2015年考研数学(二)真题含答案详解

2024年1月18日发(作者：2017黄中考数学试卷)

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题解析

一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

．．．(1)下列反常积分收敛的是( )

(A)

21dx (B)

x2lnx (C)1dxdx(D)

2xlnxx2x

dxxe【答案】(D)

【解析】xxx，则dx(x1)edx(x1)exxx2ee23e2lim(x1)ex3e2.

x(2) 函数fxlim(1t0x2sintt)x在(,)内( )

(A) 连续

(B) 有可去间断点

(C)有跳跃间断点

(D) 有无穷间断点

【答案】(B)

sintxlimsintxtt0xt)eex，x0，故f(x)有可去间断点x0. 【解析】f(x)lim(1t0x221xcos,x0x(0,0),若f\'x在x0处连续则:( ) (3) 设函数fx0,x0(A)0 (B)01

(C)2(D)02

【答案】(A)

【解析】x0时，fx0f00

f0limx0xcos1011x

limxcosx0xxx0时，fxx1cosx1cos1111xsin

xxx1111xsin

xx

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1xcosfx在x0处连续则：f0f0limx010得10

x1111f0limfx=limxcosxsin=0

x0+x0+xx得：10，答案选择A

(4)设函数f(x)在,内连续，其中二阶导数f(x)的图形如图所示，则曲线yf(x)的拐点的个数为( )

(A)

0 (B)

1 (C)2 (D)

3

【答案】(C)

【解析】根据图像观察存在两点，二阶导数变号.则拐点个数为2个.

(5) 设函数fu,v满足fxy,xy，则xu22yfu1v1与fvu1v1依次是 ( )

(A)

1111,0 (B)

0, (C),0 (D)

0,

2222【答案】(D)

【解析】此题考查二元复合函数偏导的求解.

令uxy,vyuuvy，则x，从而f(xy,)x2y2变为

,yx1v1vx222f2u(1v)f2u2uuvu(1v),.故，

f(u,v)2u1vv(1v)1v1v1v因而fuu10,v1fv1.故选（D）.

u12v1(6)设D是第一象限由曲线2xy1，4xy1与直线yx，y数fx,y在D上连续，则3x围成的平面区域，函fx,ydxdy ( )

D(A)

d341sin212sin2frcos,rsinrdr

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(B)d341sin212sin21sin212sin2frcos,rsinrdr

frcos,rsindr

(C)d34(D)

d341sin212sin2frcos,rsindr

【答案】(B)

【解析】根据图可得，在极坐标系下计算该二重积分的积分区域为11D(r,),r

432sin2sin2所以

f(x,y)dxdyd3D41sin212sin2f(rcos,rsin)rdr

故选B.

1111(7) 设矩阵A12a,bd.若集合1,2，则线性方程组Axb有无穷多14a2d2解的充分必要条件为 ( )

(A)

a,d (B)

a,d

(C)a,d(D)

a,d

【答案】(D)

111【解析】(A,b)12a14a211111d01a1d12d00(a1)(a2)(d1)(d2)，

由r(A)r(A,b)3，故a1或a2，同时d1或d2.故选（D）

222(8) 设二次型fx1,x2,x3在正交变换xPy下的标准形为2y1，其中y2y3P(e1,e2,e3)，若Q(e1,e3,e2)则f(x1,x2,x3)在正交变换xQy下的标准形为( )

222222(A)2y1 (B)

2y1

y2y3y2y3

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222222(C)2y1(D)

2y1y2y3y2y3

【答案】(A)

22【解析】由xPy，故fxTAxyT(PTAP)y2y12y2.

y3200T且PAP010.

001100由已知可得QP001PC

010200TTT故QAQC(PAP)C010

00122所以fxTAxyT(QTAQ)y2y12y2.选（A）

y3二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.

．．．xarctantd2y (9)

则23dxy3tt【答案】48

t1

dydy33t2dt3(1t2)2 【解析】dx1dxdt1t2d[3(1t2)2]212t(1t)d2yd2222dt12t(1t)

[3(1t)]dx1dx2dxdt1t2d2y48.

dx2t1 (10)函数f(x)x2在x0处的n阶导数f(0)_________

【答案】nn1ln2n22xn

【解析】根据莱布尼茨公式得：

fn0Cn222x(n2)x0n(n1)n2n22ln2n(n1)ln2

2x20(11) 设fx连续，x【答案】2

xftdt，若11,15，则f1

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【解析】已知(x)x10x20f(t)dt，求导得(x)x20f(t)dt2x2f(x2)，故有(1)f(t)dt1,

(1)12f(1)5,则f(1)2.

(12)设函数yyx是微分方程yy2y0的解，且在x0处yx取得极值3，则\'\'\'yx=.

【答案】e2x2ex

【解析】由题意知：y03，y00，由特征方程：220解得11,22

x2x所以微分方程的通解为：yC1eC2e代入y03，y00解得：C12C21

解得：y2eex2x

x2y3z(13)若函数Zzx,y由方程e【答案】xyz1确定，则dz0,0=.

1dx2dy

3【解析】当x0,y0时z0，则对该式两边求偏导可得(3ex2y3zxy)zyzex2y3z

x(3ex2y3zxy)zxz2ex2y3z.将（0,0,0）点值代入即有

yz1z2,.

x(0,0)3y(0,0)3则可得dz|(0,0)dx1321dydx2dy.

33(14)

若3阶矩阵A的特征值为2,2,1，BA2AE，其中E为3阶单位阵，则行列式B.

【答案】21

【解析】A的所有特征值为2,2,1.B的所有特征值为3,7,1.

所以|B|37121.

三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、．．．

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证明过程或演算步骤.

(15) (本题满分10分）

设函数f(x)xaln(1x)bxsinx，g(x)kx.若f(x)与g(x)在x0时是等价无穷小，求a,b,k的值.

3【答案】a1,k,b【解析】

方法一：

131

2x2x3x33o(x)，sinxxo(x3)， 因为ln(1x)x3!23那么，

aa(1a)x(b)x2x3o(x3)f(x)xaln(1x)bxsinx231limlimlim，

33x0g(x)x0x0kxkx1a0a11a可得：b0，所以，b．

221ak133k方法二：

由题意得

1limx0f(x)xaln(1x)bxsinxlimlimx0g(x)x0kx32x01absinxbxcosx1x

3kx2由分母lim3kx0，得分子lim(1x0absinxbxcosx)lim(1a)0，求得c；

x01x于是1limx0f(x)limg(x)x011bsinxbxcosx1x

3kx2xb(1x)sinxbx(1x)cosx

2x03kx（1x）xb(1x)sinxbx(1x)cosx

limx03kx2lim

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lim1bsinxb(1x)cosxb(1x)cosxbxcosxbx(1x)sinx

x06kxx0由分母lim6kx0，得分子

lim[1bsinx2b(1x)cosxbxcosxbx(1x)sinx]lim(12bcosx)0，

x0x0求得b1；

2进一步，b值代入原式

1111sinx(1x)cosxxcosxx(1x)sinxf(x)2221lim

limx0g(x)x06kx111111cosxcosx(1x)sinxcosxxsinx(1x)sinxxsinxx(1x)cosx22222lim2x06k112，求得k.

36k (16) (本题满分10分)

设A>0，D是由曲线段yAsinx(0x2)及直线y0，x2V1，所围成的平面区域，V2分别表示D绕x轴与绕y轴旋转成旋转体的体积，若V1V2，求A的值.

【答案】8

【解析】由旋转体的体积公式，得

2022022V1f(x)dx(Asinx)dxA0202A21cos2xdx

420V222xf(x)dx-2A2xdcosx2A

由题V1V2,求得A(17) (本题满分11分)

2已知函数f(x,y)满足fxy\"(x,y)2(y1)ex，fx(x,0)(x1)e，f(0,y)y2y，8.

\'x求f(x,y)的极值.

【答案】极小值f(0,1)1

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(x,y)2(y1)e两边对y积分，得 【解析】fxy1fx(x,y)2(y2y)ex(x)(y22y)ex(x)，

2x故fx(x,0)(x)(x1)e，

x求得(x)e(x1)，

2xx故fx(x,y)(y2y)ee(1x)，两边关于x积分，得

xf(x,y)(y22y)exex(1x)dx

(y22y)ex(1x)dex

(y22y)ex(1x)exexdx

(y22y)ex(1x)exexC

(y22y)exxexC

由f(0,y)y2yCy2y，求得C0.

所以f(x,y)(y2y)exe.

2xxxx0fx(y2y)eexe0令，求得.

xf(2y2)e0y1y2xx22(y22y)ex2exxex， 又fxx2(y1)ex，fyy2ex，

fxy(0,1)0,Cfyy(0,1)2，

(0,1)1,Bfxy当x0,y1时，AfxxACB20,f(0,1)1为极小值.

(18) (本题满分10分)

计算二重积分222x(xy)dxdy，其中D(x,y)xy2,yxD

【答案】【解析】12

45DD2x(xy)dxdyxdxdy

2x22dx20xx2dy

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2x2(2x2x2)dx

012x0122x2sint22xdx242sin2t2cos2tdt

05522u2t22224sin2tdt2sin2udu.

005545(19)(本题满分 11 分)

已知函数fx【答案】2个

【解析】f(x)1x22x1x21x2(2x1)

令f(x)0,得驻点为x1x1t2dt1X21tdt，求fx零点的个数？

1,

212在(,),f(x)单调递减,在(,),f(x)单调递增

故f()为唯一的极小值,也是最小值.

1111122而f()11tdt41tdt11tdt11tdt

12224121211tdt11td22121121411td

1在(,1),1t1t,故122121t2dt11tdt0

2从而有f()0

12xlimf(x)lim[1tdtxx12xx12x21x21tdt]

1tdt]lim[xx21xlimf(x)lim[1tdtx21x11tdtx11t2dt]

考虑limx1tdt1tdt2lim122x1x21x122x，所以limf(x).

x1所以函数f(x)在(,)及(,)上各有一个零点，所以零点个数为2.

(20) (本题满分10分)

已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120C的物体在20C的恒温介质中冷却，30min后该

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物体降至30C，若要将该物体的温度继续降至21C，还需冷却多长时间？

【答案】30min

【解析】设t时刻物体温度为x(t)，比例常数为k(0)，介质温度为m,则

dxk(xm)，从而x(t)Cektm，

dtx(0)120,m20，所以C100，即x(t)100ekt20

1120

t12100当x21时，t１，所以还需要冷却３０min.

又x()30,所以k2ln10，所以x(t)(21) (本题满分10分)

已知函数fx在区间a，+上具有2阶导数，fa0，fx0，f\'\'x0，设ba，曲线yfx在点b,fb处的切线与x轴的交点是x0，0，证明ax0b.

【证明】根据题意得点(b,f(b))处的切线方程为yf(b)f(b)(xb)

令y0，得x0bf(b)

f(b)因为f(x)0所以f(x)单调递增，又因为f(a)0

所以f(b)0，又因为f(b)0

所以x0bf(b)b

f(b)f(b)，而在区间（a,b）上应用拉格朗日中值定理有

f(b)又因为x0abaf(b)f(a)f(),(a,b)

ba所以x0abaf(b)f(b)f(b)f(b)f()f(b)

f(b)f()f(b)f(b)f()因为f(x)0所以f(x)单调递增

所以f(b)f()

所以x0a0，即x0a，所以ax0b，结论得证.

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(22) (本题满分 11 分)

a10设矩阵A1a1且A3O.

01a(1)

求a的值；

(2)

若矩阵X满足XXA2AXAXA2E，E为3阶单位阵，求X.

【答案】201a0,X111211【解析】

a1(I)AOA0130a0a110aa11a2a1a30a0

01(II)由题意知

XXA2AXAXA2EXEA2AXEA2EEAXEAEXEA21EA212EAEA

1XEAA21011EA2A111，

112011100111010111010011100

112001112001111010111010011100011100

021011001211110201100312010111010111

001211001211312X111

211 (23) (本题满分11 分)

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120023设矩阵A133相似于矩阵B0b0.

12a031（1）求a,b的值；

（2）求可逆矩阵P，使P1AP为对角阵.

【答案】

（1）a4,b5；

（2）231P101011

【解析】(I)A~Btr(A)tr(B)3a1b1

0AB112323a120b300

130ab1a4

2ab3b5023100123(II)A133010123EC

1230011231231C1231123

1231C的特征值120,34

0时(0EC)x0的基础解系为1(2,1,0)T;2(3,0,1)T

5时(4EC)x0的基础解系为3(1,1,1)T

A的特征值A1C:1,1,5

231令P(1,2,3)101，

011

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1P1AP1

5

13年考研英语熟词偏义词汇大全

考研英语词汇中，有这样一类词，虽然很眼熟，但是在句子中的意思却不是自己熟悉的，这类词汇被成为“熟词偏义”。通常情况下，这类词汇是很让人头疼的，那么在2010年考研英语复习中，考研教育网辅导专家建议广大考生可以把这类词单独拿出来，熟练记忆其不常见的用法。

embrace 包括；接受， 信奉；拥抱

preferred 有优先权的

exceptional 特殊的；例外的

prejudice 损害；偏见

dormant 暂停活动的；潜在的；睡着的

serve 有作用

act 法案；(戏剧的)一幕

govern 适用于，管理term条款，术语；学期

personality 人物，名人；个性，人格

fine 细微的

secure 获得，得到；a。安全的

rather 恰恰相反；相当

knowledge 知道；知识

aggressive 有进取心的，大胆的；侵犯的

reasoning 推理

interpret 解释，口译

assume 假设，承担，采用

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mental 心理的，精神的，智力的

account 描述；叙述

coverage 新闻报道，覆盖

launch 发起，开展，发射

grant 授予，同意，准予

line 思路

engage 雇用，使参与

dictate 命令，口授，听写

render 使得；给予；翻译

discipline 训练，学科；纪律

acute 敏锐的；(病)急性的

fair 集市，交易会，博览会

virtually 几乎，实际上

authority 当局

import 意义，重要性，含义；进口，输入

implication 含义，暗示

passage 通过；段落

otherwise 在其他方面，否则

diversion 消遣，转移

harsh 严酷的，严厉的；难听的

frontier 前沿，新领域；边境

settlement 定居地，解决

convention 习俗；大会，会议；公约

abuse 滥用；虐待；谩骂

perceptual 感知的，知觉的

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perception 感知，察觉；理解

radically 根本地，极端地，激进地

group 分组，分类

late 已故的；迟的，晚的

close 完成

ground 理由，根据

latitude (言语、行动等的)回旋余地，自由；纬度

conduct 指挥，管理；行为

favorable 有利的，顺利的，赞许的

bid 企图，努力

contention 争夺，竞争；争吵；争辩，论点

establish 确定；建立，确立

conclusive 有说服力的，确定性的；决定性的

fashion 方式；流行式样

blunt 直率的；钝的trial审判；试验

dramatize 使引人注目，使戏剧化，生动地表达

plague 令人烦恼的事；瘟疫，灾害

discern 区别，识别；理解

span 横跨，跨越；持续，包括；n。一段时间；跨度

population (某地或某类)物品的总数，种群；人口

slip 滑倒；n。疏忽，小错

liability 责任，义务；债务[复数]

claim 索赔；声称，主张

tap 开发，利用

betray 背叛，出卖；暴露

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highlight 强调，突出

acquisition 获得，学会

panel 专门小组

appeal to 呼吁；吸引；上诉

impose 强加，征(税)

entrance 进入，入口(动词enter)

referee 审阅；仲裁(动词refer参考)

alien 不相容的，陌生的，外国的

might 力量，威力(形容词mighty 强有力的)

lateral 平级的；侧面的

cover 掩饰，盖住

exit 辞职；出口

term 把…称为，把…叫做

preach 竭力鼓吹，宣讲，讲道

publicize 宣传，公布

build-up 积聚，增长

juggle 尽力对付(文中指同时做几件事情)，使保持平衡；玩杂耍

well-established 固定下来的；得到确认的

redundancy 裁员；多余(形容词redundant多余的)

address 向…作正式讲话，对…发表演讲

version 版本；说法

fraction 小部分，片断，分数

disregard 不理会，漠视(反义词regard认为)

suspend 暂停，中止；悬，挂

muted温和的，趋缓的；缄默的，无言的

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swing 摇摆；秋千(同义词fluctuation波动)

emerging 新兴的

implication 含义，暗示(动词imply)

rule 裁决，裁定

prescribe 开(药)；规定(prescription处方)

fuel 激起，刺激；n. 燃料

aggressive 大胆的；侵略性的

intelligence 情报，智力， 才智 (形容词intelligent)

margin 差额，余地，边缘，页边空白(形容词marginal 微小的，少量的，不重要的)

immunization 免疫；不受影响(动词immunize)

ultimate 最终的，根本的

freight 货物，运费

appeal 申诉，上诉；吸引

discrimination 歧视；区别(动词discriminate)

subscribe 同意，赞成；订购，订阅

apprehensive 忧虑的，担心的(动词apprehend理解)

depression 抑郁，消沉；萧条(动词 depress )

opening 空缺职位(同义词vacancy)

predecessor前辈，前任，前身

literally 简直，照字面地

temper 调和，使缓和；脾气

exploitation 剥削，利用；开发(动词exploit)

assumption 假设，假定；担任，承担(动词assume)

preserve 独占的领域(活动范围或地区)；动植物保护区；保存

parallel 类似的事物；平行线

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enlist 征募；赢得(帮助或支持)

critical 关键性的；批评的

fashion 制定，形成，改革

involve 包含，牵涉，使参与

altogether完全；总计

worthy 优秀的；值得的

game <总称>猎物；游戏，比赛

fishery 渔场；渔业

figure 数字；体型；图画

vessel 船；容器

stock 种类；库存

current 流行的；流通的，当前的

anchor 主播，主持人；锚

multiply 乘；大量增加，繁殖

note 指出；记录

harsh 严酷的；刺耳的

odds 可能性，机会；冲突

exercise 履行(职责等)，实行，执行；运用，发挥；锻炼，练习

fallout 附带结果，余波；放射性坠尘

peer (into)检查；窥视

dim 迟钝的，愚蠢的；暗淡的

来源：新浪网

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