考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷75(题后含答案及解析)

2023年12月30日发(作者：常州初三数学试卷答案)

考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷75

(题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． 一种零件的加工由相互独立的两道工序组成，第一道工序的废品率为p1，第二道工序的废品率为p2，则该零件加工的成品率为 ( )

A．1－p1－p2

B．1－p1p2

C．1－p1－p2+p1p2

D．(1－p1)+(1－p2)

正确答案：C

解析：设A={成品零件}，Ai={第i道工序为成品}，i=1，2．依题意有

P(A1)=1－p1，P(A2)=1－p2，则 P(A)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=(1－p1)(1－p2)=1－p1－p2+p1p2，故选

C． 知识模块：概率论与数理统计

2． 现有10张奖券，其中18张为2元的，2张为5元的．今从中任取3张，则奖金的数学期望为( )

A．6

B．7．8

C．9

D．11．2

正确答案：B

解析：记奖金为X，则X全部可能取值为6，9，12，并且因此本题选

B． 知识模块：概率论与数理统计

3． 设x1，x2，…，xn是来自总体X～N(μ，σ2)(μ，σ2都未知)的简单随机样本的观察值，则σ2的最大似然估计值为 ( )

A．

B．

C．

D．

正确答案：B

解析：在μ未知时，σ2的最大似然估计值为因此本题选

B． 知识模块：概率论与数理统计

4． 以下结论，错误的是 ( )

A．若0＜P(B)＜1，P(A｜B)+=1，则A，B相互独立

B．若A，B满足P(B｜A)=1，则P(A－B)=0

C．设A，B，C是三个事件，则(A－B)∪B=A∪B

D．若当事件A，B同时发生时，事件C必发生，则P(C)＜P(A)+P(B)－1

正确答案：D

解析：对于A，即 P(B)－P(B)P(B)=P(AB)+P(B)－P(A)P(B)－P(B)P(B)，则P(AB)=P(A)P(B)，故A正确．对于B，P(B｜A)==1=>P(AB)=P(A)=>P(A)－P(AB)=0=>P(A－B)=0，故B正确．对于C，(A－B)∪B== A∪B，C正确．对于D，ABC=>P(C)≥P(AB)=P(A)+P(B)－P(A∪B)=>P(A)+P(B)－1，D错误，故选

D． 知识模块：概率论与数理统计

5． 设随机变量X与Y相互独立，且X～N(0，1)，Y～B(n，p)(0＜P＜1)，则X+Y的分布函数( )

A．为连续函数

B．恰有n+1个间断点

C．恰有1个间断点

D．有无穷多个间断点

正确答案：A

解析：记Z=X+Y，则Z的分布函数是n+1个连续函数之和，所以为连续函数．因此本题选A． 知识模块：概率论与数理统计

6． 设总体X与Y都服从正态分布N(0，σ2)，已知X1，X2，…，Xn与Y1，Y2，…，Yn是分别来自总体X与Y的两个相互独立的简单随机样本，统计量服从t(n)分布，则=( )

A．

B．

C．

D．

正确答案：D

解析：应用t分布的典型模式．由于U与V相互独立，由t分布的典型模式有 知识模块：概率论与数理统计

7． 设总体X～N(μ，σ2)，来自X的一个样本为X1，X2，…，X2n记当μ已知时，基于T构造估计σ2的置信水平为1－α的置信区间为( )

A．

B．

C．

D．

正确答案：D

解析：因相互独立，则 知识模块：概率论与数理统计

填空题

8． 设二维随机变量(X，Y)在区域上服从均匀分布，则(X，Y)关于X的边缘概率密度fX(z)在点x=e处的值为______．

正确答案：

解析：区域D如图3—1阴影部分所示，它的面积所以(X，Y)的概率密度为

知识模块：概率论与数理统计

9． 设相互独立的两个随机变量X，Y具有同一分布律，且X的分布律为则随机变量Z=max(X，Y)的分布律为______．

正确答案：

解析：P{Z=0}=P{X=0，Y=0}=P{X=0}P{Y=0)=P{Z=1}=1－P{Z=0}=故Z的分布律为 知识模块：概率论与数理统计

10． 设X服从参数为λ的指数分布，对X作三次独立重复观察，至少有一次观测值大于2的概率为，则λ=______．

正确答案：

解析：因记A={X＞2}，y={对X作三次独立重复观察A发生的次数}，则Y～B(3，p)，p=P{X＞2}=∫2+∞λe－λxdx=ee－2λ，由题意有 知识模块：概率论与数理统计

11． 若X1，X2，X3两两不相关，且DXi=1(i=1，2，3)，则D(X1+X2+X3)=______．

正确答案：3

解析：因为X1，X1，X3两两不相关，所以Cov(Xi，Xj)=0(i≠j)，于是D(X1+X2+X3)=D[(X1+X2)+X3]=D(X1+X2)+DX3+2Cov(X1+X2，X3)

=DX1+DX2+DX3+2Cov(X1，X2)+2Cov(X1，X3)+2Cov(X2，X3)

=DX1+DX2+DX3=3． 知识模块：概率论与数理统计

12． 设总体X的概率密度为其中θ＞0为未知参数，又设x1，x2，…，xn是X的一组样本值，则参数η的最大似然估计值为______．

正确答案：

解析：似然函数为 知识模块：概率论与数理统计

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

13． 某彩票每周开奖一次，每次提供十万分之一的中奖机会，且各周开奖是相互独立的．某彩民每周买一次彩票，坚持十年(每年52周)，那么他从未中奖的可能性是多少?

正确答案：令Ai={第i次中奖}(i=1，2，…，520)， p=P{在一次购买彩票中中奖)．又事件A1，A1，…，A520相互独立，且p=10－5．所以P{连续购买十年从未中奖}=(1－p)520=(1－10－5)520≈0．9948． 涉及知识点：概率论与数理统计

设电子管寿命X的概率密度为若一台收音机上装有三个这种电子管，求：

14． 使用的最初150小时内，至少有两个电子管被烧坏的概率；

正确答案：设y为在使用的最初1 50小时内烧坏的电子管数，则Y～B(3，p)，其中所求概率为 P{Y≥2}=P{Y=2}+P{Y=3} 涉及知识点：概率论与数理统计

15． 在使用的最初150小时内烧坏的电子管数Y的分布律；

正确答案：Y的分布律为k=0，1，2，3，即 涉及知识点：概率论与数理统计

16． Y的分布函数．

正确答案：Y的分布函数为 涉及知识点：概率论与数理统计

17． 设X关于Y的条件概率密度为而Y的概率密度为

正确答案：(X，Y)的概率密度为如图3—3所示，则 涉及知识点：概率论与数理统计

18． 用切比雪夫不等式确定，掷一均质硬币时，需掷多少次，才能保证“正面”出现的频率在0．4至0．6之间的概率不小于0．9．

正确答案：设需掷n次，正面出现的次数为Yn，则依题意应有所以n≥250． 涉及知识点：概率论与数理统计

19． 设X1，X2，…，Xn为总体X的一个样本，设EX=μ，DX=σ2，，试确定常数C，使－CS2为μ2的无偏估计．

正确答案：由 涉及知识点：概率论与数理统计

20． 设随机变量(X，Y)的概率密度为求随机变量Z=X－Y的概率密度fZ(z)．

正确答案：由于X，y不是相互独立的，所以记V=－Y时，(X，V)的概率密度不易计算．此时应先计算Z的分布函数，再计算概率密度fZ(z)． 记Z的分布函数为FZ(z)，则FZ(z)=P{Z≤z}=P{X－Y≤z)=其中Dz={(x，y)｜x－y≤z}(直线x－y=z的上方部分)，由Dz与D={(x，y)｜0＜x＜1，0＜y＜x)(如图3—10中带阴影的△OSC)的相对位置可得：当z＜0时，Dx与D不相交，所以当0≤z＜1时，Dz∩D=四边形OABC，=∫0zdx∫0x3xdy+∫z1dx∫x－zx3xdy=∫0zx2dx+∫z13xzdx当z≥1时，Dz∩D=△OSC，由此得到 涉及知识点：概率论与数理统计

21． 设(X，Y)的概率密度为求的数学期望．

正确答案： 涉及知识点：概率论与数理统计

△ABC边AB上的高CD长度为h．向△ABC中随机投掷一点P，求

22． 点P到边AB的距离X的概率密度；

正确答案：设X的分布函数为F(x)，则当x＜0时，有F(x)=0；当x≥h时，有F(x)=1；当0≤x＜h时，为了求概率．P{X≤x)，作EF∥AB，使EF与AB间的距离为x(如图3—15)，利用几何方法，可得综上可得由此得X的概率密度为

涉及知识点：概率论与数理统计

23． X的期望与方差．

正确答案：由上一小题知X与X2的数学期望分别为从而得X的方差

涉及知识点：概率论与数理统计

24． 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为求：(1)方差D(XY)；(2)协方差Cov(3X+Y，X－2Y)．

正确答案：(1)因 D(XY)=E(X2Y2)－[E(XY)]2，其中(2)Cov(3X+y，X一2y)一3DlX一5Cov(X，Y)一2Dy(2)Cov(3X+Y，X－2Y)=3DX－5Cov(X，Y)－2DY=3DX－5E(XY)+5EXEY－2DY又(X，Y)关于X的边缘概率密度为 涉及知识点：概率论与数理统计

25． 设总体X服从参数为N和p的二项分布，X1，X1，…，Xn为取自X

的样本，试求参数N和p的矩估计．

正确答案：由所以N和p的矩估计为 涉及知识点：概率论与数理统计

26． 经测定某批矿砂的5个样品中镍含量为X(％)： 3．25，3．27，3．24，3．26，3．24，设测定值服从正态分布，问能否认为这批矿砂的镍含量为3．25(α=0．01)?

正确答案：问题是在σ2未知的条件下检验假设H0：μ=3．25．H0的拒绝域为｜t｜＞tα／2(4)．由因为 ｜t｜=0．344＜4．6041=t0．005(4)，所以接受H0，即可以认为这批矿砂的镍含量为3．25． 涉及知识点：概率论与数理统计

27． 假设一批产品的不合格品数与合格品数之比为R(未知常数)．现在按还原抽样方式随意抽取的n件中发现k件不合格品．试求R的最大似然估计值．

正确答案：设a是这批产品中不合格品的件数，b是合格品的件数．从而a=Rb，不合格品率为 设X是“随意抽取的一件产品中不合格品的件数”，则X服从参数为p的0－1分布． 对于来自总体X的简单随机样本X1，X2，…，Xn，记vn=X1+X2+…+Xn，则似然函数和似然方程为lnL(R)=vlnR－nln(1+R)．令由条件知 vn=X1+X2+…+Xn=k，于是似然方程的唯一解即是R的最大似然估计值． 涉及知识点：概率论与数理统计

28． 设随机变量X，Y相互独立，且P{X=0)=P{X=1)=，P{Y≤x)=x，0＜x≤1．求Z=XY的分布函数．

正确答案：由FZ(z)=P{Z≤z}，得： 当z＜0时，FZ(z)=0； 当z≥1时，FZ(z)=1； 当0≤z＜1时， FZ(z)=P{Z≤z} =P{X=0}P{Z≤z｜X=0}+P{X=1}P{Z≤z}X=1} 涉及知识点：概率论与数理统计

设随机变量X的概率密度为f(x)，已知方差DX=1，而随机变量y的概率密度为f(－y)，且X与Y的相关系数为记Z=X+Y．

29． 求EZ，DZ；

正确答案：EZ=E(X+Y)=EX+EY=∫－∞+∞xf(x)dx+∫－∞+∞yf(－y)dy∫－∞+∞xf(x)dx+∫－∞+∞(－u)f(u)(－du)=∫－∞+∞xf(x)dx－∫－∞+∞uf(u)du=0， DZ=D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X，Y)=DX+DY+又 DY=E(Y2)－(EY)2，其中EY=－EX，E(Y2)=∫－∞+∞y2(－y)dy=∫－∞+∞(－u)2F(u)(－du)=∫－∞+∞u2f(u)du=E(x2)，所以DY=E(X2)－(－EX)2=E(X2)－(EX)2=DX=1，故 涉及知识点：概率论与数理统计

30． 用切比雪夫不等式估计P{｜Z｜≥2}．

正确答案：由切比雪夫不等式得P{｜Z｜≥2}=P{｜Z－EZ｜≥2}≤

涉及知识点：概率论与数理统计

31． (1)设连续型随机变量X的r阶绝对矩E(｜X ｜r)，r＞0存在，证明对任何ε＞0，有(2)设X1，X2，…，Xn为来自正态总体X～N(μ，σ2)的一个简单随机样本．已知an＞0，且是σ2的一致估计．

正确答案：(1)设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，则有(2)=E(n－1)(n+1)an2－2(n－1)an+1]σ4=[(nan－1)2+an(2－an)]σ4．又由于对任意ε＞0，由(1)不等式即为σ2的一致估计． 涉及知识点：概率论与数理统计