2024年3月21日发(作者：全国数学试卷题型分布及答案)

圆的方程

【考纲要求】

1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，

2.能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程.

3.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；

4.能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．

【知识网络】

圆的标准方程

圆的方程

圆的一般方程

简单应用

点与圆的关系

【考点梳理】

考点一：圆的标准方程

(xa)

2

(yb)

2

r

2

，其中

a，b

为圆心，

r

为半径.

要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时

a0，b0

，圆的方程就是

xyr

.有关图形特征

与方程的转化：如：圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时：

|a|r

；圆与x轴相切时：

|b|r

；与坐标

轴相切时：

|a||b|r

；过原点：

abr

.

(2)圆的标准方程

(xa)(yb)r

圆心为

a，b

，半径为

r

，它显现了圆的几何特点.

222

222

222

(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、

b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.

考点二：圆的一般方程

22

当

DE4F0

时，方程

xyDxEyF0

叫做圆的一般方程.

22

DE

,

为圆心，

2



2

1

D

2

E

2

4F

为半径.

2

D



E

D

2

E

2

4F

要点诠释：由方程

xyDxEyF0

得

x

y

2



2

4

22

22

(1)当

DE4F0

时，方程只有实数解

x

22

DEDE

,y

.它表示一个点

(,)

.

2222

(2)当

DE4F0

时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．

(3)当

DE4F0

时，可以看出方程表示以

考点三：点和圆的位置关系

如果圆的标准方程为

(xa)(yb)r

，圆心为

C

a，b

，半径为

r

，则有

222

22

22

1

DE

,

为圆心，

D

2

E

2

4F

为半径的圆.

2

2

2

(1)若点

M

x

0

，y

0

在圆上

|CM|r

x

0

a

y

0

b

r

2

22

(2)若点

M

x

0

，y

0

在圆外

|CM|r

x

0

a

y

0

b

r

2

22

(3)若点

M

x

0

，y

0

在圆内

|CM|r

x

0

a

y

0

b

r

2

22

考点四：几种特殊位置的圆的方程

条件

圆心在原点

过原点

圆心在x轴上

圆心在y轴上

圆心在x轴上且过原点

圆心在y轴上且过原点

方程形式

标准方程 一般方程

x

2

y

2

r

2

r0

(xa)

2

(yb)

2

a

2

b

2

x

2

y

2

r

2

0

r0

x

2

y

2

DxEy0

(xa)

2

y

2

r

2

r0

x

2

(yb)

2

r

2

r0

(xa)

2

y

2

a

2

a0

x

2

(yb)

2

b

2

b0

x

2

y

2

DxF0

x

2

y

2

EyF0

x

2

y

2

Dx0

x

2

y

2

Ey0

x

2

y

2

DxEyF0

与x轴相切

(xa)

2

(yb)

2

b

2

D

E

2

4F0

x

2

y

2

DxEyF0

与y轴相切

(xa)

2

(yb)

2

a

2

2

4F0

要点诠释：

垐垐

圆的标准方程与一般方程的转化：标准方程

噲垐

?

?

一般方程.

配方

【典型例题】

类型一：圆的标准方程

例1. 已知圆与y轴相切，圆心在直线x-3y=0，且这个圆经过点A(6，1)，求该圆的方程.

【思路点拨】已知圆与y轴相切，圆心在直线x-3y=0，因此可设圆的标准方程，利用待定系数法解决

问题.

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