的笔尖画出的椭圆记为 C, 以 。 为原点 ， AB 所在的直线为 x 轴 建立如图 2 所示的平面直角坐标系. （ 1 ） 求椭圆 C 的方程 ； （ 2 ） 设动直线 I 与两定直线 11： x - 2y=0 和 l 2 ： x+2y=0 分别交于 P, Q 两点.若 直线 I 总与椭圆 C 有且只有一个公共点 ， 试探究 ：八 。 ? 。 的面积是否存在最 小值 ？ 若存在 ， 求出该最小值 ； 若不存在 ， 说明理由. 22. (14 分)已知数列 &} 的各项均为正数 ， b n =n (1+1) n a n (n£N + ), e 为自 n 然对数的底数. (1) 求函数 f (x) =l+x - e x 的单调区间 ， 并比较 (1+1) n 与 e 的大小 ； n u u k b i b ob k u ... u (2) 计算旦 ， 也典 ， ------ ， 由此推测计算 2 典 ■的公式,并给出证明; 3, | 3 1 3,2 3 1 3,2 0.^**\' 3^ (3) 令 Cn= (aia 2 ...a n ) n, 数列 (an } , Tn VeSn・ {c n } 的前 n 项和分别记为 Sn ， T n, 证明: 2015 年湖北省高考数学试卷 （ 理科 ） 参考答案与试题解析 一 、 选择题 ： 本大题共 10 小题 ， 每小题 5 分 ， 共 50 分.在每小题给出的四个选 项中 ， 只有一项是符合题目要求的. 1. （ 5 分 ） i 为虚数单位 ， 16 。 7 的共轲复数为 （ A. i B. - i C. 1 ） D. - 1 【 考点 】 A1 ： 虚数单位 i 、 复数. 【 专题 】 5N ： 数系的扩充和复数. 【 分析 】 直接利用复数的单位的幕运算求解即可. 【 解答 】 解 ： i 607 =i 604+3 =i3 = - i, 它的共轲复数为 ： i. 故选 ： A. 【 点评 】 本题考查复数的基本运算 ， 复式单位的幕运算以及共轲复数的知识 ， 基 本知识的考查. 2. （ 5 分 ） 我国古代数学名著 《 九章算术 》 有\"米谷粒分\"题： 粮仓开仓收粮 ， 有 人送来米 1534 石 ， 验得米内夹谷 ， 抽样取米一把 ， 数得 254 粒内夹谷 28 粒 ， 则这批米内夹谷约为 （ A. 134 石 ） C. 338 石 B. 169 石 D, 1365 石 【 考点 】 B2 ： 简单随机抽样. 【 专题 】 11 ： 计算题 ； 51 ： 概率与统计. 【 分析 】 根据 254 粒内夹谷 28 粒 ， 可得比例 ， 即可得出结论. 【 解答 】 解 ： 由题意 ， 这批米内夹谷约为 1534X^-^169 石 ， 254 故选 ： B. 【 点评 】 本题考查利用数学知识解决实际问题 ， 考查学生的计算能力 ， 比较基础. 3. （ 5 分 ） 已知 （ 1+x ） n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等 ， 则奇数 项的二项式系数和为 （ A. 2 12 B. 2 11 ） C. 2 10 D. 2 9 【 考点 】 DA ： 二项式定理. 【 专题 】 5P ： 二项式定理. 【 分析 】 直接利用二项式定理求出 n, 然后利用二项式定理系数的性质求出结果 即可. 【 解答 】 解 ： 已知 （ 1+x ） n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等 ， 可得 c3 = C ‘ ， 可得 n=3+7=10. （ 1+x ） 1 。 的展开式中奇数项的二项式系数和为 ： 1 X2 1Q =2 9 . 2 故选 ： D. 【 点评 】 本题考查二项式定理的应用 ， 组合数的形状的应用 ， 考查基本知识的灵 活运用以及计算能力. 4. （ 5 分 ） 设 X〜 N （ m ， oi 2 ）, Y 〜 N （ 由， o 2 2 ） , 这两个正态分布密度曲线如图 所示.下列结论中正确的是 （ ） A. P (YN|12)3P (Y^m) B. P (XWO2)WP (XWoi) C. 对任意正数 t, P (XWt) NP (YWt) D. 对任意正数 t, P (XNt) NP (YNt) 【 考点 】 CP ： 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 【 专题 】 51 ： 概率与统计. 【 分析 】 直接利用正态分布曲线的特征 ， 集合概率 ， 直接判断即可. 【 解答 】 解 ： 正态分布密度曲线图象关于 x=n 对称 ， 所以从图中容易得 到 P (XWt) NP (YWt). 【 点评 】 本题考查了正态分布的图象与性质 ， 学习正态分布 ， 一定要紧紧抓住平 均数 H 和标准差 。 这两个关键量 ， 结合正态曲线的图形特征 ， 归纳正态曲线 的性质. 5. (5 分)设 ai ， a?, … ， a n ^R. nN3. 若 p ： a ” a2 ， an 成等比数列 ； q ： (ai 2 +a2 2 +...+a n -i 2 ) (a2 2 +a3 2 +...+an 2 ) = (aia2+a2a3+...+a n -ia n ) 2 > 则 ( ) A. p 是 q 的充分条件 ， 但不是 q 的必要条件 B. p 是 q 的必要条件 ， 但不是 q 的充分条件 C. p 是 q 的充分必要条件 D. p 既不是 q 的充分条件 ， 也不是 q 的必要条件 【 考点 】 87 ： 等比数列的性质. 【 专题 】 54 ： 等差数列与等比数列 ； 5L ： 简易逻辑. 【 分析 】 运用柯西不等式 ， 可得 ： ( ai 2 +a 2 2 +...+a n - 1 2 ) ( a 2 2 +a 3 2 +...+an 2 ) N (aia2+a 2 a 3 +..+a n -ia n ) 2 , 讨论等号成立的条件 ， 结合等比数列的定义和充分 必要条件的定义 ， 即可得到. 【 解答 】 解 ： 由 a ” a2 ， … ， anCR, nN3. 运用柯西不等式 ， 可得 ： (ai 2 +a2 2 +...+a n -i 2 ) (a2 2 +a3 2 +...+a n 2 ) N (3182+3233+...+a n -ia n ) 2 , 若 a 】 ， a2, an 成等比数列 ， 即有土奏=..=皂_, a l a 2 a n-l 则 (ai 2 +a2 2 +...+a n -i 2 ) (a2 2 +a3 2 +...+an 2 ) = (aia2+a2a3+...+a n -ia n ) 2 > 即由 p 推得 q, 但由 q 推不到 p, 比如 ai=a2=a 3 =...=a n=0, 贝 J a ” a 2 , an 不成等比数列. 故 p 是 q 的充分不必要条件. 故选 ： A. 【 点评 】 本题考查充分必要条件的判断 ， 同时考查等比数列的定义 ， 注意运用定 义法和柯西不等式解题是关键. 1, 6. (5 分)己知符号函数 sgnx=< 0, x>0 x=0 , f (x) 是 R 上的增函数 ， g (x) =f x<0 -1, (x) - f (ax) ( a > 1), 贝 J (. A. sgn[g (x) ] =sgnx C. sgn[g (x) ]=sgn[f (x) ] B. sgn[g (x) ]= - sgnx D. sgn[g (x) ]= - sgn[f (x) ] 【 考点 】 57 ： 函数与方程的综合运用. 【 专题 】 51 ： 函数的性质及应用. 【 分析 】 直接利用特殊法 ， 设出函数 f (x), 以及 a 的值 ， 判断选项即可. 1, x>0 【 解答 】 解 ： 由于本题是选择题 ， 可以采用特殊法 ， 符号函数 sgnx= 0, x=0 , -1, x< 0 f (x) 是 R 上的增函数 ， g (x) =f (x) - f (ax) (a>l), 不妨令 f (x) =x, a=2, 则 g (x) =f (x) - f (ax) = - x, sgn[g (x) ]= - sgnx. 所以 A 不正确 ， B 正确 ， sgn[f (x) ]=sgnx, C 不正确 ； D 正确 ； 对于 D, 令 f (x) =x+l, a=2, 则 g (x) =f (x) - f (ax) = - x, ‘ 1, x 〉 - l x=T ; sgn[f (x) ]=sgn (x+1) = 0, L -l, x \'1, x>0 sgn[g (x) ]=sgn ( - x)=< 0, -1, x=0 , x<0 \'-I, x>-l - sgn [f (x) ]= - sgn (x+1) =< 0, x=-l ; 所以 D 不正确; 1, xV-1 故选 ： B. 【 点评 】 本题考查函数表达式的比较 ， 选取特殊值法是解决本题的关键 ， 注意解 题方法的积累 ， 属于中档题. 7. (5 分)在区间 ［ 0, 1 ］ 上随机取两个数 x, y, 记 Pi 为事件 “ x+yN» 的概率 ， 2 P2 为事件 \"|x-y|W» 的概率 ， P3 为事件 \"xyW 【 ” 的概率 ， 则 ( 2 2 ) A. Pi 2 B. P2VP3VP1 C. P3VP1VP2 D. P3VP2VP1 【 考点 】 CF ： 几何概型. 【 专题 】 51 ： 概率与统计. 【 分析 】 作出每个事件对应的平面区域 ， 求出对应的面积 ， 利用几何概型的概率 公式进行计算比较即可. 【 解答 】 解 ： 分别作出事件对应的图象如图(阴影部分) ： Pi ： D (0, 1), F (L 0), A (0, 1), B (1, 1), C (1, 0), 2 2 则阴影部分的面积 se xi-L x ± x l^i- 1=1, 2 2 2 8 8 s 2 =ixi - 2 x L x L x ^= i - L 旦 ， 2 2 2 4 4 S3=1X_L+ 丁 ！ 《 _ dx=LJjnx| ? =1 - LlnL_L+_Lln2, 2 ±x 2 2 -^- 2 2 2 2 2 2 2 .•.S 2 3 即 P2VP3VP1, 故选 ： B. 【 点评 】 本题主要考查几何概型的概率计算 ， 利用数形结合是解决本题的关键.本 题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小. 8. (5 分)将离心率为 ei 的双曲线 G 的实半轴长 a 和虚半轴长 b (aKb) 同时增 加 m (m>0) 个单位长度 ， 得到离心率为 e2 的双曲线 C2, 则 ( A. 对任意的 a, b, ei>e 2 ) B, 当 a>b 时 ， ei>e2 ； 当 a 时 ， ei C, 对任意的 a, b, ei 2 D. 当 a>b 时 ， ei ； 当 a 时 ， ei>e? 【 考点 】 KC ： 双曲线的性质. 【 专题 】 11 ： 计算题 ； 5D ： 圆锥曲线的定义 、 性质与方程. 【 分析 】 分别求出双曲线的离心率 ， 再平方作差 ， 即可得出结论. 【 解答 】 解 ： 由题意 ， 双曲线 Ci ： c 2 =a 2 +b 2 , 鱼= 2 ； a 双曲线 C2 ： c\'2= (a+m) 2 + (b+m) 2 , e2=V (冬 坷 1 ) 之项 坷广 a+m 2 2- b2 - (b+m 广一 (b-a) (2abirH~bir|2+air|2) , 1 2 a 2 (a+m )2 a 2 (a+m) 2 . •.当 a>b 时 ， ei 2 ； 当 a 时 ， ei>ez, 故选 ： D. 【 点评 】 本题考查双曲线的性质 ， 考查学生的计算能力 ， 比较基础. 9. (5 分)已知集合 A={ (x, y) x 2 +y 2 x, yCZ}, B={ (x, y) ||x|W2, |y|W2, x, yCZ}, 定义集合 AffiB={(X1+X2 ， yi+y? ) (xi ， yi) GA,(X2 ， y 2 )GB}, 则 A®B 中元素的个数为 ( ) A. 77 B. 49 C. 45 D. 30 【 考点 】 1A ： 集合中元素个数的最值. 【 专题 】 23 ： 新定义 ； 26 ： 开放型 ； 5J： 集合. 【 分析 】 由题意可得 ， A={ (0, 0), (0, 1), (0, - 1), (1, 0), ( - 1, 0), B={ (0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, - 1), (0, -2), (1, 0), (1, 1), (1, 2)(1, - 1), (1, - 2) (2, 0), (2, 1), (2, 2)(2, - 1), (2, - 2),( - 1, - 2), ( - 1, - 1)> ( - 1, 0), ( - 1, 1), ( - 1, 2), ( - 2, - 2), ( - 2, - 1), ( - 2, 0), ( - 2, 1), ( - 2, 2) }, 根据定义可求 【 解答 】 解 ： 解法一 ： VA={ (x, y) |x 2 +y 2 ^l, x, y&} = { (0, 0), (0, 1), (0, - 1), (1, 0),( - 1, 0), B=( (x, y) |x| W2, |y| W2, x, y£Z} = { (0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, - 1), (0, - 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2) (1, - 1), (1, - 2) (2, 0), (2, 1), (2, 2)(2, - 1), (2, -2), (- 1, - 2), ( - 1, - 1), (- 1, 0), ( - 1, 1) , ( - 1, 2), ( - 2, - 2), ( - 2, - 1), (- 2, 0), ( - 2, 1), ( - 2, 2) } */ AffiB= { (X1+X2 ， yi+y2)I(xi ，yi) GA,(X2 ， y2) £ B) , .A®B=( (0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, - 1), (0, - 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2)(1, - 1), (1, - 2) (2, 0), (2, 1), (2, 2), (2, - 1), (2, - 2) , ( - 1, - 2), ( ~ 1, - 1), ( - 1, 0), ( ~ 1, 1), ( - 1, 2), ( - 2, - 2), ( - 2, - 1), (- 2, 0), ( - 2, 1), ( - 2, 2), ( - 2, 3), ( - 2, - 3), (0, - 3), (2, - 3), ( - 1, 3), ( - 1, - 3), (1, 3), (2, 3), (0, 3), (3, - 1), (3, 0) (3, 1), (3, 2), (3, -2)(-3, 2) (-3, 1),(1, -3), (-3, - 1), ( - 3, 0), ( - 3, - 2) } 共 45 个元素 ； 解法二 ： 因为集合 A={ (x, y) |x2 +y 2 x, y 《 Z}, 所以集合 A 中有 5 个元素 ， 即图中 圆中的整点 ， B={ (x, y) |x| W2, |y| W2, x, yGZ}, 中有 5X5=25 个元素 ， 即图中正方形 ABCD 中的整点, A®B={(Xi+X2, yi+y 2 ) I (xi, yD GA, (x 2 , y 2 )GB} 的元素可看作正方形 AiBiCiDi 中的整点(除去四个顶点) ， 即 7X7 - 4=45 个. 故选 ： C. 【 点评 】 本题以新定义为载体 ， 主要考查了集合的基本定义及运算 ， 解题中需要 取得重复的元素. 10. （ 5 分 ） 设 x£R, [x] 表示不超过 x 的最大整数.若存在实数 t, 使得 [t]=l, [t 2 ]=2, [t n ]=n 同时成立 ， 则正整数 n 的最大值是 （ A. 3 B. 4 C. 5 ） D. 6 【 考点 】 F5 ： 演绎推理. 【 专题 】 2 ： 创新题型 ； 5L ： 简易逻辑. 【 分析 】 由新定义可得 t 的范围 ， 验证可得最大的正整数 n 为 4. 【 解答 】 解 ： 若 ： t]=l, 则 t£ [1, 2 ） , 若厅]= 2, 贝 l]te ： V2> V3 ） （因为题目需要同时成立 ， 则负区间舍去 ） ， 若 [t 3 ]=3, 贝 I] tG [3^, 折 ） ， 若 [t 4 ]=4, 贝 JtC [拓 ， 柘 ）， 若 [t 5 ]=5, 贝 l]tC [拆 ， 插 ）， 其中扼 Q1.732, 初 Q1.587, 4^^1.495, 5^^ 1.431 <1.495, 通过上述可以发现 ， 当 t=4 时 ， 可以找到实数 t 使其在区间 [1, 2 ） n ： V2 - V3 ） n 际初项折娘上 ’ 但当 t=5 时 ， 无法找到实数 t 使其在区间 [1, 2 ） n ： V2 - V3 ） n[3^, 初 ） n [折拆 ） E 拆 ， V? 上 ， 正整数 n 的最大值 4 故选 ： B. 【 点评 】 本题考查简单的演绎推理 ， 涉及新定义 ， 属基础题. 二 、 填空题 ： 本大题共 4 小题 ， 考生需作答 5 小题 ， 每小题 5 分 ， 共 25 分.请 将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置 ， 书写不清 ， 模棱两可均不 得分. 11. （ 5 分 ） 已知向量 0A± AB ， 0A =3, 则足•涂 9 . 【 考点 】 90 ： 平面向量数量积的性质及其运算. 【 专题 】 5A ： 平面向量及应用. 【 分析 】 由已知结合平面向量是数量积运算求得答案. 【 解答 】 解 ： 由 0A±AB ， W0A«AB=0, 即 (0B-0A) =0 ， OA =3, A 0A-0B=|0A| 2 =9 - 故答案为 ： 9. 【 点评 】 本题考查了平面向量的数量积运算 ， 考查了向量模的求法 ， 是基础的计 算题. 12. (5 分)函数 f (x) =4cos 2 -?-cos (― L - x) - 2sinx - | In (x+1) | 的零点个数为 2 2 2 . 【 考点 】 53 ： 函数的零点与方程根的关系. 【 专题 】 51 ： 函数的性质及应用. 【 分析 】 利用二倍角公式化简函数的解析式 ， 求出函数的定义域 ， 画出函数的图 象 ， 求出交点个数即可. 【 解答 】 解 ： 函数 f (x) 的定义域为 ： ｛ x|x>-l). f (x) =4 cos 2 A cos (2L - x) - 2sinx - | In (x+1) 2 2 =2sinx(2c° s 2 y-l) - I In (x+1) =sin2x - | In (x+1) | , 分别画出函数 y=sin2x, y=|ln (x+1) | 的图象 ， 由函数的图象可知 ， 交点个数为 2. 所以函数的零点有 2 个. 故答案为 ： 2.
更多推荐
考查,本题,函数,数量,利用,方程,性质
发布评论