2024年4月14日发(作者：数学试卷怎么买)
太和中学2022-2023学年度高二下学期
数学竞赛试卷
满分:150分 考试时间:120分钟
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 下列导数运算正确的是（ ）
11
A.
x
1
x
x
2
C.
cosx
sinx
【答案】
D
【解析】
B.
2
x
x
2
x
1
D.
lnx
2
2
x
【分析】根据基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则逐项计算即可判断
【详解】
x
2x2
1
1
；
x
2
x
lnx
；；
x
2
x
.
1
2
2
2ln2
cosx
sinx
x
x
2a
n
1
1
，且
a
n
1
，则
a
2023
（
）
2a
4
n
C.
故选：
D.
2.
已知数列
a
n
满足
a
2
A.
1
4
B.
1
3
2
D.
2
3
【答案】
B
【解析】
【分析】计算
a
1
答案
.
【详解】
a
n
1
2132
，
a
2
，
a
3
1
，
a
4
，
a
5
，确定
a
n
为周期是
4
的
数列，计算得到
3423
2a
n
12a
1
3
2a
1
1
1
2a
1
2
，
a
1
，
a
3
2
1
，
a
4
3
，
，故
a
2
2a
n
2a
1
42a2a2
3
23
a
5
2a
4
1
2
，
L
，故
a
n
为周期是
4
的数列，
a
2023
a
3
1
.
2a
4
3
故选：
B
3.
函数
f(x)xsinx
在
x[0,2π]
上的图象大致为（
）
A. B. C.
D.
【答案】
D
【解析】
【分析】根据导数与函数的单调性的关系及导数的几何意义结合图象即得
.
【详解】因为
f
(x)1cosx0
，所以
f(x)
在
0,2π
为增函数，
令
g(x)f
(x)
，且
g
(x)sinx
，
当
x
0,π
时，
g
(x)0
，
g(x)
为增函数，
f(x)
图象上切线的斜率逐渐增大；
当
x
π,2π
时，
g
(x)0
，
g(x)
为减函数，
f(x)
图象上切线的斜率逐渐减小
.
故选：
D
．
4.
在
2022
年北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的
14
句古诗词，将中国人
独有的浪漫传达给了全世界．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，
每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及
晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知雨水的晷长为
9.5
尺，立冬
的晷长为
10.5
尺，则冬至所对的晷长为（
）
A. 11.5
尺
B. 13.5
尺
C. 12.5
尺
D. 14.5
尺
【答案】
B
【解析】
【分析】设相邻两个节气晷长减少或增加的量为
d
d0
,则立冬到冬至增加
3d
,冬至到雨水减少4
d
,
冬至的晷长为
x
,根据题意，结合等差数列的性质，列出方程组求解即得.
【详解】解：设相邻两个节气晷长减少或增加的量为
d
d0
,则立冬到冬至增加
3d
,冬至到雨水减少4
d
,冬至的晷长为
x
,则
故选：B.
x
4d
9.5
d
1
,解得
,
10.5
3d
x
x
13.5
5.
在等差数列
a
n
中，若
a
3
a
8
a
13
7
，
a
2
a
11
a
14
14
，则
a
8
和
a
9
的等比中项为（
A.
）
72
3
B.
72
3
C.
27
3
D.
27
3
【答案】
A
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质计算出
a
8
,a
9
，再根据等比中项的定义即可求出答案
【详解】由题意得：
a
3
a
8
a
13
3a
8
7
，所以
a
8
714
.
，
a
2
a
11
a
14
3a
9
14
，所以
a
9
33
a
8
a
9
故选
A.
98
72
，所以
a
8
和
a
9
的等比中项为
9
3
【点睛】本题主要考查了等差数列的性质（若
mnpq
则
a
m
a
n
a
p
a
q
），以及等比中项，属于
基础题。
x
2
y
2
6.
已知抛物线
C:y2px(p0)
的焦点
F
与双曲线
=1
的右焦点重合，该抛物线的准线与
x
轴的
916
2
交点为
K
，点
A
在抛物线上且
AK
A.
2AF
，则
A
点的横坐标为（
）
C.
2
B. 2
5
D. 5
【答案】
D
【解析】
【分析】先利用双曲线的性质求得
p10
，再根据抛物线的定义，运用坐标表示关系式
AK
，然后借助于方程来求解点
A
的坐标
.
2AF
x
2
y
2
【详解】因为抛物线
y2px(p0)
的焦点
F
与双曲
1
的右焦点重合，
916
2
而双曲线中，
a3
，
b4
,
c5
,
可知右焦点
5,0
，
2
所以
p10
，即抛物线的方程为
y20x
.
则抛物线的准线
x5
,
故点
K
5,0
.
2
设点
A
t,s
,
满足
y20x
，由
AK2AF
，可知
t5
2
s2
t5
t5
20t
，解得
t5
，
2
故点
A
的横坐标为
5.
故选：
D
7.
设
aln2
，
b
A.
c C. b 【答案】 A 【解析】 2 ln3 ， c 2 ，则 a ， b ， c 的大小关系是（ ） 3 e B. abc D. bac lnx ln3 ln2ln4 2lne 2 ,x 0 ，研【分析】由题知 aln2 ， c 2 2 ， b ，进而构造函数 g x 243 x ee 究函数单调性，利用单调性比较大小 . ln3 ln2ln4 2lne 2 【详解】解：因为 aln2 ， c 2 2 ， b ， 24 3 ee 所以，令 g x lnx1 lnx ,x 0 ， g \' x ， 2 xx \' 所以当 x e, 时， g x 0 ，函数 g x 2 lnx ,x 0 单调减， x ln3ln4lne 2 因为 34e ，所以 ba 2 c ，即 c . 34e 故选： A 8. 若 f x 图象上存在两点 A ， B 关于原点对称，则点对 A,B 称为函数 f x 的 “ 友情点对 ” （点对 x 3 ,x 0 ）若 f x e x 恰有两个 “ 友情点对 ” ，则实数 a 的取值 A,B 与 B,A 视为同一个“友情点对” ax 2 ,x 0 范围是（ ） A. ,0 【答案】 A 【解析】 【分析】首先转化“友情点对”为把 x0 时的函数图像沿着原点对称对称过去，和 x0 时函数图像的 1 e B. 1 0, e C. 0,1 D. 1,0 x x 3 2 交点，即 y x 的图像和 yax(x0) 的交点，所以只要 a x 有两解即可，求导画图即可得解. e e 【详解】根据题意，若要求 “ 友情点对 ” ，可把 x0 时的函数图像关于原点对称， 研究对称过去的图像和 x0 时的图像有两交点即可， yax 2 (x0) 关于原点对称的解析式为 yax 2 (x0) ， x 3 2 考查 y x 的图像和 yax(x0) 的交点， e xx x 3 可得 x ax 2 ， a x ，令 g ( x ) x ee e g (x) x 1 0 ， x e 所以 x(0,1) ， g (x)0 ， g(x) 为减函数， 1 x(1,) ， g (x)0 ， g(x) 为增函数， g(1) ， e 其图象为， 故若要 a 故选： A x1 a 0 即可， 有两解，只要 x ee 【点睛】本题考查了新定义问题，考查了转化思想，考查了利用导数研究函数的图像，同时考查了函数 对称问题，属于较难题 . 本题关键点有： （ 1 ）正确理解“友情点对”； （2）正确的转化，转化为函数方程问题； （3）掌握利用导数研究单调性. 二、选择题 : 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求 . 全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 . 9. 已知数列 a n 为等比数列，则（ ） A. 数列 a 2 ， a 4 ， a 8 成等比数列 B. 数列 a 1 a 2 ， a 3 a 4 ， a 5 a 6 成等比数列 C. 数列 a 1 a 2 ， a 3 a 4 ， a 5 a 6 成等比数列 D. 数列 a 1 a 2 a 3 ， a 4 a 5 a 6 ， a 7 a 8 a 9 成等比数列 【答案】 BD 【解析】 【分析】根据比数列的定义，逐一判断选项 . 【详解】设等比数列 a n 的公比为 q ， A. 由等比数列的性质知 a a 4 q 2 ， 8 q 4 ，当 q1 时， q 2 q 4 ，故 A 错误； a 2 a 4 B. 可知数列 a 1 a 2 ， a 3 a 4 ， a 5 a 6 每项都不为 0 ，且 a 3 a 4 a 5 a 6 q 4 ，故 B 正确． a 1 a 2 a 3 a 4 C. 当数列 a n 为 1 ， 1 ， 1 ， 1 ， 1 ……时， a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 0 ，故 C 错误； D. 数列 a 1 a 2 a 3 ， a 4 a 5 a 6 ， a 7 a 8 a 9 的每一项都不为 0 ，且 故 D 正确 . 故选： BD 10. 设等差数列 {a n } 的 前 n 项和为 S n ， a 1 0 ，公差为 d ， S 16 0 ， a 9 0 ，则下列结论正确的是 （ ） A. d0 B. 当 n8 时， S n 取得最大值 C. a 4 a 5 a 18 0 D. 使得 S n 0 成立的最大自然数 n 是 15 【答案】 ABC 【解析】 【分析】利用等差数列前 n 项和公式，通项公式的性质即可逐个选项判断 . 【详解】因为等差数列 { a n } 中， a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 q 3 ， a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 S 16 16 a 1 a 16 16 a 8 a 9 0 ， a 9 0 ， 22 所以 a 8 0 ， a 9 0 ， da 9 a 8 0 ， A 正确； 当 n8 时， S n 取得最大值， B 正确； a 4 a 5 a 18 3a 1 24d3 a 1 8d 3a 9 0 ， C 正确； S 16 8 a 1 a 16 8 a 8 a 9 0 ， S 17 17(a 1 a 17 ) 17a 9 0 ， 2 故 S n 0 成立的最大自然数 n16 ， D 错误． 故选： ABC 11. 下列命题中是真命题有（ ） A. 若 f x 0 0 ，则 x 0 是函数 f x 的极值点 B. 函数 yf x 在 x1 处的切线方程为 2xy0 ，则当 x0 时， f 1 f 1 x 1 . 2 x 3π π fx 2cosx f0cosx yfx C. 已知函数 ，则曲线 在点 , 2 4 为 22 . 3π f 处的切线的斜率 4 D. 若函数 yf x 的导数 f x 1 ，且 f 1 2 ，则不等式 f x x1 的解集是 ,1 . 【答案】 CD 【解析】 【分析】由导数的相关内容逐项判断即可. 3 【详解】对于 A ，例如 f x x 在 x0 处导数 f 0 0 ，但当 x0 时，函数 f x 单调递增，当 x0 时，函数 f x 也单调递增，故 0 不是函数 f x 的极值点，故 A 选项错误； f 1 x f 1 2 ，即 x0 ， x 对于 B ，根据导数的定义可知 x0 ， f 1 f 1 f 1 x 1 ，故 B 错误； 2 x 对于 C ，对 f x 2cos x π f 0 cosx 2sinx f 0 cosx ， 2 求导可得， f x 2cosxf 0 sinx ，得到 f 0 2 ，所以， 3π3π 3π 22 ，故 f x 2sinx2cosx ，所以， f x 2cosx2sinx ， f 2cos 2sin 444 C 正确； 对于 D ，令 g x f x x1 ，则有 g x f x 10 ， g 1 f 1 110 ， 1 ，故 D 正确； 故 g x 0 的解集是 ,1 ，故 f x x1 的解集是 ， 故选： CD. 12. 定义：设 f x 是 f x 的导函数， f x 是函数 f x 的导数，若方程 f x 0 有实数解 x 0 ，则 称点 x 0 ,f x 0 为函数 yf x 的 “ 拐点 ” .经过探究发现：任何一个三次函数都有 “ 拐点 ” 且 “ 拐点 ” 就是 三次函数图像的对称中心.已知函数 f(x)axbx 确的有（ ） 32 5 (ab0) 的对称中心为 1,1 ，则下列说法中正 3 A. a 1 ， b=-1 3 2 198 199 f f f 的值是 199. 100 100 100 1 B. f 100 C. 函数 f x 有三个零点 D. 过 1, 可以作三条直线与 yf x 图像相切 【答案】 AB 【解析】 【分析】根据“拐点 ” 的 定义与 f x 的对称中心，建立方程求出 a,b 可判断 A ，由函数 f x 的中心对称 性质对式子相加可求，从而判断 B ，根据 f x 的单调性及 f x 的极值可判断 C ，根据导数的几何意义 求出 f x 的切线方程，从而转化为切点个数问题即可判断 D. 【详解】因为 f(x)axbx 32 1 3 5 (ab0) ，所以 f (x)3ax 2 2bx ， 3 1 6a 2b 0 f 1 0 a 从而 f (x)6ax2b ，由题意 ，即 ，解得 3 ，故 A 正确； 5 f1 1 a b 1 3 b 1 因为函数 f(x)axbx 所以有 f(x)f 2x 2 ， 32 5 (ab0) 的对称中心为 1,1 ， 3 1 设 S f 100 2 f 100 198 f 100 199 f (1) ， 100 1 f (2) ， 100 199 所以有 S f 100 198 f 100 2 f 100 (1)(2) 得， 2S22222199 ，所以 S199 1 即 f 100 2 198 199 f f f 的值是 199. 故 B 正确； 100 100 100 因为 f(x) 1 32 5 xx ，所以 f (x)x 2 2x ， 33 当 x(,0) 时， f (x)0 ， f x 单调递增； 当 x 0,2 时， f (x)0 ， f x 单调递减； 当 x(0,) 时， f (x)0 ， f x 单调递增， 所以 f x 在 x0 与 x2 处取得极大值与极小值， 又 f(0) 51 0 ， f(2)0 ，即 f x 的极大值与极小值大于 0 ， 33 所以函数不会有 3 个零点，故 C 错误； 1 32 5 2 y Tx,y 设切点为 00 ，则切线方程为 x 0 x 0 x 0 2x 0 x x 0 ， 3 3 又切线过 1, ，则 3 1 3 1 1 32 5 2 x 0 x 0 x 0 2x 0 1 x 0 ， 3 33 2 化简得 x 0 3x 0 20 ，即 x 0 1 x 0 2 0 ，解得 x 0 1 或 x 0 2 ， 即满足题意的切点只有两个，所以满足题意只有两条切线，故 D 错误 . 故选： AB. 【点睛】关键点点睛：本题把切线条数问题转化为函数的零点个数问题，要学会用试根法或者配方法求 解三次方程 . 三、填空题 : 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13. 函数 f x x 【答案】 2, 【解析】 【分析】求定义域，求导，利用导函数大于 0 解不等式，求出递增区间 . 【详解】 f x x 2 lnx 的单调递增区间是 ______ ． x 2 lnx 的定义域为 0, ， x 12x 2 x 2 x 2 x 1 ， f x 1 2 xxx 2 x 2 令 f ¢ ( x ) > 0 ，解得： x2 或 x1 ， 因为定义域为 0, ， 所以单调递增区间为 2, . 故答案为： 2, 14. 直线 3x4yc0 与圆 xy4 相交于 A ， B 两点，且 OAOBOAOB （ O 为坐标原 22 点），则 c __________ ． 【答案】 52 【解析】 【分析】由 |OAOB||OAOB| 结合向量加减法 的 意义可得 AOB 为等腰直角三角形，再由点到直线 距离及垂径定理求解即可 . 【详解】因 |OAOB||OAOB| ，由向量加法和减法的几何意义知，
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