2024年3月20日发(作者：期末大阅兵数学试卷分析)
第
２
希望杯
”
全国数学邀请赛试题
７
届
“
初中一年级
第
１
试
一
、
选择题
１．
下列计算中
，
正确的是
（）
（
Ａ
）
ｘ
２
＋
ｘ
３
＝
ｘ
５
．
（
Ｂ
）
ｘ
４
－
ｘ
２
＝
ｘ
２
．
（
Ｃ
）
ｘ
２
·
ｘ
３
＝
ｘ
６
．
（
Ｄ
）
ｘ
３
÷
ｘ
２
＝
ｘ
．
２．
若
ｎ
个人完成一项工程需要
ｍ
天
，
则
（
ｍ
＋
ｎ
）
个人完成这项工程需要
（）
天
．
（
Ａ
）
ｍｎｍ
－
ｍ
＋
ｎ
．
（
Ｂ
）
ｎ
ｍ
＋
ｎ
．
（
Ｃ
）
ｍ
＋
ｎ
．
（
Ｄ
）
ｍｎ
ｍｎｍ
＋
２
ｎ
．
３．
关于多项式
１
２
ｘ
３
ｙ
＋
５
ｙ
４
ｘ
２
－
２
ｙ
７
＋
４
，
有
以下叙述
：
①
该多项式是六次三项式
；
②
该多项式是七次四项式
；
③
该多项式是七次三项式
；
④
该多项式最高次项的系数是
－
２
；
⑤
该多项式常数项是
－
４．
其中
，
正确的是
（）
（
Ａ
）
①④
．
（
Ｂ
）
③⑤
．
（
Ｃ
）
②④
．
（
Ｄ
）
②⑤
．
４．Ｉｆ
ａ
，
ｂ
，
ａｎｄ
ｃ
ａｒｅ
ｐ
ｏｓｉｔｉｖｅ
ｎｕｍ
ｂｅｒｓ
ｕｃｈ
ｔｈａｔ
３
ａ
＝
４
ｂ
＝
５
ｃ
，
ａｎｄ
ｉｆ
ａ
＋
ｂ
＝
ｋｃ
，
ｔｈｅｎ
＝
（）
（
Ａ
）
１２
３５
．
（
Ｂ
）
５
７
．
（
Ｃ
）
７
５
．
（
Ｄ
）
３５
１２
．
５．
若非零自然数
ａ
，
ｂ
的最大公约数与最小
公倍数之和恰等于
ａ
，
ｂ
的乘积
，
则
（
ａ
２
ｂ
２
ａ
２
＋
ｂ
２
）
１０
（）
（
Ａ
）
１．
（
Ｂ
）
１０２４．
（
Ｃ
）
２１０４．
（
Ｄ
）
２０１６．
６．
如图
１
，
在
７
×
４
的网格
中
，
Ａ
，
Ｂ
，
Ｃ
是三个格点
，
则
∠
ＡＢＣ
＝
（）
（
Ａ
）
１０５°．
（
Ｂ
）
１２０°．
（
Ｃ
）
１３５°．
图
（
Ｄ
）
１５０°．
１
７．
若
ａ
，
ｂ
，
ｃ
满足
ａ
２
－
６
ｂ
＝－
１４
，
ｂ
２
－
８
ｃ
＝－
２３
，
ｃ
２
－
４
ａ
＝
８
，
则
ａ
＋
ｂ
＋
ｃ
的值是
（）
（
Ａ
）
６．
（
Ｂ
）
７．
（
Ｃ
）
８．
（
Ｄ
）
９．
８．
在
１
，
２
，
３
，…，
９９
，
１００
这
１００
个自然数中
，
不是
２
，
３
，
５
的倍数的数有
ｋ
个
，
则
ｋ
＝
（）
（
Ａ
）
２５．
（
Ｂ
）
２６．
（
Ｃ
）
２７．
（
Ｄ
）
２８．
９．
若定义
ａ
＊
ｂ
＝
ａｂ
＋
ａ
＋
ｂ
，
从左到右依次
计算
ｘ
＝
１
＊
２
＊
３
＊
…
＊
（
ｎ
－
１
）
＊
ｎ
，
则满足
ｘ
＞
２０１６
的最小正整数
ｎ
是
（）
（
Ａ
）
６．
（
Ｂ
）
７．
（
Ｃ
）
８．
（
Ｄ
）
９．
１０．
将
２５
个棱长为
１
的正方体积木摆成一
堆
，
则形成的几何体的表面积最小是
（）
（
Ａ
）
２５．
（
Ｂ
）
５０．
（
Ｃ
）
５４．
（
Ｄ
）
７０．
二
、
Ａ
组填空题
１１．
［（
－
２０
）
＋
（
－
１６
）］
×
［（
２
＋
０
）
＋
１
×
６
］
×
［
２
×
０
－
（
１
＋
６
）］
＝
．
１２．
数字和等于
２０１６
的最小自然数中含有
数字
９
的个数是
．
１３．
有一列数
，
第一个数是
２０
，
第二个数是
１６
，
从第三个数开始的每个数都是前面所有数
的平均数
，
则在这列数中
，
前
２０１６
个数的和等
于
．
１４．
三个不等于零的有理数
ａ
，
ｂ
，
ｃ
满足
（
ａ
＋
ｂ
）（
ｂ
＋
ｃ
）（
ｃ
＋
ａ
）
＝
０
，
则
（
ａ
＋
ｂ
＋
ｃ
）
（
ａ
３
＋
ｂ
３
＋
ｃ
３
）（
ａ
５
＋
ｂ
５
＋
ｃ
５
）（
ａ
７
＋
ｂ
７
＋
ｃ
７
）
ｓ
ｋ
＝
（
ａ
９
＋
ｂ
９
＋
ｃ
９
）
÷
（
ａ
２５
＋
ｂ
２５
＋
ｃ
２５
）
＝
．
１５．
若
ｘ
，
ｙ
都是正整数
，
ｘ
是
６
的倍数
，
且
ｘ
２
－
ｙ
２
＝
２０１６
，
这样的
（
ｘ
，
ｙ
）
共有组
．
１６．
关于
ｍ
的方程
６
ｍ
＋
ｎ
＝
２１
的根是
ｎ
－
７
，
那么
ｍ
的值是
．
１７．
如图
２
，
在
△
ＡＢＣ
中
，
Ｄ
，
Ｅ
，
Ｆ
，
Ｇ
分别是
ＡＣ
，
ＡＢ
，
ＥＤ
，
ＢＦ
的五等分点
、
四等分点
、
三等分点
、
二等
分点
．
若
△
ＡＢＣ
的面积是
图
２
２５
，
则
△
ＦＧＤ
的面积是
．
１８．
小明有
１０
分
、
１５
分和
２０
分三种面值的
邮票共
３０
张
，
面值的总和为
５
元
，
其中
２０
分邮
票比
１０
分邮票多张
．
１９．Ｉｆ
ｐ
ａｎｄ
ｑ
ｉｓ
ｐ
ｒｉｍｅ
ｎｕｍ
ｂｅｒｓ
ｓｕｃｈ
ｔｈａｔ
ｐ
＝
２
ｑ
２
＋
１
，
ｔｈｅｎ
ｐ
３
－
２０１６
ｑ
２
＝
．
２０．
如图
３
，
两张
４８
×
４０
的
长方形纸片有一个顶点重合
，
重叠放置的尺寸如图所标示
．
则图中阴影部分的面积
图
３
＝
．
三
、
Ｂ
组填空题
２１．
对任意的四个有理数
ａ
，
ｂ
，
ｃ
，
ｄ
，
定义
ａ
ｂ
２０１５
２０１６
运算
ｃ
ｄ
＝
ａｄ
－
ｂｃ
，
则
（
－
１
）
１
（
－
１
）
２０１４
２
的
相反数是
；
倒数的绝对值是
．
２２．
某公园的门票是
１０
元
／
人
，
团体购票有
如下优惠
：
购票人数票价
１
～
３０
人无折扣
３１
～
６０
人超出
３０
人的部分
，
票价打八折
６０
人以上超出
６０
人的部分
，
票价打五折
某校七年级两个班到该公园秋游
，
其中甲
班多于
３０
人
，
乙班不足
３０
人
，
如果以班为单位
分别购票
，
两个班一共应付
５９８
元
；
如果两个班
作为一个团体购票
，
一共应付
５４５
元
，
则甲班有
人
，
乙班有人
．
２３．
如图
４
，
在
△
ＡＢＣ
中
，
点
Ｄ
是
ＢＣ
的中点
，
点
Ｅ
在边
ＡＣ
上
，
且
ＡＥ
∶
ＥＣ
＝
２
∶
１
，
ＡＤ
与
ＢＥ
交于点
Ｆ
，
则
ＡＦ
∶
ＦＤ
＝
，
ＢＦ
∶
ＦＥ
＝
．
图
４
２４．
如果质数
ｐ
和
ｑ
使得
ｐ
２
＝
２
ｑ
２
＋
１
，
那么
ｐ
＝
，
ｑ
＝
．
２５．
有同样大小的三个立方体骰子
，
每个骰
子的展开图如图
５
所示
，
如果把一个骰子点数
是
４
的一面放在桌子上
，
那么其它五个可以看
得到的面上的数字的和是
１７．
现在把这三个骰
子放在桌子上
（
如图
６
）
，
凡是能看得到的点数之
和最大是
，
最小是
．
图
５
图
６
答
·
提示
一
、
选择题
题号
１
２
３
４
５
６
７
８
９
１０
答案
Ｄ
Ａ
Ｃ
Ｄ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｂ
Ａ
Ｃ
提示
：
１．
按运算规则进行
，
得
ｘ
２
＋
ｘ
３
＝
ｘ
２
（
１
＋
ｘ
），
ｘ
４
－
ｘ
２
＝
ｘ
２
（
ｘ
２
－
１
），
ｘ
２
×
ｘ
３
＝
ｘ
５
，
ｘ
３
÷
ｘ
２
＝
ｘ
．
故选
（
Ｄ
）
．
２．
因为
ｎ
个人完成一项工程需要
ｍ
天
，
则
每人每天的工作量是
１
ｍｎ
，
于是
（
ｍ
＋
ｎ
）
个人每
天的工作量是
１
ｍｎ
×
（
ｍ
＋
ｎ
），
所以完成这项工
程需要
ｍｎ
ｍ
＋
ｎ
天
．
故选
（
Ａ
）
．
３．
说法正确的是
②④
．
多项式里最高次项的
次数就是多项式的次数
，
所以该多项式是七次四
项式
；
易知该多项式最高次项的系数是
－
２．
故选
（
Ｃ
）
．
４．
译文
：
如果
ａ
，
ｂ
和
ｃ
是正数使得
３
ａ
＝
４
ｂ
＝
５
ｃ
，
ａ
＋
ｂ
＝
ｋｃ
，
则
ｋ
＝
（
）
（
Ａ
）
１２
３５
．
（
Ｂ
）
５
７
．
（
Ｃ
）
７
５
．
（
Ｄ
）
３５
１２
．
解
由
３
ａ
＝
４
ｂ
＝
５
ｃ
，
得
ａ
＝
５
ｃ
５
ｃ
３
，
ｂ
＝
４
，
所以
ａ
＋
ｂ
＝
５
ｃ
５
ｃ
２０
ｃ
＋
１５
ｃ
３５
ｃ
３
＋
４
＝
１２
＝
１２
．
因为
ａ
＋
ｂ
＝
ｋｃ
，
所以
ｋｃ
＝
３５
ｃ
１２
．
于是
ｋ
＝
３５
１２
．
故选
（
Ｄ
）
．
５．
假设
ａ
＞
ｂ
，
则
［
ａ
，
ｂ
］
被
ａ
整除
，
ａｂ
被
ａ
整
除
，
因为
ａ
，
ｂ
的最大公约数与最小公倍数之和
恰等于
ａ
，
ｂ
的乘积
，
所以
（
ａ
，
ｂ
）
被
ａ
整除
．
但
１
≤
（
ａ
，
ｂ
）
≤
ｂ
＜
ａ
，
矛盾
．
类似地
ａ
＜
ｂ
的情况也不
可能
．
所以
ａ
＝
ｂ
．
由条件得
ａ
＋
ａ
＝
ａ
２
，
即
２
ａ
＝
ａ
２
，
因为
ａ
＞
０
，
所以
ａ
＝
２．
由此
ａ
＝
ｂ
＝
２．
（
ａ
２２０
于是
ｂ
ａ
２
＋
ｂ
２
）
１０
（
２
＝
２
·
２
２
２
２
＋
２
２
）
１
＝
２
１０
＝
１０２４．
故选
（
Ｂ
）
．
另解
由题设可知
［
ａ
，
ｂ
］
＋
（
ａ
，
ｂ
）
＝
ａ
·
ｂ
，
又因为
（
ａ
，
ｂ
）［
ａ
，
ｂ
］
＝
ａｂ
，
所以
（
ａ
，
ｂ
）
＋
［
ａ
，
ｂ
］
＝
（
ａ
，
ｂ
）
·
［
ａ
，
ｂ
］，
则
［
ａ
，
ｂ
］
＝
（
ａ
，
ｂ
）
（
ａ
，
ｂ
）
－
１
＝
１
＋
１
（
ａ
，
ｂ
）
－
１
．
因为
［
ａ
，
ｂ
］
必是自然数
，
则
１
（
ａ
，
ｂ
）
－
１
也是自然数
，
所以
（
ａ
，
ｂ
）
＝
２
，［
ａ
，
ｂ
］
＝
２
，
于是
ａ
＝
２
，
ｂ
＝
２．
１０
因此
（
ａ
２
ｂ
２
ａ
２
＋
ｂ
２
）
＝
（
２
２
·
２
２
２
２
＋
２
２
）
１０
＝
２
１０
＝
１０２４．
故选
（
Ｂ
）
．
６．
如图
７
所示
，
延长
ＡＢ
至格点
Ｐ
，
连接
ＰＣ
，
点
Ａ
，
，
Ｐ
在长方形
ＡＰ
的对角
线上
，
因此
Ａ
，
Ｂ
，
Ｐ
三点共
图
７
线
．
直观发现
，
ＣＢ
，
ＣＰ
作为
×
２
方格的对角线
，
ＣＢ
＝
ＣＰ
．
我们想像将直角
三角形
ＢＤＣ
切下
，
移到
ＣＥＰ
的位置
，
由于
∠
ＢＣＤ
＋∠
ＰＣＥ
＝∠
ＢＣＤ
＋∠
ＣＢＤ
＝
９０°
，
则
∠
ＢＣＰ
＝
９０°．
又
ＣＢ
＝
ＣＰ
．
所以三角形
ＢＣＰ
是等腰直角三角形
，
因此
∠
ＰＢＣ
＝
４５°
，
所以
∠
ＡＢＣ
＝
１３５°．
７．
题目中的三式相加
，
有
（
ａ
２
－
６
ｂ
）
＋
（
ｂ
２
－
８
ｃ
）
＋
（
ｃ
２
－
４
ａ
）
＝－
１４
－
２３
＋
８
，
即
（
ａ
２
－
４
ａ
）
＋
（
ｂ
２
－
６
ｂ
）
＋
（
ｃ
２
－
８
ｃ
）
＝－
２９
，
则
（
ａ
２
－
４
ａ
＋
４
）
＋
（
ｂ
２
－
６
ｂ
＋
９
）
＋
（
ｃ
２
－
８
ｃ
＋
１６
）
０
，
于是
（
ａ
－
２
）
２
＋
（
ｂ
－
３
）
２
＋
（
ｃ
－
４
）
２
＝
０．
要使上述等式成立
，
只能是
ａ
＝
２
，
ｂ
＝
３
，
ｃ
＝
４
，
所以
ａ
＋
ｂ
＋
ｃ
＝
９
，
代入三个原式中
，
均成立
，
故选
（
Ｄ
）
．
８．
在这
１００
个数中
，
２
的倍数有
５０
个
，
３
的
倍数有
３３
个
，
５
的倍数有
２０
个
，
２
×
３
的倍数有
６
个
，
２
×
５
的倍数有
１０
个
，
３
×
３
的倍数有
６
个
，
×
３
×
５
的倍数有
３
个
．
如图
８
，
从里至外依次求出相应的数
，
这些
Ｂ
１
＝
１
２
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购票,阅兵,尺寸,公园,顶点
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