2024年3月24日发(作者：宝鸡21年小学数学试卷)
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第1章实数集与函数
1.1本章要点详解
本章要点
■实数
■数集•确界原理
■函数的概念
■复合函数与反函数
重难点导学
一、实数
1．实数的表示
若规定：
a
0
.
a
1
a
2
a
n
a
0
.
a
1
a
2
(
a
n
1)99
9
则有限十进小数都能表示成无限循
环小数．
2．两个实数的大小关系
给定两个非负实数
其中
a
0
，
b
0
为非负整数，
a
k
，
b
k
（
k
＝1，2…）为整数，0≤
a
k
≤9，0≤
b
k
≤9．若有
则称
x
与
y
相等，记为
x
＝
y
；若
a
0
＞
b
0
或存在非负整数
l
，使得
1
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则称
x
大于
y
或
y
小于
x
．分别记为
x
＞
y
或
y
＜
x
．
对于负实数
x
，
y
，若按上述规定分别有－
x
＝－
y
与－
x
＞－
y
，则分别称
x
＝
y
与
x
＜
y
（或
y
＞
x
）．另外，自然规定任何非负实数大于任何负实数．
3．实数的性质
（1）实数集
R
对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算是封闭的，即任意两个实数
的和、差、积、商（除数不为0）仍然是实数．
（2）实数集是有序的，即任意两实数
a
，
b
必满足下述三个关系之一：
a
＜
b
，
a
＝
b
，
a
＞
b
．
（3）实数的大小关系具有传递性，即若
a
＞
b
，
b
＞
c
，则有
a
＞
c
．
（4）实数具有阿基米德性，即对任何
a
，
b
∈
R
，若
b
＞
a
＞0，则存在正整数
n
，使得
na
＞
b
．
（5）实数集
R
具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数．且既有有
理数，也有无理数．
（6）实数集
R
与数轴上的点有着一一对应关系．任一实数都对应数轴上唯一的一点；
反之，数轴上的每一点都唯一地代表一个实数．
4．绝对值与不等式
（1）绝对值
①定义
aa
0
|
a
|
aa
0
②性质
2
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a
．|
a
|＝|－
a
|≥0；当且仅当
a
＝0时有|
a
|＝0；
b
．－|
a
|≤
a
≤|
a
|；
c
．|
a
|＜
h
⇔－
h
＜
a
＜
h
；|
a
|≤
h
⇔－
h
≤
a
≤
h
（
h
＞0）；
d
．三角形不等式：
f
．
g
．
；
．
；
（2）几个重要不等式
①
ab2ab
，
sinx 1
，
sinx x
；
②均值不等式：
a
1
,
a
2
,
,
a
n
R
，令
22
a
1
a
2
a
n
1
n
M
(
a
i
)
a
i
nn
i
1
G
(
a
i
)
n
a
1
a
2
a
n
a
i
i
1
H
(
a
i
)
111
a
1
a
2
a
n
n
1
1
n
1
n
i
1
a
i
n
1
n
n
1
i
1
a
i
n
有平均值不等式
H
(
a
i
)
G
(
a
i
)
M
(
a
i
)
等号当且仅当
a
1
a
2
a
n
时成立．
③
Bernoulli
不等式
nn
x1
，有不等式
(1
x
)
1
nx
,
nN
，且当
x0
时，
(1x)1nx
．
二、数集•确界原理
1．区间与邻域
3
/
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（1）区间
设
a,b
∈
R
，且
a
＜
b
．称数集{
x
|
a
＜
x
＜
b
}为开区间，记作（
a
，
b
）；数集{
x
|
a
≤
x
≤
b
}称
为闭区间，记作[
a
，
b
]；数集{
x
|
a
≤
x
＜
b
}和{
x
|
a
＜
x
≤
b
}都为半开半闭区间，分别记作[
a
，
b
）
和（
a
，
b
]，以上这几类区间统称为有限区间．
满足关系式
x
≥
a
的全体实数
x
的集合记作[
a
，＋∞）．符号∞读作“无穷大”，＋∞读作
“正无穷大”．记
其中－∞读作“负无穷大”．以上这几类数集都称为无限区间．有限区间和无限区间统称为
区间．
（2）邻域
设
a
∈
R
，δ＞0，满足绝对值不等式|
x
－
a
|＜δ的全体实数
x
的集合称为点
a
的δ邻域，
记作
U
（
a
，δ），或简单地写作
U
（
a
）．即有
U
（
a
；
δ
）＝{
x
||
x
－
a
|＜
δ
}＝（
a
－
δ
，
a
＋
δ
）
点
a
的空心
δ
邻域定义为
U
0
（
a
；
δ
）＝{
x
|0＜|
x
－
a
|＜
δ
}
2．上确界与下确界
（1）相关概念
①设
S
是
R
中的一个数集．若存在数
M
（
L
），使得对一切
x
∈
S
，都有
x
≤
M
（
x
≥
L
），
则称
S
为有上界（下界）的数集，数
M
（
L
）称为
S
的个上界（下界）．
若数集
S
既有上界又有下界，则称
S
为有界集．若
S
不是有界集，则称
S
为无界集．
②设
S
是
R
中的一个数集．若数
η
满足
4
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a
．对一切
x
∈
S
，有
x
≤η，即
η
是
S
的上界；
b
．对任何α＜
η
，存在
x
0
∈
S
，使得
x
0
＞α，即又是
S
的最小上界．
则称数
η
为数集
S
的上确界，记作
η
＝sup
S
③设
S
是
R
中的一个数集．若数
ξ
满足
a
．对一切
x
∈
S
，有
x
≥ξ，即
ξ
是
S
的下界；
b
．对任何
β
＞
ξ
，存在
x
0
∈
S
，使得
x
0
＜
β
，即ξ又是
S
的最大下界．
则称数ξ为数集
S
的下确界，记作
ξ
＝inf
S
④上确界与下确界统称为确界．
（2）重要定理
①确界原理：设
S
为非空数集．若
S
有上界，则
S
必有上确界；若
S
有下界
,
则
S
必有
下确界；
②推广的确界原理：任一非空数集必有上、下确界．
三、函数的概念
1．函数的定义
给定两个实数集
D
和
M
，若有对应法则
f
，使对
D
内每一个数
x
，都有唯一的一个数
y
∈
M
与它相对应，则称
f
是定义在数集
D
上的函数，记作
数集
D
称为函数
f
的定义域，
x
所对应的数
y
称为
f
在点
x
的函数值，常记为
f
（
x
）．
2．函数的表示法
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主要有三种：表格法、图像法、解析法（公式法）．
3．几个特殊的函数
（1）常值函数
y
=
c
其定义域为
D
=(－
，＋
)
,
其值域为
R
f
={
c
}．
（2）绝对值函数
x
y
|
x
|
x
其定义域为
D
＝(－
,
＋
)
,
其值域为
R
f
=[0
,
＋
)．
（3）符号函数
x
0
x
0
1
x
0
y
sgn
x
0
x
0
1
x
0
其定义域为
D
＝(－
，＋
)
,
其值域为
R
f
={－1，0，1}．
（4）取整函数：
y=
[
x
]，[
x
]表示不超过
x
的最大整数；
（5）“非负小数部分”函数
yx[x]
，
x(,)
它的定义域是
D
,
，值域是
R
f
0,1
．
（6）狄利克雷函数
1
x
Q
y
D
(
x
)
0
x
Q
其定义域为
D
＝(－
，＋
)，其值域为
R
f
={0，1}．
（7）取最值函数
6
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