高考数学必刷真题分类大全-专题18-坐标系与参数方程

2024年4月9日发(作者：银川小学数学试卷)

专题18坐标系与参数方程

考向一极坐标与参数方程

【母题来源】2022年高考浙江卷

2



t



x





6

（t为参数）【母题题文】在直角坐标系

xOy

中，曲线

C

1

的参数方程为



，曲线

C

2

的参数方程为



y



t



2



s



x





6

（s为参数）．





y



s



（1）写出

C

1

的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

C

3

的极坐标方程为

2cos



sin



0

，求

C

3

与

C

1

交点的直角坐标，及

C

3

与

C

2

交点的直角坐标．

【试题解析】【小问

1

详解】

2



t

2



y

2

2

因为

x



，

yt

，所以

x



，即

C

1

的普通方程为

y6x2



y0



．

6

6

【小问

2

详解】

因为

x



2



s

,

y



s

，所以

6x2y

2

，即

C

2

的普通方程为

y

2

6x2



y0



，

6

由

2cos



sin



02



cos







sin



0

，即

C

3

的普通方程为

2xy0

．

1





y

2



6

x



2



y



0





x



1



x





1



联立



，解得：



，即交点坐标为



,1



，



1,2



；

2

或





2



2

x



y



0



y



2





y



1



1





y

2



6

x



2



y



0





x



1



x





1



联立



，解得：



，即交点坐标为





,



1



，



1,2



．

2

或



2

x



y



0



2





y



2





y



1



【命题意图】本题考查极坐标、参数方程与直角坐标的互化，属于较为简单题目．

【命题方向】这类试题在考查题型上以解答题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，是历年高考的热

1

点，考查学生的基本运算能力．

常见的命题角度有：

（1）极坐标与直角坐标互化；（2）参数方程与直角坐标互化；（3）直线参数方程中参数的几何意义.

【得分要点】

(1)运用极坐标，借助极径的几何意义；

(2)参数方程与直角方程的互化，借助直线的参数的几何意义；



x



1



t

cos



1．（2022·四川成都·模拟预测（理））在平面直角坐标系

xOy

中，已知直线

l

的参数方程为



（

t

y



1



t

sin





为参数，



为常数且







），在以原点

O

为极点，

x

轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线

C

的极坐标

2

方程为：



2

2



sin



40

．

(1)求直线

l

的直角坐标方程和曲线

C

的普通方程；

(2)点

P(1,1)

，直线

l

与曲线

C

交于

A,B

两点，若

PA2PB

，求直线

l

的斜率．

2．（2022·河南安阳·模拟预测（文））在直角坐标系xOy中，

C

1

的圆心为

C

1



1,1



，半径为

2

．以坐标原

点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，

C

2

的极坐标方程为



22cos



．

(1)求

C

1

的极坐标方程，判断

C

1

，

C

2

的位置关系；(2)求经过曲线

C

1

，

C

2

交点的直线的斜率．

3．（2023·四川·成都七中模拟预测（理））在直角坐标系

xOy

中，倾斜角为



的直线

l

的参数方程为：





x



2



t

cos



，

(t为参数)，在以坐标原点为极点，

x

轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线

C

的极坐标方程为







y



3



t

sin





2

2



cos



8

．

(1)求直线

l

的普通方程与曲线

C

的直角坐标方程；

(2)若直线

l

与曲线

C

交于

A，B

两点，且

AB42

，求直线

l

的倾斜角．





x



3t

4．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））在直角坐标系xOy中，已知曲线

C

1

的参数方程为







y



t



x



4cos



（t为参数）.曲线

C

2

的参数方程为



（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐

y



4sin





标系.

2

(1)求曲线

C

1

，

C

2

的极坐标方程；

(2)若曲线

C

1

，

C

2

的交点为A，B，已知

P



3,1

，求

PAPB

.



（

2022·

内蒙古

·

海拉尔第二中学模拟预测（文））在平面直角坐标系

xOy

中，直线

l

的参数方程为

5

．



x



1



t

cos



（其中



为直线的倾斜角，t为参数），在以为O极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，



y



1



t

sin





曲线C的极坐标方程为



sin

2



4cos



0.

(1)

当直线

l

的斜率

k=2

时，求曲线

C

上的点

A

与直线

l

上的点

B

间的最小距离；

(2)

如果直线

l

与曲线

C

有两个不同交点，求直线

l

的斜率

k

的取值范围

.

（

2022·

全国

·

模拟预测（文））在直角坐标系

xOy

中，以坐标原点

O

为极点，

x

轴正半轴为极轴建立极坐

6

．





标系，直线

l

的极坐标方程为

2



cos











3

，圆

C

的极坐标方程为



2sin



．

6



(1)

求

C

的参数方程；

(2)

判断

l

与

C

的位置关系．



x



t

,

7．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））在平面直角坐标系

xOy

中，曲线C的参数方程为



2

（t

y



2

t



为参数），以坐标原点

O

为极点，

x

轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线

l

的极坐标方程为



cos







sin



20

.

(1)

求曲线

C

的普通方程和直线

l

的直角坐标方程；

(2)若直线l与曲线C交于P，Q两点，且点

M(0,2)

，求

11



的值.

|MP||MQ|

（

2022·

四川

·

成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））在平面直角坐标系

xOy

中，以坐标原点

O

8

．

为极点，

x

轴正半轴为极轴建立极坐标系（取相同的单位长度），曲线

C

1

的极坐标方程为



4cos



，曲线

C

2



2

x



2



t





x





x



2



2

的参数方程为



（

t

为参数），曲线

C

1

，

C

2

相交于

A

、

B

两点，曲线

C

3

经过伸缩变换



后



y



2

y





y



2



2

t



2



得到曲线

C

1

.

(1)求曲线

C

1

的普通方程和线段

AB

的长度；

(2)

设点

P

是曲线

C

3

上的一个动点，求

△PAB

的面积的最小值．

3

11



x



cos







22

9．（2022·全国·模拟预测（理））在直角坐标系

xOy

中，曲线

C

1

的参数方程是



（



为参数）．以

1



y



sin





2



原点

O

为极点，

x

轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线

C

2

的极坐标方程为



13sin



(



R)

．

(1)求曲线

C

1

和曲线

C

2

除极点外的交点的极坐标

(0



2π)

；

(2)若

A

，

B

分别为曲线

C

1

和

C

2

上的异于极点

O

的两点，且

OAOB

，求

OAB

面积的最大值．

（

2022·

吉林市教育学院模拟预测（理））以等边三角形的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另两个

10

．

顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形被称为勒洛三角形，如图，在极坐标系

Ox

中，曲边三角形

OPQ

为勒洛三角形，且

P



2,







π



π



Q

，



2,



，以极点O为直角坐标原点，极轴

Ox

为x轴正半轴建立平面

6



6





3

x



t





2

直角坐标系

xOy

，曲线

C

1

的参数方程为



（t为参数）．

1



y



1



t



2





的极坐标方程和

OQ



所在圆

C

2

的直角坐标方程；

(1)求

PQ

(2)已知点M的直角坐标为



0,1



，曲线

C

1

和圆

C

2

相交于A，B两点，求

11



．

|MA||MB|

4

学

（

2022·

四川成都

·

模拟预测（理））在平面直角坐标系

xOy

中，已知直线

l

的参数方程为

1

．



x



1



t

cos





（

t

为参数，



为常数且





），在以原点

O

为极点，

x

轴的非负半轴为极轴



y



1



t

sin



2



的极坐标系中，曲线

C

的极坐标方程为：



2

2



sin



40

．

(1)

求直线

l

的直角坐标方程和曲线

C

的普通方程；

(2)点

P(1,1)

，直线

l

与曲线

C

交于

A,B

两点，若

PA2PB

，求直线

l

的斜率．

【答案】(1)

ytan



(x1)1

；

x

2

y

2

2y40

(2)±1

【解析】

【分析】

（

1

）消参可以把参数方程转化为普通方程，根据极坐标和直角坐标的转化，可将极坐标方

程化成直角坐标方程

.

（

2

）根据直线的标准参数方程的几何意义以及韦达定理即可求解

cos





2

，进而可求

tan



.

2



x



1



t

cos



ytan







x1



1

，

(1)



y



1



t

sin







2

2



sin



40x

2

y

2

2y40

；



t

1



t

2



2cos





x



1



t

cos



(2)将



代入

x

2

y

2

2y40

得

t

2

2tcos



40

，

，因为点

P



tt



4

y



1



t

sin







12

t

1

t

2

5

(

t

1



t

2

)

2

1



，在圆内，故

A,B

在点

P

两侧，由题意知，

t

1

2t

2

，因此



，即

t

2

t

1

2

t

1

t

2

2

(



2cos



)

2

1

2

故，进而

ktan



1

因此斜率为±1．



，解得

cos







42

2

2．（2022·河南安阳·模拟预测（文））在直角坐标系xOy中，

C

1

的圆心为

C

1



1,1



，半径为

2

．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，

C

2

的极坐标方程为



22cos



．

(1)求

C

1

的极坐标方程，判断

C

1

，

C

2

的位置关系；(2)求经过曲线

C

1

，

C

2

交点的直线的斜率．

【答案】(1)

r

2cos

q

2sin

q

，

C

1

，

C

2

相交.(2)

21

【解析】

5

学

【分析】

（1）先求解

C

1

的标准方程，再根据直角坐标与极坐标的转换求解

C

1

的极坐标方程，再

根据

C

2

的直角坐标方程，分析

C

1

，

C

2

圆心之间的距离与半径之和差的关系判断即可；

（2）根据

C

1

，

C

2

均过极点，联立极坐标方程，求解

tan



即可

(1)由题意，

C

1

的标准方程为



x1







y1



2

，即

x

2

y

2

2x2y0

，故

C

1

的极坐标

方程为



2

2



cos



2



sin



，即

r

2cos

q

2sin

q

，又，

C

2

的极坐标方程为

22



2

22



cos



，即

x

2

y

2

22x

，

x2y

2

2

.因为

C

1

C

2





2



2

21



10



422

，

C

1

，

C

2

半径相等，半径和为

22

，且



2

C

1

C

2

4224222

，故

C

1

，

C

2

相交.

故

C

1

的极坐标方程

r

2cos

q

2sin

q

，

C

1

，

C

2

相交.









2cos





2sin



r

2cos

q

2sin

q

CC



22cos



均经过极点且相交，

(2)由（1）

1

：，

2

：联立











22cos



有

2cos



2sin



22cos



，显然

cos



0

，故

22tan



22

，即

tan



21

，即经过

曲线

C

1

，

C

2

交点的直线的斜率为

21

（

2023·

四川

·

成都七中模拟预测（理））在直角坐标系

xOy

中，倾斜角为



的直线

l

的参数

3

．





x



2



t

cos



，

方程为：



(t为参数)，在以坐标原点为极点，

x

轴正半轴为极轴的极坐标系中，





y



3



t

sin



曲线

C

的极坐标方程为



2

2



cos



8

．

(1)

求直线

l

的普通方程与曲线

C

的直角坐标方程；

(2)若直线

l

与曲线

C

交于

A，B

两点，且

AB42

，求直线

l

的倾斜角．

【答案】(1)当





π

π

时，直线

l

的普通方程为

x2

；当





时，直线

l

的普通方程为

2

2

(2)

ππ

或

62

y3tan





x2



；

x

2

y

2

2x80

【解析】

【分析】

6

学



π

π



x



2



t

cos



（1）因为直线

l

的参数方程为



（

t

为参数），讨论





和





时，消去参

2

2





y



3



t

sin



数

t

，即可求出直线

l

的普通方程，因为



2

x

2

y

2

，



cos



x

即可求出曲线

C

的直角坐标

方程

.

2

（2）将直线

l

的参数方程代入曲线

C

的方程整理，

t23sin



2cos



t50

．因为



0

，可设该方程的两个根为

t

l

,

t

2

，所以

ABt

1

t

2



线

l

的倾斜角

.





x



2



t

cos



(1)因为直线

l

的参数方程为



（

t

为参数），

y



3



t

sin









t

1

t

2



2



4

t

l

t

2

，代入即可求出直

当





当





π

时，直线

l

的普通方程为

x2

．

2

π

时，直线

l

的普通方程为

y3tan





x2



．

2

因为



2

x

2

y

2

，



cos



x

，

因为



2

2



cos



8

，所以

x

2

y

2

2x8

．

所以

C

的直角坐标方程为

x

2

y

2

2x80

．

(2)曲线

C

的直角坐标方程为

x

2

y

2

2x80

，

将直线

l

的参数方程代入曲线

C

的方程整理，

2

得

t23sin



2cos



t50

．



因为

23sin



2cos





2

200

，可设该方程的两个根为

t

l

,

t

2

，

则

t

l

t

2



23sin





2cos



，

t

l

t

2



5

．

所以

ABt

1

t

2







t

1

t

2



2



4

t

l

t

2

[23sin



2cos



]

2

2042

．

整理得





3sin



cos





2

3

，

π



故

2sin











3

．

6



因为

0



π

，所以





πππ2π



或





，

6363

7

学

解得或





π

π

或





，

6

2

ππ

或．

62

综上所述，直线

l

的倾斜角为

4．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））在直角坐标系xOy中，已知曲线

C

1

的参数





x



4cos





x



3t

C

方程为



（t为参数）.曲线

2

的参数方程为



（θ为参数），以坐标原点为

y



4sin



y



t







极点，

x

轴正半轴为极轴建立极坐标系

.

(1)求曲线

C

1

，

C

2

的极坐标方程；

(2)若曲线

C

1

，

C

2

的交点为A，B，已知

P



3,1

，求

PAPB

.

(2)12



π



5π



【答案】(1)

C

1

:



sin











0

（或





，



R

），

C

2

:

ρ＝4.

6

6



【解析】

【分析】

（

1

）利用消参法进行化简曲线方程，然后通过公式将曲线的普通方程转化成极坐标方程；

（

2

）利用直线的极坐标方程，结合参数的几何意义，联立曲线普通方程进行计算即可

.





x



3

t

(1)由曲线

C

1

:



（t为参数），消去参数t得

x3y0

，

y



t





π



5π



化成极坐标方程得



cos



3



sin



0

.化简极坐标方程为



sin











0

（或





，

6



6





R

）

.



x



4cos



曲线

C

2

:



（θ为参数）消去参数θ得

x

2

y

2

16

.化简极坐标方程为ρ＝4.



y



4sin





3

x



3



t





2

(2)由已知得P在曲线

C

1

上，将曲线

C

1

化为标准参数方程



（t为参数）代入

C

2



y



1



1

t



2



2



3





1



22



1



t





16

，的直角坐标方程

xy16

，得





3



2

t









2







2

即

t

2

4t120

，即A，B所对应的参数分别为

t

1

，

t

2

，所以

PAPBt

1

t

2

t

1

t

2

12

.

（

2022·

内蒙古

·

海拉尔第二中学模拟预测（文））在平面直角坐标系

xOy

中，直线

l

的参数

5

．

8