2024年1月18日发(作者：常州北师大小升初数学试卷)
沪教版七年级上册压轴题数学精品模拟试卷
一、压轴题
1．如图，数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为16，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动.设运动时间为t秒(t0)．
1A，B两点间的距离等于______，线段AB的中点表示的数为______；
2用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为______，点Q表示的数为______；
3求当t为何值时，PQ1AB？
24若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变请直接写出线段MN的长．
2．如图，A、B、P是数轴上的三个点，P是AB的中点，A、B所对应的数值分别为-20和40．
（1）试求P点对应的数值；若点A、B对应的数值分别是a和b，试用a、b的代数式表示P点在数轴上所对应的数值；
（2）若A、B、P三点同时一起在数轴上做匀速直线运动，A、B两点相向而行，P点在动点A和B之间做触点折返运动（即P点在运动过程中触碰到A、B任意一点就改变运动方向，向相反方向运动，速度不变，触点时间忽略不计），直至A、B两点相遇，停止运动．如果A、B、P运动的速度分别是1个单位长度/s，2个单位长度/s，3个单位长度/s，设运动时间为t．
①求整个运动过程中，P点所运动的路程．
②若P点用最短的时间首次碰到A点，且与B点未碰到，试写出该过程中，P点经过t秒钟后，在数轴上对应的数值（用含t的式子表示）；
③在②的条件下，是否存在时间t，使P点刚好在A、B两点间距离的中点上，如果存在，请求出t值，如果不存在，请说明理由．
3．如图，在数轴上从左往右依次有四个点A,B,C,D，其中点A,B,C表示的数分别是0,3,10，且CD2AB.
(1)点D表示的数是
；（直接写出结果）
(2)线段AB以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时线段CD以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间是t（秒），当两条线段重叠部分是2个单位长度时.
①求t的值;
②线段AB上是否存在一点P，满足BDPA3PC?若存在，求出点P表示的数x；若
不存在，请说明理由.
4．数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例如：如图①，若点A，B在数轴上分别对应的数为a，b(a 请你用以上知识解决问题： 如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达A点，再向右移动3个单位长度到达B点，然后向右移动5个单位长度到达C点． （1）请你在图②的数轴上表示出A，B，C三点的位置． （2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左移动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右移动，设移动时间为t秒． ①当t=2时，求AB和AC的长度； ②试探究：在移动过程中，3AC－4AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 5．如图，己知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB=22．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒． (1)写出数轴上点B表示的数____，点P表示的数____（用含t的代数式表示）； (2)若动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q?（列一元一次方程解应用题） (3)若动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问 秒时P、Q之间的距离恰好等于2（直接写出答案） (4)思考在点P的运动过程中，若M为AP的中点，N为PB的中点.线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长. 6．我国著名数学家华罗庚曾经说过，“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛. 观察下列按照一定规律堆砌的钢管的横截面图： 用含n的式子表示第n个图的钢管总数. （分析思路） 图形规律中暗含数字规律，我们可以采用分步的方法,从图形排列中找规律;把图形看成几个部分的组合,并保持结构,找到每一部分对应的数字规律,进而找到整个图形对应的数字规律． 如:要解决上面问题，我们不妨先从特例入手: (统一用S表示钢管总数) （解决问题） (1)如图，如果把每个图形按照它的行来分割观察，你发现了这些钢管的堆砌规律了吗?像n=1、n=2的情形那样,在所给横线上,请用数学算式表达你发现的规律. S=1+2 S=2+3+4 _____________ ______________ (2)其实，对同一个图形，我们的分析眼光可以是不同的．请你像(1)那样保持结构的、对每一个所给图形添加分割线，提供与(1)不同的分割方式;并在所给横线上，请用数学算式表达你发现的规律: _______ ____________ _______________ _______________ (3)用含n的式子列式，并计算第n个图的钢管总数. 7．如图,在数轴上点A表示数a,点B表示数b,AB表示A点和B点之间的距离,且a,b满足|a+2|+(b+3a)2=0. (1)求A,B两点之间的距离; (2)若在线段AB上存在一点C,且AC=2BC,求C点表示的数; (3)若在原点O处放一个挡板,一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动,同时,另一个小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动,在碰到挡板后(忽略小球的大小,可看做一个点)以原来的速度向相反的方向运动. 设运动时间为t秒. ①甲球到原点的距离为_____,乙球到原点的距离为_________;(用含t的代数式表示) ②求甲乙两小球到原点距离相等时经历的时间. 8．结合数轴与绝对值的知识解决下列问题： 探究：数轴上表示4和1的两点之间的距离是____，表示－3和2两点之间的距离是____； 结论：一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于∣m-n∣． 直接应用：表示数a和2的两点之间的距离等于____，表示数a和－4的两点之间的距离等于____； 灵活应用： (1)如果∣a+1∣=3，那么a=____； (2)若数轴上表示数a的点位于－4与2之间，则∣a-2∣+∣a+4∣=_____； (3)若∣a-2∣+∣a+4∣=10，则a =______； 实际应用： 已知数轴上有A、B、C 三点，分别表示-24，-10，10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位长度/秒，乙的速度为6个单位长度/秒. (1)两只电子蚂蚁分别从A、C两点同时相向而行，求甲、乙数轴上相遇时的点表示的数。 (2)求运动几秒后甲到A、B、C三点的距离和为40个单位长度？ 9．已知AOD，OB、OC、OM、ON是AOD内的射线． (1)如图1，当160，若OM平分AOB，ON平分BOD，求MON的大小； (2)如图2，若OM平分AOC，ON平分BOD，BOC20，MON60，求． 10．已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，且满足（a-1）2+|ab+3|=0，c=-2a+b． （1）分别求a，b，c的值； （2）若点A和点B分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时相向运动，设运动时间为t秒． i）是否存在一个常数k，使得3BC-k•AB的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． ii）若点C以每秒3个单位长度的速度向右与点A，B同时运动，何时点C为线段AB的三 等分点？请说明理由． 11．已知多项式3x6﹣2x2﹣4的常数项为a，次数为b． （1）设a与b分别对应数轴上的点A、点B，请直接写出a＝ ，b＝ ，并在数轴上确定点A、点B的位置； （2）在（1）的条件下，点P以每秒2个单位长度的速度从点A向B运动，运动时间为t秒： ①若PA﹣PB＝6，求t的值，并写出此时点P所表示的数； ②若点P从点A出发，到达点B后再以相同的速度返回点A，在返回过程中，求当OP＝3时，t为何值？ 12．如图，从左到右依次在每个小方格中填入一个数，使得其中任意三个相邻方格中所填数之和都相等． 6 a b x -1 -2 ... （1）可求得 x =______，第 2021 个格子中的数为______； （2）若前 k 个格子中所填数之和为 2019，求 k 的值； （3）如果m ，n为前三个格子中的任意两个数，那么所有的|mn | 的和可以通过计算|6a||6b||ab||a6| |b6||ba| 得到．若m ，n为前8个格子中的任意两个数，求所有的|m-n|的和. 13．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB=22，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）出数轴上点B表示的数 ；点P表示的数 （用含t的代数式表示） （2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好等于2？ （3）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？ （4）若M为AP的中点，N为BP的中点，在点P运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长． 14．东东在研究数学问题时遇到一个定义：将三个已经排好顺序数：x1，x2，x3，称为数列x1，x2，x3．计算|x1|，x1x22，x1x2x33，将这三个数的最小值称为数列x1，x2，x3的最佳值．例如，对于数列2，-1，3，因为|2|=2，212=12134=，所以，323数列2，-1，3的最佳值为1． 2 东东进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的最佳值．如数列-1，2，3的最佳值为1；数列3，-1，2的最佳值为1；…．经过研2究，东东发现，对于“2，-1，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，最佳1值的最小值为．根据以上材料，回答下列问题： 2（1）数列-4，-3，1的最佳值为 （2）将“-4，-3，2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的最佳值的最小值为 ，取得最佳值最小值的数列为 （写出一个即可）； （3）将2，-9，a（a＞1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的最佳值为1，求a的值． 120 (本题中的角均大于0且小于180) 15．已知AOB＝(1)如图1，在AOB内部作COD，若AOD＋BOC＝160，求COD的度数； (2)如图2，在AOB内部作COD，OE在AOD内，OF在BOC内，且DOE＝3AOE，COF3BOF，EOF7COD，求EOF的度数； 2 (3)射线OI从OA的位置出发绕点O顺时针以每秒6的速度旋转，时间为t秒(0t50且t30)．射线OM平分AOI，射线ON平分BOI，射线OP平分MON．若MOI3POI，则t 秒． 16．已知∠AOB和∠AOC是同一个平面内的两个角,OD是∠BOC的平分线. (1)若∠AOB=50°,∠AOC=70°,如图(1),图(2),求∠AOD的度数； (2)若∠AOB=m度,∠AOC=n度,其中0＜m＜90，0＜n＜90，mn＜180且m＜n，求∠AOD的度数(结果用含m、n的代数式表示)，请画出图形，直接写出答案． 17．如图，在数轴上的A1，A2，A3，A4，……A20，这20个点所表示的数分别是a1，a2，a3，a4，……a20．若A1A2＝A2A3＝……＝A19A20，且a3＝20，|a1﹣a4|＝12． （1）线段A3A4的长度＝ ；a2＝ ； （2）若|a1﹣x|＝a2+a4，求x的值； （3）线段MN从O点出发向右运动，当线段MN与线段A1A20开始有重叠部分到完全没有重叠部分经历了9秒．若线段MN＝5，求线段MN的运动速度． 18．已知数轴上有A、B、C三个点对应的数分别是a、b、c，且满足|a+24|+|b+10|+（c-10）2=0；动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒． （1）求a、b、c的值； （2）若点P到A点距离是到B点距离的2倍，求点P的对应的数； （3）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒2个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后．再立即以同样的速度返回，运动到终点A，在点Q开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为8？请说明理由． 19．如图，以长方形OBCD的顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，B点坐标为（0，a），C点坐标为（c，b），且a、b、C满足a6+|2b+12|+（c﹣4）2＝0． （1）求B、C两点的坐标； （2）动点P从点O出发，沿O→B→C的路线以每秒2个单位长度的速度匀速运动，设点P的运动时间为t秒，DC上有一点M（4，﹣3），用含t的式子表示三角形OPM的面积； （3）当t为何值时，三角形OPM的面积是长方形OBCD面积的标． 1？直接写出此时点P的坐3 20．如图，数轴上有A、B两点，且AB=12，点P从B点出发沿数轴以3个单位长度/s的速度向左运动，到达A点后立即按原速折返，回到B点后点P停止运动，点M始终为线段BP的中点 (1)若AP=2时，PM=____； (2)若点A表示的数是-5，点P运动3秒时，在数轴上有一点F满足FM=2PM，请求出点F表示的数； (3)若点P从B点出发时，点Q同时从A点出发沿数轴以2.5个单位长度/s的速度一直向右．．运动，当点Q的运动时间为多少时，满足QM=2PM. 【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除 一、压轴题 1．（1）20,6；（2）43t，162t；（3）t2或6时；（4）不变，10，理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）由数轴上两点距离先求得A，B两点间的距离，由中点公式可求线段AB的中点表示的数； （2）点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动同时点Q从点B出发，向右为正，所以-4+3t； Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，向左为负，16-2t. （3）由题意,PQ1AB表示出线段长度，可列方程求t的值； 2（4）由线段中点的性质可求MN的值不变． 【详解】 解：1点A表示的数为4，点B表示的数为16， A，B两点间的距离等于41620，线段AB的中点表示的数为故答案为20，6 4166 22点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， 点P表示的数为：43t， 点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动， 点Q表示的数为：162t， 故答案为43t，162t 3PQ1AB 243t162t10 t2或6 答：t2或6时，PQ1AB 24线段MN的长度不会变化， 点M为PA的中点，点N为PB的中点， PM11PA，PNPB 221PAPB 2MNPMPNMN1AB10 2【点睛】 本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，找到正确的等量关系列出方程是本题的关键． 2．（1）10，(a+b)；（2）①60个单位长度；②10-3t，0≤t≤7.5；③不存在，理由见解析. 【解析】 【分析】 (1)根据数轴上两点间的距离公式结合A、B两点表示的数，即可得出结论； (2) ①点P运动的时间与A、B相遇所用时间相等，根据路程=速度×时间即可求得； ②由P点用最短的时间首次碰到A点，且与B点未碰到，可知开始时点P是和点A相向而行的； ③点P与点A的距离越来越小，而点P与点B的距离越来越大，不存在PA=PB的时候. 【详解】 解：（1）∵A、B所对应的数值分别为-20和40， ∴AB=40-(-20)=60， ∵P是AB的中点， ∴AP=60=30， ∴点P表示的数是-20+30=10； ∵如图，点A、B对应的数值分别是a和b， ∴AB=b-a， ∵P是AB的中点， ∴AP=(b-a) ∴点P表示的数是a+(b-a) =(a+b). （2）①点A和点B相向而行，相遇的时间为时间． 所以，点P的运动路程为3×20=60（单位长度），故答案是60个单位长度． ②由P点用最短的时间首次碰到A点，且与B点未碰到，可知开始时点P是和点A相向而行的．所以这个过程中0≤t≤7.5．P点经过t秒钟后，在数轴上对应的数值为10-3t． 故答案是：10-3t，0≤t≤7.5． ③不存在． 由②可知，点P是和点A相向而行的，整个过程中，点P与点A的距离越来越小，而点P与点B的距离越来越大，所以不存在相等的时候． 故答案为：（1）10，(a+b)；（2）①60个单位长度；②10-3t，0≤t≤7.5；③不存在，理由见解析. 【点睛】 本题考查了数轴上点与点的距离和动点问题. 3．（1）16；（2）①t的值为3或【解析】 【分析】 （1）由数轴可知，AB=3,则CD=6,所以D表示的数为16， （2）①当运动时间是t秒时，在运动过程中，B点表示的数为3+2t,A点表示的数为2t, C点表示的数为10-t，D点表示的数为16-t，分情况讨论两条线段重叠部分是2个单位长度解答即可；②分情况讨论当t=3秒, t=AB上的点对x的值的限制. 【详解】 （1）16 （2）①在运动过程中，B点表示的数为3+2t,A点表示的数为2t,C点表示的数为10-t，D点表示的数为16-t. 当BC＝2，点B在点C的右边时， =20（秒），此即整个过程中点P运动的1431秒；②存在，P表示的数为. 3414秒时，满足BDPA3PC的点P, 注意P为线段310-t）2， 由题意得：BC32t-（解得：t＝3， 当AD=2，点A在点D的左边时， 由题意得：AD16-t-2t2， 解得：t＝14． 314秒 3综上，t的值为3或 ②存在，理由如下: 当t=3时，A点表示的数为6，B点表示的数为9，C点表示的数为7，D点表示的数为13. 则BD13-94，PAx-6，PC|x-7|， BD-PA3PC， 4-x-6|x-7|， 解得：x又3111或， 42P点在线段AB上，则6x9 x当t数为31. 414283716，B点表示的数为，C点表示的数为，D点表示的时，A点表示的数为333334. 337343816-1，PAx-，PC|x-|， 3333则BDBD-PA3PC， ∴ 1-x-2816|x-|， 337917， 或126解得：x又2837x， 33 x无解 综上，P表示的数为【点睛】 本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，解题的关键是：(1)由路程=速度×时间结合运动方向找出运动t秒时点A、B、C、D所表示的数,(2)根据BDPA3PC列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程． 4．（1）详见解析；（2）①16；②在移动过程中，3AC﹣4AB的值不变 【解析】 【分析】 （1）根据点的移动规律在数轴上作出对应的点即可； （2）①当t=2时，先求出A、B、C点表示的数，然后利用定义求出AB、AC的长即可； ②先求出A、B、C点表示的数，然后利用定义求出AB、AC的长，代入3AC－4AB即可得到结论． 【详解】 （1）A，B，C三点的位置如图所示： 31. 4 ． （2）①当t=2时，A点表示的数为－4，B点表示的数为5，C点表示的数为12，∴AB=5－(－4)=9，AC=12－(－4)=16． ②3AC－4AB的值不变． 当移动时间为t秒时，A点表示的数为－t－2，B点表示的数为2t＋1，C点表示的数为3t＋6，则：AC=(3t＋6)－(－t－2)=4t＋8，AB=(2t＋1)－(－t－2)=3t＋3，∴3AC－4AB=3(4t＋8)－4(3t＋3)=12t＋24－12t－12=12． 即3AC﹣4AB的值为定值12，∴在移动过程中，3AC﹣4AB的值不变． 【点睛】 本题考查了数轴上的动点问题．表示出对应点所表示的数是解答本题的关键． 5．（1）－14，8－4t（2）点P运动11秒时追上点Q（3）发生变化，都等于11 【解析】 【分析】 （1）根据AB长度即可求得BO长度，根据t即可求得AP长度，即可解题； （2）点P运动x秒时，在点C处追上点Q，则AC=5x，BC=3x，根据AC-BC=AB，列出方程求解即可； （3）分①点P、Q相遇之前，②点P、Q相遇之后，根据P、Q之间的距离恰好等于2列出方程求解即可； (4)分①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差求出MN的长即可． 【详解】 （1）∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=22， ∴点B表示的数是8-22=-14， ∵动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒， ∴点P表示的数是8-4t． 故答案为-14，8-4t； （2）设点P运动x秒时，在点C处追上点Q， 10或4（4）线段MN的长度不3 则AC=5x，BC=3x， ∵AC-BC=AB， ∴4x-2x=22， 解得：x=11， ∴点P运动11秒时追上点Q； (3) ①点P、Q相遇之前，4t+2+2t =22，t=10， 3 ②点P、Q相遇之后，4t+2t -2=22，t=4， 故答案为10或4 3（4）线段MN的长度不发生变化，都等于11；理由如下： ①当点P在点A、B两点之间运动时： MN=MP+NP=11111AP+BP=（AP+BP）=AB=×22=11 22222 ②当点P运动到点B的左侧时： MN=MP﹣NP=1111AP﹣BP=（AP﹣BP）=AB=11 2222∴线段MN的长度不发生变化，其值为11． 【点睛】 本题考查了数轴一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论． 6．（1）S3456;S45678 ;(2) 方法不唯一，见解析；（3）方法不唯一，见解析 【解析】 【分析】 先找出前几项的钢管数，在推出第n项的钢管数. 【详解】 （1）S3456;S45678 （2）方法不唯一，例如： S12 S1233 S123444 S12345555 （3）方法不唯一，例如： Snn1n2.....2n =nn.....n12.....n 1nn1nn123nn1 2 【点睛】 此题主要考察代数式的规律探索及求和，需要仔细分析找到规律. 7．2+t 6-2t或2t-6 【解析】 分析：(1)、先根据非负数的性质求出a、b的值，再根据两点间的距离公式即可求得A、B两点之间的距离；(2)、设BC的长为x，则AC=2x，根据AB的长度得出x的值，从而得出点C所表示的数；（3）①甲球到原点的距离=甲球运动的路程+OA的长，乙球到原点的距离分两种情况：（Ⅰ）当0＜t≤3时，乙球从点B处开始向左运动，一直到原点O，此时OB的长度-乙球运动的路程即为乙球到原点的距离；（Ⅱ）当t＞3时，乙球从原点O处开始向右运动，此时乙球运动的路程-OB的长度即为乙球到原点的距离；②分两种情况：（Ⅰ）0＜t≤3，（Ⅱ）t＞3，根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出关于t的方程，解方程即可． 详解：(1)、由题意知a=-2,b=6,故AB=8. (2)、设BC的长为x,则AC=2x, ∵BC+AC=AB,∴x+2x=8,解得x=8， ∴C点表示的数为6-3810=． 33(3)①2+t;6-2t或2t-6. ②当2+t=6-2t时,解得t=44， 当2+t=2t-6时, 解得t=8. ∴t=或8. 33点睛：本题考查了非负数的性质，方程的解法，数轴，两点间的距离，有一定难度，运用分类讨论思想、方程思想及数形结合思想是解题的关键． 8．探究：3；5；直接应用：∣a-2∣，∣a+4∣；灵活应用(1)2或-4；(2)6；(3)-6或4；实际应用：(1)甲、乙数轴上相遇时的点表示的数是-10.4；(2)运动2秒或5秒后甲到A、B、C三点的距离和为40个单位长度. 【解析】 【分析】 利用数轴上两点间的距离公式、绝对值的意义、行程问题的基本数量关系，以及数轴直观解决问题即可． 【详解】 探究：4-1=3；2-（－3）=5． 直接应用：∣a-2∣，∣a+4∣； 灵活应用： （1）a+1=±3，a=3-1=2或a=－3－1=－4，∴a=2或-4； （2）∵数轴上表示数a的点位于－4与2之间，∴a-2＜0，a+4＞0，∴原式=2-a+a+4=6； （3）由（2）可知，a＜－4或a＞2．分两种情况讨论： ①当a＜－4时，方程变为：2－a－（a+4）=10，解得：a=－6； ②当a＞2时，方程变为：a－2+（a+4）=10，解得：a=4； 综上所述：a的值为-6或4． 实际应用： （1）设x秒后甲与乙相遇，则： 4x+6x=34 解得：x=3.4，4×3.4=13.6，﹣24+13.6=﹣10.4． 故甲、乙数轴上相遇时的点表示的数是﹣10.4； （2）设y秒后甲到A，B，C三点的距离之和为40个单位，B点距A，C两点的距离为14+20=34＜40，A点距B、C两点的距离为14+34=48＞40，C点距A、B的距离为34+20=54＞40，故甲应为于AB或BC之间． ①AB之间时：4y+（14﹣4y）+（14﹣4y+20）=40 解得：y=2； ②BC之间时：4y+（4y﹣14）+（34﹣4y）=40 解得：y=5． 答：运动2秒或5秒后甲到A、B、C三点的距离和为40个单位长度． 【点睛】 本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 9．（1）80°；（2）140° 【解析】 【分析】 （1）根据角平分线的定义得∠BOM=11∠AOB，∠BON=∠BOD，再根据角的和差得22∠AOD=∠AOB+∠BOD，∠MON=∠BOM+∠BON，结合三式求解；（2）根据角平分线的定11∠AOC，∠BON=∠BOD，再根据角的和差得∠AOD=∠AOC+∠BOD-∠BOC，22∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC结合三式求解. 【详解】 解：（1）∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD， 11∴∠BOM=∠AOB，∠BON=∠BOD， 22义∠MOC=∴∠MON=∠BOM+∠BON=111∠AOB+∠BOD=(∠AOB+∠BOD). 222∵∠AOD=∠AOB+∠BOD=α=160°， ∴∠MON=1×160°=80°； 211∠AOC，∠BON=∠BOD， 22（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD， ∴∠MOC=∵∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC， 111∠AOC+∠BOD -∠BOC=(∠AOC+∠BOD )-∠BOC. 222∵∠AOD=∠AOB+∠BOD，∠AOC=∠AOB+∠BOC, ∴∠MON=11(∠AOB+∠BOC+∠BOD )-∠BOC=(∠AOD+∠BOC )-∠BOC， 22∵∠AOD=α，∠MON=60°,∠BOC=20°, ∴∠MON=1(α+20°)-20°, 2∴α=140°. 【点睛】 ∴60°=本题考查了角的和差计算，角平分线的定义，明确角之间的关系是解答此题的关键. 10．（1）1，-3，-5（2）i）存在常数m，m=6这个不变化的值为26，ii）11.5s 【解析】 【分析】 （1）根据非负数的性质求得a、b、c的值即可； （2）i）根据3BC-k•AB求得k的值即可； ii）当AC=【详解】 （1）∵a、b满足（a-1）2+|ab+3|=0， ∴a-1=0且ab+3=0． 解得a=1，b=-3． ∴c=-2a+b=-5． 故a，b，c的值分别为1，-3，-5． （2）i）假设存在常数k，使得3BC-k•AB不随运动时间t的改变而改变． 则依题意得：AB=5+t，2BC=4+6t． 所以m•AB-2BC=m（5+t）-（4+6t）=5m+mt-4-6t与t的值无关，即m-6=0， 解得m=6， 所以存在常数m，m=6这个不变化的值为26． ii）AC=1AB时，满足条件． 31AB， 3AB=5+t，AC=-5+3t-（1+2t）=t-6， t-6=1（5+t），解得t=11.5s． 3【点睛】 本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 11．（1）﹣4，6；（2）①4；②【解析】 1319,或 22 【分析】 （1）根据多项式的常数项与次数的定义分别求出a，b的值，然后在数轴上表示即可； （2）①根据PA﹣PB＝6列出关于t的方程，解方程求出t的值，进而得到点P所表示的数；②在返回过程中，当OP＝3时，分两种情况：（Ⅰ）P在原点右边；（Ⅱ）P在原点左边．分别求出点P运动的路程，再除以速度即可． 【详解】 （1）∵多项式3x6﹣2x2﹣4的常数项为a，次数为b， ∴a＝﹣4，b＝6． 如图所示： 故答案为﹣4，6； （2）①∵PA＝2t，AB＝6﹣（﹣4）＝10， ∴PB＝AB﹣PA＝10﹣2t． ∵PA﹣PB＝6， ∴2t﹣（10﹣2t）＝6，解得t＝4， 此时点P所表示的数为﹣4+2t＝﹣4+2×4＝4； ②在返回过程中，当OP＝3时，分两种情况： （Ⅰ）如果P在原点右边，那么AB+BP＝10+（6﹣3）＝13，t＝（Ⅱ）如果P在原点左边，那么AB+BP＝10+（6+3）＝19，t＝【点睛】 本题考查了一元一次方程的应用，路程、速度与时间关系的应用，数轴以及多项式的有关定义，理解题意利用数形结合是解题的关键． 12．（1）6，-1；（2）2019或2014；（3）234 【解析】 【分析】 （1）根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出a、x的值，再根据第9个数是-2可得b=-2，然后找出格子中的数每3个为一个循环组依次循环，在用2021除以3，根据余数的情况确定与第几个数相同即可得解． （2）可先计算出这三个数的和，再照规律计算． （3）由于是三个数重复出现，因此可用前三个数的重复多次计算出结果． 【详解】 （1）∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，∴6+a+b=a+b+x，解得x=6，a+b+x=b+x-1，∴a=-1，所以数据从左到右依次为6、-1、b、6、-1、b，第9个数与第三个数相同，即b=-2，所以每3个数“6、-1、-2”为一个循环组依次循环． ∵2021÷3=673…2，∴第2021个格子中的整数与第2个格子中的数相同，为-1． 故答案为：6，-1． （2）∵6+（-1）+（-2）=3，∴2019÷3=673． 13； 219． 2 ∵前k个格子中所填数之和可能为2019，2019=673×3或2019=671×3+6，∴k的值为：673×3=2019或671×3+1=2014． 故答案为：2019或2014． （3）由于是三个数重复出现，那么前8个格子中，这三个数中，6和-1都出现了3次，-2出现了2次． 故代入式子可得：（|6+2|×2+|6+1|×3）×3+（|-1-6|×3+|-1+2|×2）×3+（|-2-6|×3+|-2+1|×3）×2=234． 【点睛】 本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，规律推导的运用，此类题的关键是找出是按什么规律变化的，然后再按规律找出字母所代表的数，再进行进一步的计算． 13．（1）﹣14，8﹣5t；（2）2.5或3秒时P、Q之间的距离恰好等于2；（3）点P运动11秒时追上点Q；（4）线段MN的长度不发生变化，其值为11，见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据已知可得B点表示的数为8﹣22；点P表示的数为8﹣5t；（2）设t秒时P、Q之间的距离恰好等于2．分①点P、Q相遇之前和②点P、Q相遇之后两种情况求t值即可；（3）设点P运动x秒时，在点C处追上点Q，则AC=5x，BC=3x，根据AC﹣BC=AB，列出方程求解即可；（3）分①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差求出MN的长即可． 【详解】 （1）∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=22， ∴点B表示的数是8﹣22=﹣14， ∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒， ∴点P表示的数是8﹣5t． 故答案为：﹣14，8﹣5t； （2）若点P、Q同时出发，设t秒时P、Q之间的距离恰好等于2．分两种情况： ①点P、Q相遇之前， 由题意得3t+2+5t=22，解得t=2.5； ②点P、Q相遇之后， 由题意得3t﹣2+5t=22，解得t=3． 答：若点P、Q同时出发，2.5或3秒时P、Q之间的距离恰好等于2； （3）设点P运动x秒时，在点C处追上点Q， 则AC=5x，BC=3x， ∵AC﹣BC=AB， ∴5x﹣3x=22， 解得：x=11， ∴点P运动11秒时追上点Q； （4）线段MN的长度不发生变化，都等于11；理由如下： ①当点P在点A、B两点之间运动时： MN=MP+NP=11111AP+BP=（AP+BP）=AB=×22=11； 22222②当点P运动到点B的左侧时： MN=MP﹣NP=1111AP﹣BP=（AP﹣BP）=AB=11， 2222∴线段MN的长度不发生变化，其值为11． 【点睛】 本题考查了数轴一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论． 14．（1）3；（2）【解析】 【分析】 （1）根据上述材料给出的方法计算其相应的最佳值为即可； （2）按照三个数不同的顺序排列算出最佳值，由计算可以看出，要求得这些数列的最佳值的最小值；只有当前两个数的和的绝对值最小，最小只能为|−3＋2|＝1，由此得出答案即可； （3）分情况算出对应的数值，建立方程求得a的数值即可． 【详解】 （1）因为|−4|＝4，1；-3，2，-4或2，-3，-4．（3）a=11或4或10． 2-4-32＝3.5，-4-312＝3， 所以数列−4，−3，1的最佳值为3． 故答案为：3； （2）对于数列−4，−3，2，因为|−4|＝4，所以数列−4，−3，2的最佳值为432＝7|43＋2|5，＝， 2225； 2|4＋2||43＋2|5＝1，＝， 222242对于数列−4，2，−3，因为|−4|＝4，所以数列−4，2，−3的最佳值为1； 对于数列2，−4，−3，因为|2|＝2，＝1，|43＋2|5＝， 22所以数列2，−4，−3的最佳值为1； 对于数列2，−3，−4，因为|2|＝2，所以数列2，−3，−4的最佳值为∴数列的最佳值的最小值为232＝1|43＋2|5，＝， 2221 2＝2321， 2数列可以为：−3，2，−4或2，−3，−4． 故答案为：（3）当1，−3，2，−4或2，−3，−4． 2＝1，则a＝0或−4，不合题意； 2＋a2当9＋a2＝1，则a＝11或7； 当a＝7时，数列为−9，7，2，因为|−9|＝9，9＋72＝1，9＋722＝0， 所以数列2，−3，−4的最佳值为0，不符合题意； 当9＋7a2＝1，则a＝4或10． ∴a＝11或4或10． 【点睛】 此题考查数字的变化规律，理解新定义运算的方法是解决问题的关键． 15．（1）40º；（2）84º；（3）7.5或15或45 【解析】 【分析】 （1）利用角的和差进行计算便可； （2）设AOEx，则EOD3x，BOFy，通过角的和差列出方程解答便可； （3）分情况讨论，确定∠MON在不同情况下的定值，再根据角的和差确定t的不同方程进行解答便可． 【详解】 解：（1））∵∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COD+∠BOD+∠COD=∠AOB+∠COD 又∵∠AOD+∠BOC=160°且∠AOB=120° ∴CODAODBOCAOB 160120 40 （2）DOE3AOE，COF3BOF 设AOEx，则EOD3x，BOFy 则COF3y， CODAQDBOCAOB4x4y120 EOFEODFOCCOD 3x3y4x4y120120xy EOF7COD 27(4x4y120) 2120(xy)xy36 EOF120(xy)84 （3）当OI在直线OA的上方时， 有∠MON=∠MOI+∠NOI=111（∠AOI+∠BOI））=∠AOB=×120°=60°， 2221×60°=30°， 2∵∠MOI=3∠POI， ∠PON=∴3t=3（30-3t）或3t=3（3t-30）， 解得t=15或15； 2当OI在直线AO的下方时， 11（360°-∠AOB）═×240°=120°， 22∵∠MOI=3∠POI， 6t1206t120-60°）， ∴180°-3t=3（60°-）或180°-3t=3（22解得t=30或45， 15综上所述，满足条件的t的值为s或15s或30s或45s． 2【点睛】 ∠MON═此是角的和差的综合题，考查了角平分线的性质，角的和差计算，一元一次方程（组）的应用，旋转的性质，有一定的难度，体现了用方程思想解决几何问题，分情况讨论是本题的难点，要充分考虑全面，不要漏掉解． 16．（1）图1中∠AOD=60°；图2中∠AOD=10°； （2）图1中∠AOD=【解析】 【分析】 （1）图1中∠BOC=∠AOC﹣∠AOB=20°，则∠BOD=10°，根据∠AOD=∠AOB+∠BOD即得解；图2中∠BOC=∠AOC+∠AOB=120°，则∠BOD=60°，根据∠AOD=∠BOD﹣∠AOB即可得解； （2）图1中∠BOC=∠AOC﹣∠AOB=n﹣m，则∠BOD=∠AOD=∠AOB+∠BOD=nmnm；图2中∠AOD=. 22n﹣m，故2nmnm；图2中∠BOC=∠AOC+∠AOB=m+n，则∠BOD=，故22nm. 2∠AOD=∠BOD﹣∠AOB=【详解】 解：（1）图1中∠BOC=∠AOC﹣∠AOB=70°﹣50°=20°， ∵OD是∠BOC的平分线， ∴∠BOD=1∠BOC=10°， 2∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=50°+10°=60°； 图2中∠BOC=∠AOC+∠AOB=120°， ∵OD是∠BOC的平分线， ∴∠BOD=1∠BOC=60°， 2∴∠AOD=∠BOD﹣∠AOB=60°﹣50°=10°； 且m＜n， （2）根据题意可知∠AOB=m度，∠AOC=n度，其中0＜m＜90，0＜n＜90，mn＜180 如图1中， ∠BOC=∠AOC﹣∠AOB=n﹣m， ∵OD是∠BOC的平分线， ∴∠BOD=1n﹣m∠BOC=， 22nm； 2∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=如图2中， ∠BOC=∠AOC+∠AOB=m+n， ∵OD是∠BOC的平分线， ∴∠BOD=1nm∠BOC=， 22nm. 2∴∠AOD=∠BOD﹣∠AOB=【点睛】 本题主要考查角平分线，解此题的关键在于根据题意进行分类讨论，所有情况都要考虑，切勿遗漏. 17．（1）4，16；（2）x＝﹣28或x＝52；（3）线段MN的运动速度为9单位长度/秒． 【解析】 【分析】 （1）由A1A2＝A2A3＝……＝A19A20结合|a1﹣a4|＝12可求出A3A4的值，再由a3＝20可求出a2＝16； （2）由（1）可得出a1＝12，a2＝16，a4＝24，结合|a1﹣x|＝a2+a4可得出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）由（1）可得出A1A20＝19A3A4＝76，设线段MN的运动速度为v单位/秒，根据路程＝速度×时间（类似火车过桥问题），即可得出关于v的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】 解：（1）∵A1A2＝A2A3＝……＝A19A20，|a1﹣a4|＝12， ∴3A3A4＝12， ∴A3A4＝4． 又∵a3＝20， ∴a2＝a3﹣4＝16． 故答案为：4；16． （2）由（1）可得：a1＝12，a2＝16，a4＝24， ∴a2+a4＝40． 又∵|a1﹣x|＝a2+a4， ∴|12﹣x|＝40， ∴12﹣x＝40或12﹣x＝﹣40， 解得：x＝﹣28或x＝52． （3）根据题意可得：A1A20＝19A3A4＝76． 设线段MN的运动速度为v单位/秒， 依题意，得：9v＝76+5， 解得：v＝9． 答：线段MN的运动速度为9单位长度/秒． 【点睛】 本题考查了一元一次方程的应用、数轴、两点间的距离以及规律性：图形的变化类，解题的关键是：（1）由相邻线段长度相等求出线段A3A4的长度及a2的值；（2）由（1）的结论，找出关于x的含绝对值符号的一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 18．(1) a=-24，b=-10，c=10；(2) 点P的对应的数是-44或4；(3) 当Q点开始运动后第36、21秒时，P、Q两点之间的距离为8，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）根据绝对值和偶次幂具有非负性可得a+24=0，b+10=0，c-10=0，解可得a、b、c的值； （2）分两种情况讨论可求点P的对应的数； （3）分类讨论：当P点在Q点的右侧，且Q点还没追上P点时；当P在Q点左侧时，且Q点追上P点后；当Q点到达C点后，当P点在Q点左侧时；当Q点到达C点后，当P点在Q点右侧时，根据两点间的距离是8，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】 （1）∵|a+24|+|b+10|+（c-10）2=0， ∴a+24=0，b+10=0，c-10=0， 解得：a=-24，b=-10，c=10； （2）-10-（-24）=14， ①点P在AB之间，AP=14×228=， 213 -24+2844=-， 3344； 3点P的对应的数是-②点P在AB的延长线上，AP=14×2=28， -24+28=4， 点P的对应的数是4； （3）∵AB=14，BC=20，AC=34， ∴tP=20÷1=20（s），即点P运动时间0≤t≤20， 点Q到点C的时间t1=34÷2=17（s），点C回到终点A时间t2=68÷2=34（s）， 当P点在Q点的右侧，且Q点还没追上P点时，2t+8=14+t，解得t=6； 当P在Q点左侧时，且Q点追上P点后，2t-8=14+t，解得t=22＞17（舍去）； 当Q点到达C点后，当P点在Q点左侧时，14+t+8+2t-34=34，t=46＜17（舍去）； 362＞20（舍去）， 3当Q点到达C点后，当P点在Q点右侧时，14+t-8+2t-34=34，解得t=当点P到达终点C时，点Q到达点D，点Q继续行驶（t-20）s后与点P的距离为8，此时2（t-20）+（2×20-34）=8， 解得t=21； 综上所述：当Q点开始运动后第6、21秒时，P、Q两点之间的距离为8． 【点睛】 此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，掌握非负数的性质，再结合数轴解决问题． 19．（1）B点坐标为（0，﹣6），C点坐标为（4，﹣6）（2）S△OPM＝4t或S△OPM＝﹣3t+21（3）当t为2秒或83131秒时，△OPM的面积是长方形OBCD面积的．此时点P的坐33标是（0，﹣4）或（，﹣6） 【解析】 【分析】 （1）根据绝对值、平方和算术平方根的非负性，求得a，b，c的值，即可得到B、C两点的坐标； （2）分两种情况：①P在OB上时，直接根据三角形面积公式可得结论；②P在BC上时，根据面积差可得结论； （3）根据已知条件先计算三角形OPM的面积为8，根据（2）中的结论分别代入可得对应t的值，并计算此时点P的坐标． 【详解】 （1）∵a6|2b+12|+（c﹣4）2=0，∴a+6=0，2b+12=0，c﹣4=0，∴a=﹣6，b=﹣6，c=4，∴B点坐标为（0，﹣6），C点坐标为（4，﹣6）． （2）①当点P在OB上时，如图1，OP=2t，S△OPM②当点P在BC上时，如图2，由题意12t×4=4t； 2得：BP=2t﹣6，CP=BC﹣BP=4﹣（2t﹣6）=10﹣2t，DM=CM=3，S△OPM=S长方形OBCD﹣S△0BP﹣S△PCM﹣S△ODM=6×41116×（2t﹣6）3×（10﹣2t）4×3=﹣3t+21． 222（3）由题意得：S△OPM11S长方形OBCD（4×6）=8，分两种情况讨论： 33①当4t=8时，t=2，此时P（0，﹣4）； ②当﹣3t+21=8时，t13261888，此时P（，﹣6）． ，PB=2t﹣633333131秒时，△OPM的面积是长方形OBCD面积的．此时点P的33综上所述：当t为2秒或坐标是（0，﹣4）或（8，﹣6）． 3 【点睛】 本题考查了一元一次方程的应用，主要考查了平面直角坐标系中求点的坐标，动点问题，求三角形的面积，还考查了绝对值、平方和算术平方根的非负性、解一元一次方程，分类讨论是解答本题的关键． 20．(1)5 ；(2)点F表示的数是11.5或者-6.5；(3)t【解析】 【分析】 （1）由AP=2可知PB=12-2=10，再由点M是PB中点可知PM长度； （2）点P运动3秒是9个单位长度，M为PB的中点，则可求解出点M表示的数是2.5，再由FM=2PM可求解出FM=9，此时点F可能在M点左侧，也可能在其右侧； （3）设Q运动的时间为t秒，由题可知t=4秒时，点P到达点A，再经过4秒点P停止运动；则分0t4和4t8两种情况分别计算，由题可知即可QM=2PM=BP，据此进行解答即可. 【详解】 (1)5 ； 12或t6. 7 (2)∵点A表示的数是5 ∴点B表示的数是7 ∵点P运动3秒是9个单位长度，M为PB的中点 1PB=4.5，即点M表示的数是2.5 2∵FM=2PM ∴FM=9 ∴点F表示的数是11.5或者-6.5 (3)设Q运动的时间为t秒， ∴PM=当0t4时，由题可知QM=2PM=BP，故点Q位于点P左侧， 则AB=AQ+QP+PB，而QP=QM-PM=2PM-PM= t=11BP，则可得12=2.5t+3t+3t=7t，解得2212； 7当4t8时，由题可知QM=2PM=BP，故点Q位于点B右侧， 则PB=2QB， 则可得，123t422.5t12，整理得8t=48，解得t6. 【点睛】 本题结合数轴上的动点问题考查了一元一次方程的应用，第3问要根据题干条件分情况进行讨论，作出图形更易理解.
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表示,运动,数轴,长度,速度,线段,规律,单位
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