2024年4月4日发(作者：西南大学附中初一数学试卷)
2015年湖北省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．（5分）（2015•湖北）i为虚数单位，i的共轭复数为（ ）
i 1
A．B． ﹣i C． D． ﹣1
2．（5分）（2015•湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，
有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内
夹谷约为（ ）
A．134石 B． 169石 C． 338石 D． 1365石
n
3．（5分）（2015•湖北）已知（1+x）的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇
数项的二项式系数和为（ ）
1110
2
A．
12
B． C． D．
2
9
2 2
4．（5分）（2015•湖北）设X～N（μ
1
，σ
1
），Y～N（μ
2
，σ
2
），这两个正态分布密度曲线
如图所示．下列结论中正确的是（ ）
22
607
A．B．
P（X≤σ
2
）≤P（X≤σ
1
） P（Y≥μ
2
）≥P（Y≥μ
1
）
对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t） C．D． 对任意正数t，P（X≥t）≥P（Y≥t）
5．（5分）（2015•湖北）设a
1
，a
2
，…，a
n
∈R，n≥3．若p：a
1
，a
2
，…，a
n
成等比数列；q：
2222222
（a
1
+a
2
+…+a
n
﹣
1
）（a
2
+a
3
+…+a
n
）=（a
1
a
2
+a
2
a
3
+…+a
n
﹣
1
a
n
），则（ ）
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
p是q的必要条件，但不是q的充分条件 B．
p是q的充分必要条件 C．
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
6．（5分）（2015•湖北）已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）
=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（ ）
A
sgn[g
B
sgn[g
C
sgn[g
D
sgn[g（x）]=sgnx （x）]=﹣sgnx （x）]=sgn[f（x）] （x）]=﹣sgn[f（x）]
1
7．（5分）（2015•湖北）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，
记P
1
为事件“x+y≥”的概率，P
2
为事件“|x﹣y|≤”的概率，P
3
为事件“xy≤”的概率，则（ ）
A．B． C． D．
P
1
＜P
2
＜P
3
P
2
＜P
3
＜P
1
P
3
＜P
1
＜P
2
P
3
＜P
2
＜P
1
8．（5分）（2015•湖北）将离心率为e
1
的双曲线C
1
的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时
增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e
2
的双曲线C
2
，则（ ）
A．
对任意的a，b，e
1
＞e
2
当a＞b时，e
1
＞e
2
；当a＜b时，e
1
＜e
2
B．
对任意的a，b，e
1
＜e
2
C．
D．
当a＞b时，e
1
＜e
2
；当a＜b时，e
1
＞e
2
22
9．（5分）（2015•湖北）已知集合A={（x，y）|x+y≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，
x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x
1
+x
2
，y
1
+y
2
）|（x
1
，y
1
）∈A，（x
2
，y
2
）∈B}，则A⊕B中
元素的个数为（ ）
77 49 45 30
A．B． C． D．
10．（5分）（2015•湖北）设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得[t]=1，
[t
]=2，…，[t]=n同时成立，则正整数n的最大值是（ ）
3 4 5 6
A．B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在
答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．
11．（5分）（2015•湖北）已知向量⊥，|
2
2n
|=3，则•= ．
12．（5分）（2015•湖北）函数f（x）=4coscos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|的零点个数
为 ．
13．（5分）（2015•湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得
公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°
的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD= m．
14．（5分）（2015•湖北）如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，
B（B在A的上方），且|AB|=2．
（1）圆C的标准方程为 ；
2
（2）过点A任作一条直线与圆O：x+y=1相交于M，N两点，下列三个结论：
①=； ②﹣=2； ③+=2．
22
其中正确结论的序号是 ．（写出所有正确结论的序号）
选修4-1：几何证明选讲
15．（5分）（2015•湖北）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC=3PB，
则= ．
选修4-4：坐标系与参数方程
16．（2015•湖北）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已
知直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，曲线C的参数方程为（ t为参数），
l与C相交于A，B两点，则|AB|= ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（11分）（2015•湖北）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin
（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜
填入了部分数据，如表：
）在某一个周期内的图象时，列表并
ωx+φ
x
0
π
2π
0 5 0
Asin（ωx+φ） ﹣5
（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；
（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象．若
y=g（x）图象的一个对称中心为（
18．（12分）（2015•湖北）设等差数列{a
n
}的公差为d，前n项和为S
n
，等比数列{b
n
}的公
比为q，已知b
1
=a
1
，b
2
=2，q=d，S
10
=100．
（1）求数列{a
n
}，{b
n
}的通项公式
（2）当d＞1时，记c
n
=
3
，0），求θ的最小值．
，求数列{c
n
}的前n项和T
n
．
19．（12分）（2015•湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四
棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD
中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接
DE，DF，BD，BE．
（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角
（只需写出结论）；若不是，说明理由；
（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值．
20．（12分）（2015•湖北）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品．生产1吨A
产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使
用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每
天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：
吨）是一个随机变量，其分布列为
W 12 15 18
P 0.3 0.5 0.2
该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：
元）是一个随机变量．
（1）求Z的分布列和均值；
（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元
的概率．
21．（14分）（2015•湖北）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON
可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且
DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖
画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设动直线l与两定直线l
1
：x﹣2y=0和l
2
：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与
椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最
小值；若不存在，说明理由．
4
22．（14分）（2015•湖北）已知数列{a
n
}的各项均为正数，b
n
=n（1+）a
n
（n∈N
+
），e为自
然对数的底数．
（1）求函数f（x）=1+x﹣e的单调区间，并比较（1+）与e的大小；
xn
n
（2）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；
（3）令c
n
=（a
1
a
2
…a
n
），数列{a
n
}，{c
n
}的前n项和分别记为S
n
，T
n
，证明：T
n
＜eS
n
．
答案：
607604+33
1、
解：i=i=i=﹣i，
它的共轭复数为：i．
故选：A．
2、
解：由题意，这批米内夹谷约为1534×≈169石，
3、
故选：B．
n
解：已知（1+x）的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，
可得，可得n=3+7=10．
5
（1+x）的展开式中奇数项的二项式系数和为：
10
=2．
9
4、
故选：D．
解：正态分布密度曲线图象关于x=μ对称，所以μ
1
＜μ
2
，从图中容易得到P（X≤t）≥P
（Y≤t）．
故选：C．
5、
解：由a
1
，a
2
，…，a
n
∈R，n≥3．
运用柯西不等式，可得：
（a
1
+a
2
+…+a
n
﹣
1
）（a
2
+a
3
+…+a
n
）≥（a
1
a
2
+a
2
a
3
+…+a
n
﹣
1
a
n
），
若a
1
，a
2
，…，a
n
成等比数列，即有
222222
2222222
==…=，
2
则（a
1
+a
2
+…+a
n
﹣
1
）（a
2
+a
3
+…+a
n
）=（a
1
a
2
+a
2
a
3
+…+a
n
﹣
1
a
n
），
即由p推得q，
但由q推不到p，比如a
1
=a
2
=a
3
=…=a
n
=0，则a
1
，a
2
，…，a
n
不成等比数列．
故p是q的充分不必要条件．
故选：A．
6、
解：由于本题是选择题，可以常用特殊法，符号函数sgnx=，f（x）是
R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），
不妨令f（x）=x，a=2，
则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，
sgn[g（x）]=﹣sgnx．所以A不正确，B正确，
sgn[f（x）]=sgnx，C不正确；D正确；
对于D，令f（x）=x+1，a=2，
则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x﹣1，
sgn[f（x）]=sgn（x+1）=；
6
sgn[g（x）]=sgn（﹣x﹣1）=，
﹣sgn[f（x）]=﹣sgn（x+1）=；所以D不正确；
7、
故选：B．
解：分别作出事件对应的图象如图（阴影部分）：
P
1
：D（0，），F（，0），A（0，1），B（1，1），C（1，0），
则阴影部分的面积S
1
=1×1﹣
S
2
=1×1﹣2×=1﹣=，
=1﹣=，
S
3
=1×+dx=+lnx|=﹣ln=+ln2，
∴S
2
＜S
3
＜S
1
，
即P
2
＜P
3
＜P
1
，
故选：B．
8、
解：由题意，双曲线C
1
：c=a+b，e
1
=；
222
双曲线C
2
：c′=（a+m）+（b+m），e
2
=
222
，
∴=﹣=，
9、
∴当a＞b时，e
1
＜e
2
；当a＜b时，e
1
＞e
2
，
故选：D．
22
解：∵A={（x，y）|x+y≤1，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣
1，0），
7
B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣
2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，
﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，
﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}
∵A⊕B={（x
1
+x
2
，y
1
+y
2
）|（x
1
，y
1
）∈A，（x
2
，y
2
）∈B}，
∴A⊕B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，
2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2），（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣
2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，
0），（﹣2，1），（﹣2，2），
（﹣2，3），（﹣2，﹣3），（0，﹣3），（2，﹣3），（﹣1，3），（﹣1，﹣3），（1，3），（2，
3），（0，3），（3，﹣1），（3，0）（3，1），（3，2），（3，﹣2）（﹣3，2）（﹣3，1），（1，
﹣3），（﹣3，﹣1），（﹣3，0），（﹣3，﹣2）}共45个元素
故选：C．
10、 解：∵[t]=1，∴t∈[1，2），
22
又∵[t
]=2，∴t∈[2，3），
∴t∈[，），
24
又t
∈[2，3），∴t∈[4，9），
4
∴[t
]=4，
∴正整数n的最大值4
故选：B．
11、
解：由⊥，得•=0，即•（）=0，
∵|
∴
|=3，
．
故答案为：9．
12、 解：函数f（x）的定义域为：{x|x＞﹣1}．
f（x）=4cos
=2sinx
2
cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|
﹣|ln（x+1）|
=sin2x﹣|ln（x+1）|，
分别画出函数y=sin2x，y=|ln（x+1）|的图象，
由函数的图象可知，交点个数为2．
所以函数的零点有2个．
故答案为：2．
8
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