2010年江苏高考真题(含答案)数学

2024年4月12日发(作者：571分的中考数学试卷)

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2010年江苏高考数学试题

一、填空题

1．设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a

2

+4},A∩B={3}，则实数a=______________

2．设复数z满足z（2-3i）=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为______________

3．盒子中有大小相同的3只小球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同

的概率是___

4．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维

的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所

示，则其抽样的100根中，有____根在棉花纤维的长度小于20mm。

5．设函数f

（

x

）

=x

（

e

x

+ae

-x

）

,x∈R，是偶函数，则实数a=________________

频率

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

长度m

O

51015

20

2530

35

40

组距

x

2

y

2

1

上一点M，点M的横坐标是3，则M到6．在平面直角坐标系xOy中，双曲线

412

双曲线右焦点的距离是__________

7．右图是一个算法的流程图，则输出S的值是_____________

n←n+1

否

是

输出

结

开

S←

n←1

S←

S≥

8．函数y=x

2

（x>0）的图像在点（a

k

,a

k

2

）处的切线与x轴交点的横坐标为a

k+1

,k为正整数，

a

1

=16，则a

1

+a

3

+a

5

=_________

9．在平面直角坐标系xOy中，已知圆

xy4

上有且仅有四个点到直线12x-5y—c=0

的距离为1，则实数c的取值范围是___________

10．定义在区间



0,

22











上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作

2



PP

1

⊥x轴于点P

1

,直线PP

1

与y=sinx的图像交于点P

2

,则线段P

1

P

2

的长为____________

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

x

2

1,x0

11．已知函数

f(x)



,则满足不等式

f(1x

2

)f(2x)

的x的范围是________



1,x0

x

2

x

3

12．设实数x,y满足3≤

xy

≤8，4≤≤9，则

4

的最大值是_________

yy

2

13．在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a

、

b

、

c，

ba

6cosC

，则

ab

tanCtanC



__

tanAtanB

14．将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记

2

(梯形的周长）

S=,则S的最小值是______________

梯形的面积

二、解答题

15．（14分）在平面直角坐标系xOy中，点A（-1,-2）,B（2,3）,C（-2,-1）

（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长





（2）设实数t满足（

ABtOC

）·

OC

=0，求t的值

16．（14分）如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC，

∠BCD=90

0

（1）求证：PC⊥BC

P

（2）求点A到平面PBC的距离

E

D

C

α

β

A

B

D

A

B

d

17．（14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位m），如示意图，垂直放置的标杆

BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β

（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H的值

（2）该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），

使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多

少时，α-β最大

x

2

y

2

1

的左右顶点为A,B，18．（16分）在平面直角坐标系

xoy

中，如图，已知椭圆

95

右焦点为F，设过点T（

t,m

）的直线TA,TB与椭圆分别交于点M

(x

1

,y

1

)

，

N(x

2

,y

2

)

，

其中m>0,

y

1

0,y

2

0

①设动点P满足

PFPB4

,求点P的轨迹

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22

A

O

F

B

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②设

x

1

2,x

2



1

，求点T的坐标

3

③设

t9

,求证：直线MN必过x轴上的一定点

（其坐标与m无关）

19．（16分）设各项均为正数的数列



a

n



的前n项和为

S

n

，已知

2a

2

a

1

a

3

，数列

是公差为

d

的等差数列．

①求数列



a

n



的通项公式（用

n,d

表示）

②设



S



n

c

为实数，对满足

mn3k且mn

的任意正整数

m,n,k

，不等式

9

S

m

S

n

cS

k

都成立。求证：

c

的最大值为

2

20．（16分）设

f(x)

使定义在区间

(1,)

上的函数，其导函数为

f\'(x)

．如果存在实数

a

和

函数

h(x)

，其中

h(x)

对任意的

x(1,)

都有

h(x)

>0，使得

f\'(x)h(x)(x

2

ax1)

，则称函数

f(x)

具有性质

P(a)

．

（1）设函数

f(x)

h(x)

b2

(x1)

，其中

b

为实数

x1

①求证：函数

f(x)

具有性质

P(b)

②求函数

f(x)

的单调区间

（2）已知函数

g(x)

具有性质

P(2)

，给定

x

1

,x

2

(1,),x

1

x

2

,设m为实数，



mx

1

(1m)x

2

，



(1m)x

1

mx

2

，且



1,



1

，若|

g(



)g(



)

|

<|

g(x

1

)g(x

2

)

|,求

m

的取值范围

【理科附加题】

21．（从以下四个题中任选两个作答，每题10分）

（1）几何证明选讲

AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过点D作⊙O的切线交AB延长线于C，若

DA=DC，求证AB=2BC

D

A

O

B

C

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（2）矩阵与变换

在平面直角坐标系xOy中，A（0,0）,B（-3,）,C（-2,1）,设k≠0，k∈R，

M=





k0



01



,N=,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点A

1

,B

1

,C

1

,△





01



10



A

1

B

1

C

1

的面积是△ABC面积的2倍，求实数k的值

（3）参数方程与极坐标

在极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值

（4）不等式证明选讲

已知实数a,b≥0，求证：

a

3

b

3

ab(a

2

b

2

)

22．（10分）某厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品一等品80%，二等品20%；生产乙产品，

一等品90%，二等品10%。生产一件甲产品，如果是一等品可获利4万元，若是二等

品则要亏损1万元；生产一件乙产品，如果是一等品可获利6万元，若是二等品则要亏

损2万元。设生产各种产品相互独立

（1）记x（单位：万元）为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润，求x的分布列

（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率

23．（10分）已知△ABC的三边长为有理数

（1）求证cosA是有理数

（2）对任意正整数n，求证cosnA也是有理数

参考答案

一、填空题

1．1 3．

1

4．30 5．—1 6．4 7．63 8．21 9．（—39，+39）；

2

10．

2

323

11．

(1,21)

12．27 13．4 14．

3

3

二、解答题

15．（14分）



（1）

AB(3,5),AC(1,1)



求两条对角线长即为求

|ABAC|与|ABAC|

，



由

ABAC(2,6),得|ABAC|210

，

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