2024年4月4日发(作者：大兴二模数学试卷题型分析)
2015年高考真题——理科数学（湖北
卷）（含答案解析）
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2015年高考真题——理科数学（湖北卷）（含答案解析）
2015年高考真题——理科数学（湖北卷）（含答案解
析）
1 i为虚数单位，
A．iB．-iC．1D．-1
【答案解析】 A
试题分析：
考点：复数概念.
2 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534
石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．134石B．169石C．338石 D．1365石
【答案解析】 B
,所以的共轭复数为，选 A .
的共轭复数为（ ）
试题分析：依题意，这批米内夹谷约为
考点：用样本估计总体.
3 已知
为（ ）
A. B． C． D．
石，选B.
的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和
【答案解析】 D
试题分析：因为的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解
得，所以二项式中奇数项的二项式系数和为
考点：1.二项式系数，2.二项式系数和.
4 设
确的是（ ）
A．
C．对任意正数，
B．
D．对任意正数，
1
，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正
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【答案解析】 C
试题分析：由正态密度曲线的性质可知，
于对称，因此结合所给图像可得
的密度曲线“瘦高”，所以
考点：正态分布密度曲线.
5 设.若成等比数列；
，则（ ）
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
【答案解析】 A
，且
，所以对任意正数，
的密度曲线分别关
的密度曲线较
试题分析：对命题
对命题，①当时，
成等比数列，则公比且；
成立；
②当时，根据柯西不等式，等式
成立，
则
所以
，所以成等比数列，
是的充分条件，但不是的必要条件.
考点：1.等比数列的判定，2.柯西不等式，3.充分条件与必要条件.
2
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6 已知符号函数
则（ ）
A．
C．
【答案解析】 B
试题分析：因为是
B．
D．
，是上的增函数，，
上的增函数，令，所以，因为，
所以是上的减函数，由符号函数知，
.
考点：1.符号函数，2.函数的单调性.
7 在区间上随机取两个数，记为事件“”的概率，为事件
“
A．
C．
”的概率，
B．
D．
为事件“
”的概率，则 （ ）
【答案解析】 B
试题分析：因为，对事件“”，如图（1）阴影部分,对事件
“”，如图（2）阴影部分，对事件“”，如图（3）阴影部分
,正方形的面积为
由图知，阴影部分的面积从小到大依次是
根据集合概率公式可得.
3
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（1） （2） （3）
考点：几何概型.
8 将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长
，则（ ）
时，
时，
；当
；当
时，
时，
同时增加个单位
长度，得到离心率为
A．对任意的
C．对任意的
，
，
的双曲线
B．当
D．当
【答案解析】 D
试题分析：依题意，
因为
由于，
所以当
所以
时，
，
，，，
当
所以当
时，
时，；当
而
时，
，所以
.
，所以，
考点：1.双曲线的性质，2.离心率.
9 已知集合
合
A．77 B．49 C．45 D．30
【答案解析】 C
试题分析：因为集合
点），即图中圆中的整点，集合
4
，
，则
定义集
中元素的个数为（ ）
，所以集合中有9个元素（即9个
中有25个元素（即25个
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点）：即图中正方形中的整点，集合
的元素可看作正方形中的
整点（除去四个顶点），即个.
考点：1.集合的相关知识，2.新定义题型.
10 设，表示不超过的最大整数. 若存在实数，使得
同时成立，则正整数的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案解析】 B
试题分析：由
由
由
由
由
得
得
得
得
得
，所以
，所以
，与
，所以
矛盾，
，
，
故正整数的最大值是4.
考点：1.函数的值域，2.不等式的性质.
11 已知向量
【答案解析】 9
试题分析：因为,
，则 .
所以
5
.
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考点：1.平面向量的加法法则，2.向量垂直，3.向量的模与数量积.
12 函数
【答案解析】 2
的零点个数为 ．
试题分析：因为
=
=-
的零点个数为函数
有2个零点.
与
所以函数图像如图，由图知，两函数图
像有2个交点，所以函数
考点：1.二倍角的正弦、余弦公式，2.诱导公式，3.
函数的零点.
13 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到
西偏北的方向上，行驶600m后到达
.
处时测得公路北侧一山顶在
处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为
，则此山的高度
【答案解析】
试题分析：依题意，
由
中， ，在
，
6
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所以
即
，因为
，
，由正弦定理可得，
在
以
中，因为
m.
， ，所以，所
考点：1.三角形三内角和定理，2.三角函数的定义，3.有关测量中的的几个术语，4.正弦定
理.
14 如图，圆
且
（Ⅰ）圆
（Ⅱ）过点
．
的标准方程为 ；
任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：
与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（在的上方），
①； ②； ③．
其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）
【答案解析】 （Ⅰ）
试题分析：（Ⅰ）依题意，设
所以圆心
（为圆的半径），因为,所以
.
；（Ⅱ）①②③
，
，故圆的标准方程为
（Ⅱ）联立方程组
的上方，所以A
令直线的方程为，此时
.
，解得或，因为B在A
.
7
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所以,,,=
因为,所以.
所以，
,
正确结论的序号是①②③.
考点：1.圆的标准方程，2.直线与圆的位置关系.
15 （选修4-1：几何证明选讲）
如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且，则 .
【答案解析】
试题分析：
因为是圆的切线，为切点，
是圆的割线，
因为, 由切割线定理知，
所以即,
由∽,所以.
考点：1.圆的切线、割线，2.切割线定理，3.三角形相似.
16 （选修4-4：坐标系与参数方程）
在直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线的极
坐标方程为
，曲线C的参数方程为
8
( t为参数) ，与C
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相交于AB两点，则
【答案解析】
试题分析：因为
.
，所以，所以，
即；由，消去得，联立方程组，
解得，即.
由两点间的距离公式得
考点：1.极坐标方程、参数方程与普通方程的转化，2.两点间的距离.
17 某同学用“五点法”画函数
的图象
时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
在某一个周期内
0
5
0
9
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（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数
（Ⅱ）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到
的解析式；
的图
象. 若图象的一个对称中心为，求的最小值.
【答案解析】 （Ⅰ）；（Ⅱ）.
试题解析：（Ⅰ）根据表中已知数据，解得
0
. 数据补全如下表：
0
5
0
0
且函数表达式为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
因为的对称中心为
，得
.
.
令，解得.
由于函数的图象关于点成中心对称，令，
解得. 由可知，当时，取得最小值.
考点：1.“五点法”画函数
2.三角函数的平移变换，3.三角函数的性质.
10
在某一个周期内的图象，
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18 设等差数列
已知
（Ⅰ）求数列，
的公差为d，前项和为
．
的通项公式；
，等比数列的公比为．
（Ⅱ）当时，记，求数列的前项和．
【答案解析】 （Ⅰ）或；（Ⅱ）.
试题分析：（Ⅰ）由题意有，即
解得或，故或
（Ⅱ）由，知，故，
于是 ①
②
①-②可得
故
考点：1.等差数列、等比数列通项公式，2.错位相减法求数列的前项和.
19 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四
个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．
如图，在阳马
作
中，侧棱
于点，连接
底面，且
.
，过棱的中点，
交
11
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（Ⅰ）证明：平面．试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面
的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；
（Ⅱ）若面与面所成二面角的大小为，求的值．
【答案解析】 （Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）
试题解析：
（解法1）（Ⅰ）因为
由底面
所以
又因为
而
又
由
，
平面，
底面，所以
，而
平面，所以
.
平面
.
，所以.
，
，
.
.
为长方形，有
平面. 而
，点
，所以
是的中点，所以
平面
，所以
平面
. 而
平面
，可知四面体的四个面都是直角三角形，
，则
.
，所以平面.
是平面与平面
即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为
内，延长
平面
，所以
与面
，，有
12
（Ⅱ）如图1，在面
的交线. 由（Ⅰ）知，
又因为
故
设
底面
是面
与交于点
，所以
. 而
所成二面角的平面角，
，
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在中, 由, 得,
则 , 解得.
所以
故当面
（解法2）
与面所成二面角的大小为时，.
（Ⅰ）如图2，以
标系. 设
为原点，射线
，则
分别为轴的正半轴，建立空间直角坐
，
，点
于是
又已知
因
由平面，
，即
，而
是的中点，所以
.
，所以
, 则
平面
平面
, 所以
，可知四面体
，，
.
平面.
的四个面都是直角三角形，
即四面体
是一个鳖臑，其四个面的直角分别为
（Ⅱ）由平面，所以是平面
.
的一个法向量；
13
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由（Ⅰ）知，平面，所以是平面的一个法向量.
若面与面所成二面角的大小为，
则，
解得. 所以
故当面与面所成二面角的大小为时，.
考点：1.四棱锥的性质，2.线、面垂直的性质与判定，3.二面角.
20 某厂用鲜牛奶在某台设备上生产
用设备1小时，获利1000元；生产1吨
1200元．要求每天产品的产量不超过
两种奶制品．生产1吨产品需鲜牛奶2吨，使
产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利
产品产量的2倍，设备每天生产两种产品时
间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其
分布列为
W
12
15
18
P
0.3
0.5
0.2
该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利（单位：
元）是一个随机变量．
（Ⅰ）求的分布列和均值；
（Ⅱ） 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000
元的概率．
【答案解析】 （Ⅰ）
的分布列为：
14
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8160
10200
10800
0.3
0.5
0.2
；
（Ⅱ）0.973.
试题解析：
（Ⅰ）设每天两种产品的生产数量分别为，相应的获利为，
则有 （1）
目标
函数为
当
．
时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为．
将变形为，
当
最大获利
当
时，直线：在
轴上的截距最大，
时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为
15
．
2015年高考真题——理科数学（湖北卷）（含答案解析）
将变形为，
当
最大获利
当
时，直线：在轴上的截距最大，
．
时，（1）表示的平面区域如图3，
. 四个顶点分别为
将变形为，
当
最大获利
故最大获利
8160
10200
10800
0.3
0.5
0.2
因此，
时，直线：在轴上的截距最大，
．
的分布列为
， （Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率
由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为
.
考点：1.随机变量的独立性，2.分布列与均值，3.二项分布.
21 一种作图工具如图1所示．
过处铰链与连接，
是滑槽的中点，短杆
可沿滑槽
16
可绕转动，长杆
，
通
上的栓子滑动，且
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．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕
M处的笔尖画出的曲线记为C．以
直角坐标系．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设动直线与两定直线
总与曲线
和
为原点，
转动一周（D不动时，N也不动），
所在的直线为轴建立如图2所示的平面
分别交于两点．若直线
有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该
最小值；若不存在，说明理由．
【答案解析】 （Ⅰ）
试题解析：
（Ⅰ）设点
；（Ⅱ）存在最小值8.
，
依题意，
，
，且
17
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所以，且.
即
由于当点
且
不动时，点
.
也不动，所以不恒等于0，
于是，故，代入，可得，
即所求的曲线的方程为.
（Ⅱ）（1）当直线的斜率不存在时，直线为或，都有.
（2）当直线的斜率存在时，设直线，
由 消去，可得.
因为直线总与椭圆
所以
有且只有一个公共点，
，即. ①
又由 可得；同理可得.
由原点到直线的距离为和，可得
②
将①代入②得，.
当时，；
18
2015年高考真题——理科数学（湖北卷）（含答案解析）
当时， ;
因
当且仅当
所以当
，则
时取等号.
时， 的最小值为8.
，所以，
综合（1）（2）可知，当直线与椭圆在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8.
考点：1椭圆的标准方程、几何性质,2.直线与圆、椭圆的位置关系，最值，.
22 已知数列的各项均为正数，，e为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数的单调区间，并比较与e的大小；
（Ⅱ）计算
（Ⅲ）令
【答案解析】 （Ⅰ）
，由此推测计算
，数列，
的公式，并给出证明；
,, 证明：
.
. 的前项和分别记为
的单调递增区间为，单调递减区间为
；
（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析.
试题解析：（Ⅰ）
当
当
故
当
，即
，即
的定义域为
时，
时，
， .
单调递增；
单调递减.
，单调递减区间为
，即.
. 的单调递增区间为
时，
令，得，即. ①
19
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（Ⅱ）；；
.
由此推测：
下面用数学归纳法证明②.
（1）当
②
时，左边右边=2，②成立.
（2）假设当时，②成立，即.
当时，，由归纳假设可得
所以当
时，②也成立.
根据（1）（2），可知②对一切正整数n都成立.
（Ⅲ）由的定义，②，算术-几何平均不等式，的定义及①得
.
即
.
20
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函数,直线,方程,考点,曲线,存在,平面
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