2024年3月20日发(作者：福建泉州语文数学试卷)

1

目录

第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛（第1试） ................................................................................................................ 3

第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛 (第1试) ................................................................................................................... 7

第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛（第2试） .............................................................................................................. 11

第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛 (第1试) ................................................................................................................. 15

第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛 (第2试) ................................................................................................................. 19

第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛（第1试） .............................................................................................................. 23

第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛（第2试） .............................................................................................................. 27

第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛（第1试） .............................................................................................................. 31

第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛（第2试） .............................................................................................................. 35

第二十七届“希望杯”全国数学邀请赛（第1试） .............................................................................................................. 40

第二十八届“希望杯”全国数学邀请赛（第1试） .............................................................................................................. 43

参考答案 ................................................................................................................................................................................. 47

2

第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛（第1试）

一、选择题（每小题4分，共40分）

1．假期里王老师有一个紧急通知，要用电话尽快通知给50个同学，假设每通知一个同学需要1分钟时间，同学接

到电话后也可以相互通知，那么要使所有同学都接到通知最快需要的时间为（ ）

A．8分钟 B．7分钟 C．6分钟 D．5分钟

2．若关于

x

的一元二次方程

3a2b

x

2

axb0

有唯一解，则这个解是（ ）

2323

A．

B．

C． D．

3232

3．如图，已知

AD//EF//BC

，

AD:EF:BC1:2:4

，则梯形

AEFD

与梯形

EBCF

的面积之比为（ ）

A．

1:2

B．

1:3

C．

1:4

D．

2:3

4．一个兵乓球队有男队员6人，女队员5人，其中男、女左撇子分别有3人和2人，若从这个球队任意抽取2人，

则抽到2个左撇子的概率是（ ）

A．

251

25

B． C． D．

121

11115

6x

，则

y

的最小值为（ ）

6x

5．已知

x

，

y

都是负整数，且满足

y

A．

3

B．

4

C．

5

D．

6

6．已知等腰

ABC

中，

ABAC,BAC30

,

AD

为

BC

边上的高，

P

点在

AC

上，

E

点在

AD

上，若

PEEC

的

最小值为4，则

ABC

的面积为（ ）

A．

8

B．

16

C．

32

D．

64

7．如图，

AB

是圆

O

的直径，点

C

平分

AB

，点

D

平分

AC

，

DB

、

CA

交于点

E

，则

DE

的值（ ）

EB

221

1

1

A． B． C．

1

D．

22

4

3

3

8．已知直线

ykx

k0

与双曲线

y

2

交于点

A

x

1

，y

1

和

B

x

2

，y

2

两点，则

3x

1

y

2

8x

2

y

1

的值是（ ）

x

A．

10

B．

5

C．

5

D．

10

9．用一些棱长是1的小正方体堆成一个立体，下图分别是它的俯视图和主视图，则这个立体的表面积（含下底面

面积）的值最小是（ ）

A．

42

B．

43

C．

44

D．

46

10．如图，在

ABC

中，若

B35

，则

BAC

的度数为（ ）

BAC

、

BCA

的平分线相交于点

I

，

BCAIAC

，

A．

60

B．

70

C．

80

D．

90

二、A组填空题（每小题4分，共40分）

11．如图，正六边形的边向外延长一倍，连接端点后又构成一个大的正六边形，则小正六边形与大正六边形的面积

之比为 ；

y2x

2

px3p1

都过一个定点，则这个定点的坐标是 ； 12．若对于

p

的任意值，抛物线

13．如图，正方形

ABCD

的边长为 4，

E

点在

BC

上，以

E

为圆心，

EC

为半径的半圆与以

A

为圆心，

AB

为半径的圆弧外切，则

EC

；

14．在锐角

ABC

中，

AB5，AC4

，则

BC

的取值范围是 ；

4

15．袋中装有大小相同的黑球、白球、红球各2个，规定：取出一个黑球计

0

分，取出一个白球计

1

分，取出一个

红球计

2

分；在抽取这些球的时候，看不到球的颜色.甲先取出

3

个球，不再放回袋中，然后，乙取出剩余的

3

个球；

取出球的总积分多者获胜.则甲乙成平局的概率为 ；

16．不等式

x2x1a

对所有实数

x

都成立，则

a

的最大值是 ；

17．如图，设

M

是

ABC

的重心，过

M

的直线分别交边

AB、AC

于

P、Q

两点，且

11



；

mn

AQ

AP

n

，则

m

，

QC

PB

18．已知抛物线

yax

2

bxc

c0

与

x

轴的交点坐标为

1,0

,

3,0

,当

2x5

时，

y

的最大值为

12

，则该

抛物线的解析式为 ；

19．已知平面直角坐标系中有

A

1,3

，

B

3,1

两点，在

x、y

轴上分别找一点

C、D

，使四边形的周长最小，则最小

周长为 ；

20．明明用计算器求代数式

a

bc

的值.他依次按出“

a,,b,,c,

”，显示

11

；当他依次按“

b,c,,a,

”，显示

14

(其

中

a,b,c

均为正整数).这时他才明白不按括号时，计算器先做乘法再做加法.那么如果他按键正确(该加括号时加括号)

时，显示结果应为 ；

三、B 组填空题（每小题 8 分，共 40 分）

x

2

3xy4y

2

xby2

能分解为两个关于

x、y

的一次式的乘积，21．已知代数式

则

b

或 ；

22．已知

x,y,z

是三个非负实数，满足

3x2yz5，xyz2

，若

S2xyz

小值为 ；

23．已知

f

x

ax

2

bxc

，若

f

0

1

，并且

f

x1

f

x

2x

，则

f

1

，

f

1

，

a

，

b

；

，则

S

的最大值为 最

5

24．如图，在平面直角坐标系中，矩形

OABC

的顶点

A、C

分别在轴上，顶点

B

在

14,8

，点

E、F

分别在

OA

、

OB

、上.将

AEF

沿

EF

对折，使点

A

落在线段

BC

上的点

D

处.经过抛物线

yax

2

2abxab

2

c

c0

顶点

P

的

每一条直线总平分矩形

OABC

的面积.若点

P

在线段

DE

上，

AF

的长为整数，且已知抛物线与线段

EF

仅有一个交

点，则点

F

的坐标是 ，

a

的取值范围是 ；

25．某种在同一平面内进行传动的机械装置如左图，右图是它的示意图.其工作原理是：滑块

Q

在平直滑道

l

上可以

左右滑动，在

Q

滑动的过程 中，连杆

PQ

也随之运动，并且

PQ

带动连杆

OP

绕定点

O

摆动.在摆动过程中，两连杆

的接点

P

在以

OP

为半径的

O

上运动.数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点

O

做

OH l

于点

H

，并测得

OH4

分米，

PQ3

分米，

OP2

分米.则点

Q

在

l

上 允许滑动的最大距离为 分米，点

P

在

O

上的最大移动路线长为 分米；

6

第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛（第1试）

一、选择题（每小题4分，共40分）

1．如图1所示，一个正方体和一个圆柱体紧靠在一起，则它们的主视图是（ ）

图1 A B C D

2．完成一项工作,甲单独做需

a

天,乙单独做需

b

天,甲乙合作需

c

天,则丙单做全部工作所需的天数是（ ）

A．

ab

cba

abcabcabacbc

B． C． D．

c

abacbcabacbcabc

x1

x

x1

的值可能是（ ）



x1xx1

3．已知

x1,0,1

，则

A．比

3

大的数 B．比

3

小的数 C．

1,3

D．比

3

大,并且比

3

小的数

4．如图，梯形

ABCD

中，

AB//CD

，两条对角线交于点

E

.已知

ABE

的面积是

a

,

CDE

的面积是

b

，则梯形

ABCD

的面积是（ ）

A．

a

2

b

2

B．

2

ab

C．

ab

D．

ab

2

2

5．已知a,b是实数，关于x的不等式组的解集表示在数轴上如图所示，则这个不等式组是（ ）

ax1

ax1

ax1

ax1

A．

B．

C．

D．

bx1bx1bx1bx1



6．如图，

ABBC

，

ABBC

，点

D

在

BC

上，以

D

为直角顶点作等腰直角，则当

D

从

B

运动到

C

的过程中，点

E

的运动轨迹是（ ）

A．圆弧 B．抛物线 C．线段 D．双曲线

7

x

1

x

2

x

3

a

1

x

2

x

3

x

4

a

2

7．已知实数

x

1

,x

2

,x

3

,x

4

满足条件

其中

a

1

a

2

a

3

a

4

,则

x

1

,x

2

,x

3

,x

4

的大小关系是（ ）

xxxa

413

3

x

4

x

1

x

2

a

4

A．

x

1

x

2

x

3

x

4

B．

x

2

x

3

x

1

x

4

C．

x

3

x

2

x

1

x

4

D．

x

4

x

3

x

2

x

1

8．已知

2x3

，则函数

y

x1

的取值范围是（ ）

A．

1y4

和

9y16

B．

1y16

C．

4y9

D．

1y9

9．如图，已知梯形

ABCD

中，

AB//DC，A

，C

，则

AD:BC

等于（ ）

A．

sin

:cos

B．

sin

:sin

C．

sin

:sin

D．

cos

:sin

10．若关于

x

的二次函数

yx

2

2mx1

的图像与端点在

1,1

和

3,4

的线段只有一个交点，则m的取值可能是

（ ）

A．

二、A组填空题（每小题4分，共40分）

11．若两位数除以他的数字和等于7，则这样的两位数有 个.

12．已知

x2y1

,则

x

2

4y

2

x2y5

；

13．二次函数

yax

2

bxc

的图象如图所示，已知

OB2OA，OAOC

，则

a,b,c

满足的关系式是 ；

5

1

1

1

B．

C． D．

22

33

2

14．如图，已知

A、B、C

三点在同一个圆上，并且

AB

是圆

O

的直径，若点

C

到

AB

的距离

CD5

，则圆

O

的面积

最小是 ；

8

15．如图，在边长为1的正方形中，分别以四个顶点为圆心，作半径为1的圆弧，则图中阴影部分的面积

是 ；

16．如图，在梯形

ABCD

中，

BA//CD，ADAB，AB7，CD6m，BCm

2

，若以

BC

为直径的圆与

AD

没有公

共点，则

m

的取值范围是 ；

17．设

f

x

是关于

x

的多项式，

f

x

除以

2

x1

，余式是

3

；

2f

x

除以

3

x2

，余式是

4

，那么，

3f

x

除

以

4

x

2

x2

，余式是 ；

18．已知实数

a,b

满足

aabb3

，若

maabb

，则

m

的取值范围是 ；

19．Tom’s computer has password,which contains only numbers from 0 to the probability to guess the right password

only one time is less than

1

，then at least the password has digits.

2012

20．Suppose point

A

1,m

is on the graph of the function

y

2

，

B,C,D,

respectively,are point As symmetric points

x

of

x

-axis,origin, the area of the quadrilateral

ABCD

is ；

三、B组填空题（每小题8分，共40分）

21．反比例函数

y

k

1

2

和一次函数

yk

2

xb

的图象交于点

M(3,)

和点

N

1,2

，则

k

1

，

x3

k

2

，一次函数的图象交

x

轴于点 ；

22．已知

a,b

是实数，且

a

2

2ab310

，则

a

，

b

；

23．已知

a,b

是有理数，

x51

是方程

x

2

axb0

的一个解，则

a

的值是 ，

b

的值是 ；

24．如图，已知

ABC

中，

CDAB

于点

D

，

BD2AD，CD6

，

cosACD

AD

，

BE

；

8

，

BE

是

AC

边上的高，则

9

9

25．已知点

A、B、P

是

O

上不同的三点，

APBa

，点

M

是上的动点，且使

ABM

为等腰三角形.若

a45

，

则所有符合条件的点

M

有 个，若满足题意的点

M

有2个，则

a

；

10

第二十三届 “希望杯”全国数学邀请赛（第2试）

一、 选择题（每小题4分，共40分）

1．若反比例函数

y

k

1

的图像经过点

,2

，则

k

的值为（ ）

x

2

A．

1

B．

1

C．

4

D．

4

2．已知二次函数

yax

2

bxc

的图像如图所示，则下列代数式的值恒为正值的是（ ）

A．

abc

B．

ac

C．

bc

D．

ab

3．若存在

1x2

，使得

ax

2

120

，则

a

的取值范围是（ ）

1

3

131

3

A．

a

B．

a

C．

a

D．

a

或

a

4444

44

4．直线

y

k

k

x

总是下列哪个函数图像的对称轴？（ ）

k

C．

ykx

2

D．

ykx

x

A．

ykx

B．

y

5．若实数

a,b,c

满足

a

2

b

2

1,b

2

c

2

2,c

2

a

2

3,

则

abbcca

的最小值为（ ）

A．

3

B．

2

C．

6

D．

236

6．如图，双曲线

y

k

(k0)

经过

RtAOB

的斜边

AB

的中点

C

,

AFAO,BFBO,AF,BF

与双曲线分别交于点

x

D,E

,若

OA8,OB6,

则四边形

ODFE

的面积是（ ）

A．

12

B．

24

C．

36

D．

40

11

7．对于实数

a

，规定

a

表示不大于

a

的最大整数，如

2.1

2,

1.5

2,

则方程

x

y

4

的解在

xOy

坐标系

22

中的图像是（ ）

A B C D

8．某商店对于某个商品的销售量与获利做了统计，得到下表：

销售量（件）

100 200 300

获利（万元）

7 9 9

若获利是销售量的二次函数，则该商店获利的最大值是（ ）

A．

9

万元 B．

9.25

万元 C．

9.5

万元 D．

10

万元

9．如图，已知长方形

ABCD

的边长

AB3，AD2

,点

E

在

BC

边上，且

AEEF

,

EF

交

CD

于

F

,设

BEx,FCy

，

则当点

E

从点

B

运动到点

C

时，

y

关于

x

的函数图像是（ ）

A B C D

10．若凸

n

边形

A

1

A

2

（1）

A

1

100

,（2）

A

k1

A

k

8,k1,2,

A

n

适合以下：

,n1,

则

n

的值是（ ）

A．

5

B．

6

C．

7

D．

8

二、A组填空题（每小题4分，共40分）

11．若

ABC

是半径为

1

的圆的内接三角形，

BC3,

则

A

；

12．方程

1111

的解是

x

；



x2012x2014x2016x2018

13．如图，

P

是等边

ABC

内一点，

AP3,BP4,PC5,

则

APB

；

12

14．边长为整数，且周长为

2012

的等腰三角形有 个.

15．已知关于

x

的一元二次方程

x

2

2(m1)x(m

2

1)0

有两个不相等的实根

,

，若

2

2

4,

则

m

；

16．已知

ABC

的三个顶点的坐标分别为

A(1,5),B(6,2),C(1,2),

则

ABC

外接圆半径的长度为 ；

17．已知坐标平面

xOy

，

RtABC

中的直角顶点是

A(2,5)

，点

B

与点

O

重合，点

C

在坐标轴上，则点

C

的坐标

是 ；

x

2

y

2

3z

2

xy3yz2zx

18．已知

x3y5z0,

并且

x2y3z0

，则的值等于 ；

222

x3yz

19．

和

是方程

x

2

2x10

的两根，

2

和

2

是

x

2

mxn0

的两根，点

(m,n)

在一次函数

ykx(n3)

的

图像上，则此函数的解析式是 .它的图像与

xOy

坐标平面内的坐标轴围成的图形的面积是 ；

20．如图5，在直角梯形

ABCD

中，

AB∥CD,BADADC90,

两条对角线的交点为

O

，

O

与

AD

相切，并与

以

AD

为直径的

O

内切，已知

AD

长为

h

，则梯形

ABCD

的面积是 ；

三、解答题（每题都要写出推算过程）

21．解方程

x

4

(x2)

4

820

13

22．如图所示，已知二次函数

yx

2

bx8

的图像与

x

轴交于

A,B

两点，与

y

轴交于点

C

,且

B(4,0)

.

（1）求二次函数的解析式及其图像的顶点

D

的坐标；

（2）若点

M(p,0)

是

x

轴上的一个动点，则当

MCMD

取得最大值时，求

p

的值；

（3）如果点

E(m,n)

是二次函数

yx

2

bx8

的图像上的一个动点，且

ABE

是钝角三角形，求

m

的取值范围.

23．给你若干个边长都是

1

的正三角形，正方形，正五边形，正六边形，从其中任选两种（个数不限），将它们拼接，

要求是：（1）使某边重合；（2）两种图形中的任何一种不得有公共部分.

问：（1）用选出的两种图形围成正

n

边形，如：用3个正方形和3个正六边形围成一个正三角形

ABC

（如下图）.

请你再举两例，并作图说明.

（2） 对于（1）中的正

n

边形，求它的外接圆的半径.

14

第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛（第1试）

一、选择题（每小题4分，共40分）

1．若

m、n

是方程

x

2

25x10

的两个根，则

nm

的值是（ ）

mn

A．

25

B．

45

C．

65

D．

85

2．设

O

的半径是5，点

P

不在

O

外，若点

O

与

P

的距离

OPm

2

2m2

,则

m

的取值范围是（ ）

A．

m1

或

m3

B．

1m3

C．

m1

D．

m3

3．如图，

O

内的点

P

在弦

AB

上，点

C

在圆

O

上，

PCOP

，若

BP2

，

AP6

,则

CP

的长等于（ ）

A．

23

B．4 C．

22

D．

32

4．如图是类似“羊头的”图案，它左右对称，由正方形，等腰直角三角形构成，如果标有数字“13”的正方形的边长是，

那么标有数字“2”的等腰直角三角形的斜边的长是（ ）

A．4 B．

22

C．2 D．

3

2

5．若

m、n

分别是

20

的整数部分和小数部分，则与

mn



nm

的差的绝对值最小的整数是（ ）

A．

55

B．

56

C．

16

D．

15

6．如图，铁路

MN

和公路

PQ

在点

O

处交汇，

QON30

，点

A

在

OQ

上，

AO240

(米)，当火车行驶时，周围

200米以内未受到噪音的影响，现有一列火车沿

MN

方向意72千米/时的速度行驶(火车的长度忽略不计)，那么，

A

处受噪音影像的时间为（ ）

15

A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．24秒

7．In

A．

60

B．

65

C．

70

D．

75

8．如图5，

O

2

的半径是1，正方形

ABCD

的边长是6，点

O

2

是正方形

ABCD

的中心，

O

1

O

2

8

，

O

1

O

2

垂直

AD

于

P

点，

若将

O

1

绕点

P

按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，与正方形

ABCD

的边只有一个公共点的情况一共出现（ ）

A．3次 B．5次 C．6次 D．7次

9．如图，在同一个平面直角坐标系内，二次函数

y

1

ax

2

bxc

a0

和一次函数

y

2

dxe

d0

的图象相交于

点

A

m,n

和点

B

p,q

，当

y

1

y

2

时，用

m,p

表示

x

的取值范围，则是（ ）

A．

mxp

B．

xm

C．

xp

D．

xm

10．如图，在正方形

ABCD

中，点

M、N

分别在边

AB、BC

上运动(不与正方形的顶点重合)，

BN2AM

，

若图中

的三个阴影三角形中至少有两个相似，则这样的点

M

有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、A组填空题（每小题4分，共40分）

11．已知实数

a,b

不相等，并且

a

2

15a,b

2

15b,

则

12．If

a

1

1

16

ABC

as shown in fig,

ABAC,BDEC,BECF

,if

A50

,then the degree of

DEF

is（ ）

11

2

；

2

ab

1

1

1

,

a

2

1

,

a

3

1

,...,then

a

2013

in terms of m is ；

a

1

a

2

m

13．如图，在3×2的方格纸上，以某三个格点为顶点的三角形中，等腰三角形共有 个.

2x

2

y

2

2z

2

4xy

14．若实数

x,y,z

使

2xyz0

和

3x2y5z0

成立，并且

z0

，则的值是 ；

x

2

5z

2

7xz

15．若一个三角形的三边长是

2

,

13

,

17

，则此三角形的面积是 ；

16．已知抛物线

yax

2

bxc(c0)

与

x

轴的交点坐标为

1,0

,

3,0

,当

2x5

时，

y

的最大值为

12

，则该抛

物线的解析式为 ；

17．如图，直角梯形纸片

ABCD

中，

AD//BC

，

ABBC

，

AB10

，

BC25

，

AD15

，以

BD

为折痕，将

ABD

折起，旋转180°后，点

A

到点

A

1

，则凹五边形

BDCEA

1

的面积为 ；

18．如图，将边长为

a

的正方形

ABCD

绕其顶点

C

顺时针旋转

45

，得四边形

ABCD

，则图中阴影部分的面积

是 ；

19．If

a4

2

a3

2

7

，then the value range of real number a is ；

20．如图，从边长为5的正方形纸片

ABCD

中剪去直角

EBF

(点

E

在边

AB

上，点

F

在边

BC

上)，

EBBF15

,

则五边形AEFCD的面积的最小值是 ；

三、B组填空题（每小题8分，共40分）

21．下图是由若干个棱长为1厘米的正方形堆成的几何体，它的三视图中，面积最大的是 平方厘米，这

个几何体的体积是 立方厘米

17

22．如图，在

ABC

中，

A50，ABAC2

，

BD

是边

AC

上的高，利用此图可求得

tan15

；

BC

；

23．在直角坐标系内，如果一个点的横坐标和纵坐标都是整数，则称该点为整点，若凸

n

边形的顶点都是整点，并

且多边形内部及其边上没有其它整点，则

n

；

24．如图，直角梯形中，

AB1.5，CD2，AF1，AD3，AB//EF//CD，A90

，分别以

AD，FE

所在的直

线为

x

轴、

y

轴建立坐标系(

AD,FE

为正方向)若抛物线过点

B、C

，并且它的顶点

M

在线段

EF

上，则

a

b

c

；

25．如图，

ABC

中，

B90，A60，ABAD2

，点

M

在

DC

上，以

M

为圆心，以

DM

为半径的半圆切

边

BC

于点

N

，交

MC

于点

P

，则

DM

曲边的面积= ；

附加题（每小题10分，共20分）

1．若

f

x

6x

3

11x

2

ax6

可以被

g

x

2x3

整除，则

a

当

f

x

0

时，

x

的取值范围

是 ；

2．有一堆黑，白围棋子，如果从中每次取出3枚黑子和2枚白子，当黑子被取完或剩下1枚或2枚时，则还剩35

枚白子，如果每次取出5枚黑子和7枚白子，当白子被取完或剩下不足7枚时，则还剩下35枚黑子，那么这堆棋

子中，原有黑子 枚，白子 枚；

18

第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛（第2试）

一、选择题（每小题4分，共40分）

1．如图，矩形

ABCD

中，

AB2

，

AD1

，点

M

在边

DC

上，若

AM

平分

DMB

，则

AMD

的大小是（ ）

A．

75

B．

60

C．

45

D．

30

2．化简

72107210

，得到的结果是（ ）

A．

22

B．

22

C．

23

D．

23

3．一个矩形被直线分成面积为

x,y

的两部分，则

y

与

x

之间的函数关系只可能是（ ）

A B C D

4．函数

y

x1

中，

x

的取值范围是（ ）

x

3

x

A．

0

以外的一切实数 B．

0,1

以外的一切实数

C．

1

以外的一切实数 D．

0,1

以外的一切实数

5．若将

127

写成小数，则十分位上的数字是（ ）

A．

1

B．

2

C．

3

D．

4

6．代数式

x2x5

（ ）

A．有最小值，没有最大值 B．有最大值，没有最小值

C．既有最小值，也有最大值 D．既没有最小值，也没有最大值

7．如图，△ABC中，AB=2，BC=4,CA=3,平行于BC的直线

l

过△ABC的内心

I

,分别交边

AB、AC

于点

D、E

,则

ADE

的周长是（ ）

A．

5

B．

6

C．

7

D．

8

19

5

3

8．若动点

M（x，y)

到定点

A

2，

的距离等于

M

到直线

y

的距离，则动点

M（x，y)

的轨迹（ ）

4

4

A．双曲线 B．抛物线 C．双曲线的一支 D．一条直线

9．不等式

a

1

0

的解是（ ）

a

2

A．

a0

B．

a1

或

a1

C．

a1

或

1a0

D．

a0

或

a1

10．如图，

ABC

中,

AB1,AC2,ABC90

,若

BD、EF、GH

都垂直于

AC、DE、FG、HI

都垂直于

BC

,则阴影

HIC

的面积与

ABC

的面积的比是（ ）

2

3

3



3



3

A．



B．

2



C．

3



D．



3

4

4



4



4

6666

二、填空题（每小题4分，共40分）

11．方程

32xx2

的根是 ；

12．若正

n

边形的一个外角为

5

,则

n

；

13．已知关于

x

的方程

x

2

4xp

2

2p20

的一个根为

p

，则

p

；

14．平面直角坐标系内，一只跳蚤停在点

5,0

处，它要跳到点

6,0

处，它每一跳都是飞越

5

个长度单位，并且总

是跳到整点（坐标都是整数的点），也不从原路返回，那么，当它跳到点

6,0

时，至少跳了 次

15．将一个圆分成三个相同的扇形，将其中一个卷成圆锥，锥顶对锥底圆周上任意两点的最大张角的余弦值

是 ；

16．将相同的平行四边形和相同的菱形镶嵌成如图所示的图案．设菱形中较小角为

x

度，平行四边形中较大角为

y

度，

则

y

与

x

的关系式是 ；

17．

ABC

中，

AC3,BC5,ACB120

,点

M

平分

AB

,则

tanMCA

，

MC

；

20

2xyz1

18．方程组

3

的正整数解

x,y,z

是 ；

32

8xyz1

19．

ABC

的三条高依次是

AD6，BE4，CF3，

则

cosC

，

ABC

的面积是 ；

20．已知

f

x

是一个多项式，若

f

x

除以

x1

，余

5

；若

f

x

除以

x2

，余

2

，则

f

x

除以

x1



x2

，

得到的余式是 ；

三、解答题（每题都要写出推算过程）

21．（本题满分10分）

已知二次函数

ymx

2

xm4

的图象在直线

y2

的上方．

（1）求

m

的取值范围；

（2）当

m2

时，求此二次函数的图象在

x

轴上截得的线段长．

22．（本题满分15分）

一家商店销售某种计算器，开始按定价（小于

200

元的整数元）售出，后来按定价的六折售出，当售出

200

台时，

共得款

30498

元．问：打折前，按定价售出了多少台？

21

23．（本题满分15分）

设

f

x

x

4

3x

2

9x

4

4x

2

9

(x0)

x

1

（1）将

f

x

化成 (

a，b

是不同的整数)的形式；

g

2

x

ag

2

x

b

（2）求

f

x

的最大值及相应的

x

的值.

22

第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛（第1试）

一、选择题（每小题4分，共40分）

1．以下三角形中，与图1中的三角形相似的是（ ）

图1 A B C D

2．某商品原价

200

元，先降价

a%

，又提价

a%

，售价是

182

元，则下列关系式中正确的是（

A．

200

1a%

1a%

182

B．

182

1a%

1a%

200

C．

200

1a%

1a%

182

D．

182

1a%

1a%

200

3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是下列四个选项中的（ ）

主视图 左视图

俯视图

A B C D

4．若关于

x

的一元二次方程

m2

x

2

3xm

2

5m60

的常数项为

0

，则

m

的值是（ ）

A．

2

B．

3

C．

2

或

3

D．

0

5．方程

x20142014x

的正整数解有（ ）

A．

2013

个 B．

2014

个 C．

2015

个 D．无穷多个

6．在

ABC

中，若

AC17

，

BC10

，

AB13

，则

ABC

的面积为（ ）

A．

10

B．

23

C．

11

2

D．

6

7．Given equation

x1

x

2

x2

x1

x

2

x2

of

x

,then the number of solutions for this equation is（

A．

0

B．1 C．2 D．countless

23

）

）

8．若

322

x

322

6

，则

x

（ ）

x

1

A．2 B．

2

C．

2

D．

2

9．如图，

ABAC，ADDEECBC

，则

ABC

的度数为（ ）

A．

30

B．

40

C．

45

D．

60

10．如图，设

AB

是

O

的弦，

CD

是

O

的直径，且

CD

与

AB

相交，若

mS

A．

m2n

B．

m2n

C．

m2n

D．

m

与

2n

的大小关系无法确定.

二、A组填空题（每小题4分，共40分）

y

2

11．若

y4y20

,则

2

；

y2y

2

4

2

CAB

S

OAB

，

nS

OAB

，则（ ）

2

12．如图，矩形

ABCD

中，

AB60

，

BDBCCD

，则

BC

；

3

13．In

ABC

as shown in Fig.，

BAC40

.Both

BD

and

CD

are the interior angle bisectors of

ABC

which intersect at

point

D

,

BE

and

CE

are exterior angle bisectors of

ABC

which intersect at point

E

,then

BDCBEC

°

14．有

1g,2g,5g,10g

的砝码各

2

个，从中任取

2

个放在已经平衡的天平的两端，则天平依然保持平衡的概率

P

；

15．如图，将等边

ABC

的外接圆对折，使点

A

与弧

BC

的中点

F

重合，折痕与边

AB、AC

分别交于点

D、E

.若

BC3

，则

ADE

的面积是 ；

24

16．如图，

RtABC

中，

C90，AC2，BC1

，若以

C

为圆心，

CB

为半径的圆交

AB

于点

D

，则

= ；

AD

DB

17．在平面直角坐标系中，抛物线

C

经过点

A

3,8

，B

7,8

，且与

x

轴恰有一个交点，则抛物线

C

上纵坐标为

32

的

两个点的距离为 ；

18．如图，等边

AFG

被线段

BC，DE

分割成周长相等的三部分：等边三角形

ACB、

梯形

BCED、

梯形

DEGF

，其面

积分别为

S

1

，S

2

，S

3

，若

S

2

63

，则

S

1

S

2

；

19．如图，四边形

ABCD

中，

ABCCDA90，ADDC5，AB7，BC1

，则

BD

；

20．正方体骰子的每个面内都写了一个正整数.随意地投掷这样的两个骰子，若朝上的两个面内的数的和为偶数的概

率最小为

P

，则

P

；

三、B组填空题（每小题8分，共40分.）

21．若关于

x

的方程

x2



x4

p2



p4

的两个实数根

x

1

，x

2

是某直角三角形的两条直角边的长，则此直角

三角形的面积最大是 ，此时

P

；

22．If

x,y

and

z

satisfy the equation

4x4y44z8xyz

,then

xyz

，and

xyz

；

23．若

ABC

的三条边长

a,b,c

满足

bc10，bca

2

12a61

,则

ABC

的周长等于 ，面积等

于 ；

25

24．如图，在平面直角坐标系

xOy

中，反比例函数

y

k

x0

的图象交矩形

OBCD

的边

BC

于点

E

，交

CD

于

x

OEF

1

F

点，且

DFCD

，若四边形

OECF

的面积为

24

，则

k

，

S

4

；

25．在直角坐标系

xOy

中，抛物线

yax

2

bxc

（

a,b,c

是正整数）与

x

轴有两个不同的交点

A

x

1

,0

,B

x

2

,0

.若

x

1

和

x

2

都大于

1

，则

abc

的最小值是 ，此时

abc

；

26


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