2024年4月8日发(作者：小学至初中数学试卷)

2023届四川省成都市高三高考模拟考试数学（理）试题

一、单选题

2

1

x

1．使成立的一个充分不必要条件是（

）

A．

1x3

C．x<2

【答案】B

【分析】根据分式不等式的解法以及充分不必要条件的概念求解.

B．

0x2

D．

0x2

2

1

x

【详解】由得

0x2

，

2

1

1x3

x

所以“”是“”的即不充分也不必要条件，故A错误；

2

1

0x2

x

“”是“”的充分不必要条件，故B正确；

2

1

x2

x

“”是“”的即不充分也不必要条件，故C错误；

2

1

0x2

x

“”是“”的充要条件，故D错误.

故选：B.

2．某工厂有甲乙两条生产线生产同一型号的机械零件，产品的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均

服从正态分布，

确的是（

）

XN

1

,

1

2



，

YN

,

，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正

2

2

2

A．甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性

B．甲生产线产品的稳定性低于乙生产线产品的稳定性

C．甲生产线的产品尺寸平均值大于乙生产线的产品尺寸平均值

D．甲生产线的产品尺寸平均值小于乙生产线的产品尺寸平均值

【答案】A

【分析】根据正态分布密度曲线的对称轴为

x

，图像越瘦高数据越稳定可得.

【详解】由图知甲乙两条生产线的平均值相等，甲的正态分布密度曲线较瘦高，所以甲生产线产品

的稳定性高于乙生产线产品的稳定性.

故选：A

3z

3．设

z

是纯虚数，若

1

i

是实数，则

z

的虚部为（

）

A．

3

【答案】D

B．

1

C．1D．3

3z3z

zbi

b0

【分析】设，代入

1

i

并化简，再结合

1

i

是实数求解即可.

【详解】设

zbi

b0

，

则

3z3bi

3bi



1i

33ibibi

2

3b

b3

i



2

1

i1

i1

i1

i1

i2



，

3z

因为

1

i

是实数，

所以

b30

，即

b3

，

所以

z3i

，故

z

的虚部为3.

故选：D.

4．羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽

毛在球托之外的长为7cm，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成圆

的直径是6cm，底部所围成圆的直径是2cm，据此可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展开图的圆

心角为（

）

2

A．

7

【答案】C

3

B．

7

4

C．

7

D．

3

【分析】将圆台补成圆锥，由相似求出小圆锥的母线长，结合圆心角公式求解即可.

【详解】将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面的面积为大、小圆锥的侧面积之差，

7

x1

设小圆锥母线长为x，则大圆锥母线长为x＋7，由相似得

x

73

，即x＝

2

，

2π

14π

7

7

所以可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展开图的圆心角为

2

.

故选：C.

π

cos

4

的值为（

）5．如图，

5

A．

10

5

B．

5

4

C．

5

25

D．

5

【答案】B

π



π

xOP

sin

5



Q

2,2

4

转化为

2

5

求出利用诱导公式即可.【分析】由位置可将

，

【详解】

设

xOP

，

cos

则

因

Q

2,2

2

2

2

1

25

15

sin



5

，

5

，

2

2

1

π

4

，，则

ππ



42

故，

yOQ

5

π



π

cos

cos

sin

5

，

4



2

故选：B

6．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，…，9填入

33

的方格内，使三

行､三列､对角线的三个数之和都等于15，如图所示.

一般地.将连续的正整数1，2，3，…，n

2

填入

nn

个方格中，使得每行､每列､每条对角线上的数的

和相等，这个正方形叫做n阶幻方.记n阶幻方的数的和即方格内的所有数的和为S，如图三阶幻方

记为

S

3

45

，那么

S

9

（

）

C．99D．33A．3321

【答案】A

B．361

【分析】根据题意利用等差数列求和公式得结果.

【详解】由题意知，

故选：A

S

9

123++9

2

=

9

2

1+9

2

2

=3321

,

7．若(x－1)

4

＝a

0

＋a

1

x＋a

2

x

2

＋a

3

x

3

＋a

4

x

4

，则a

0

＋a

2

＋a

4

的值为（

）

A．9

【答案】B

【分析】利用赋值法，令

x1

，

x=

1

，两式相加即可求解.

4234

(x1)aaxaxaxax

01234

【详解】，

B．8C．7D．6

令

x1

，

令

a

0

+a

1

a

2

a

3

a

4

0

,

x1,a

0

a

1

a

2

a

3

a

4

16

,

相加可得

故选：B.

a

0

a

2

a

4

8

.

【点睛】本题考查了赋值法求部分项系数和问题，属于基础题.

8．德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点

A

，

B

是

MON

的

ON

边上的两个定点，

C

是

OM

边上的一个动点，当

C

在何处时，

ACB

最大？问题的答案是：当

且仅当

ABC

的外接圆与边

OM

相切于点

C

时最大，人们称这一命题为米勒定理.已知点

D

，

E

的坐

π

0,1

，

0,m

，

F

是

x

轴正半轴上的一动点.若

DFE

的最大值为

6

，则实数

m

的值为标分别是

（

）

A．2

【答案】C

【分析】根据米勒定理，当

DFE

最大时，

DEF

的外接圆与

x

轴正半轴相切于点

F

；再根据圆的

性质得到

DME

为等边三角形，从而求出

m

的值.

【详解】根据米勒定理，当

DFE

最大时，

DEF

的外接圆与

x

轴正半轴相切于点

F

.

m

1



m

1

M

x

F

,

r

2

，圆

M

的半径为

2

.设

DEF

的外接圆的圆心为

M

，则

B．3C．

m3

或

m

1

3

D．2或4

π

π

DME

3

，即

DME

为等边三角形，因为

DFE

为

6

，所以

m

1m

1

1

m

1

1

m

m

DEr

3

.

2

或

2

，解得

m3

或所以，即

故选：C.

1

f(x)x

2

,g(x)sinx

4

9．已知函数，则图象为如图的函数可能是（

）

A．

yf(x)g(x)

1

4

B．

yf(x)g(x)

1

4

C．

yf(x)g(x)

【答案】D

y

D．

g(x)

f(x)

【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.

【详解】对于A，

A；

对于B，

yf

x

g

x

1

x

2

sinx

4

，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除

yf

x

g

x

1

x

2

sinx

4

，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；

1

1

y

2xsinx

x

2

cosx

y

f

x

g

x

x

2

sinx

4

4

对于C，，则，

2

2

1

2

y



0



x

221642



4

时，当，与图象不符，排除C.

故选：D.

ππ

π

,

f(x)sin(

x),

0

0,2π

6

10．已知函数 在

64

上单调递增，则f（x）在

上的零点可能

有（

）

A．2个

【答案】A

【分析】根据条件求出

的取值范围，再运用整体代入法求解.

πππ

2kπ

x2kπ,kZ

62

【详解】由

2

，

2ππ

πππππππππ



x

x,2kπ



x

2kπ

3

642666462

，即

k

只能取0，得

3

B．3个C．4个D．5个

，

π

2π



,

3

6

ππ

4

π

π

,

,

0



f

x

64

3

4

3

，因为在 上单调递增，则

解得

π

ππ

π

x



,2

π

t

x

x

0,2π

6

66

，设

6

，由 ，则

π

π

π17π

17ππ8π

π

2π

t

,2

π

2

π



,



2π



3π

66666



6633

则 ，因为，，

π



π

,2

π



6

上的零点最多有2个；所以函数

ysint

在

6

故选：A.

11．将《三国演义》､《西游记》､《水浒传》､《红楼梦》4本名著全部随机分给甲､乙､丙三名同

学，每名同学至少分得1本，A表示事件：“《三国演义》分给同学甲”；B表示事件：“《西游记》

分给同学甲”；C表示事件：“《西游记》分给同学乙”，则下列结论正确的是（

）

A．

C．

P

A

P

B

P

AB

P

BA

5

12

B．

D．

P

A

P

C

P

AC

P

CA

5

12

【答案】D

1

5

1

P

AB

P

AC

18

，

36

，从而得到

3

，【分析】先得到

11

P

A

P

B



P

AB

P

A

P

C



P

AC

99

和，AB错误，利用条件概率公式得到C错

P

A

P

B

P

C

误，D正确.

【详解】将《三国演义》､《西游记》､《水浒传》､《红楼梦》4本名著全部随机分给甲､乙､丙三

22

名同学，共有

C

4

A

3

36

（个）基本事件，

《三国演义》连同另一本书分给同学甲，则三本书和三名同学进行全排列，有

同学甲只分一本《三国演义》，则将三本书分为2组，再分给乙和丙，故有

故事件A包含的基本事件数为

ACA12

，则

同理，

P

B

P

C

1

3

，

3

3

2

3

2

2

A

3

3

种情况，

22

C

3

A

2

种情况，

P

A

121

363

，

《三国演义》和《西游记》分给同学甲，则剩余两本书，分给乙丙，则事件

AB

包含的基本事件数

为

A2

2

2

，则

P

AB

21

3618

，

C

2

2

种情况，《三国演义》分给同学甲，《西游记》分给同学乙，若剩余两本书给丙，则有

若剩余两本书其中一本给丙，另一本给甲或乙，则有

2

2

11

22

1

C

1

2

C

2

种情况，

5

36

，故事件

AC

包含的基本事件数为

CCC5

，则

1

P

A

P

B



P

AB

9

A选项，因为，故A错误；

B选项，因为

P

AC

P

A

P

C

P

BA

1

P

AC

9

，故B错误；

1

6

P

AB

P

A

C选项，因为，故C错误.

D选项，因为

故选：D

P

CA

P

AC

P

A

5

12

，故D正确；

12．对于非空实数集

A

，记

现给出以下命题：

A{yxA,yx}

.设非空实数集合

MP

，若

m

1

时，则

mP

.

①对于任意给定符合题设条件的集合M､P，必有

P*M*

；

②对于任意给定符合题设条件的集合M､P，必有

M*P

；

③对于任意给定符合题设条件的集合M､P，必有

MP*

；

④对于任意给定符合题设条件的集合M､P，必存在常数

a

，使得对任意的

bM*

，恒有

abP*

，

其中正确的命题是（

）

A．①③

【答案】B

【分析】根据集合定义得

A*

为不小于集合

A

中最大值的所有数构成的集合.利用集合定义得到新集

合，利用集合关系判断①，利用特殊集合判断②③，利用特例法结合集合定义判断④.

【详解】由已知，

A*

为不小于集合

A

中最大值的所有数构成的集合.

①因为

MP

，设集合M和P中最大值分别为m和p，则

pm

，故有

P*M*

，正确；

MP

x0x1

M

xx

1

②设，则，故

M*P

，错误；

MP

x0x1

P

xx

1

③设，则，故

MP*

，错误；

***

**

abP

min

M

min

bP

min

aPM

bM*

minmin

④令，则对任意的，，故恒有

abP*

，正确.

B．①④C．②③D．②④

故选：B

二、填空题





xAByACzAS

13．已知S是

ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若

BD

＝，则x＋y＋z＝

_______．

【答案】0

【分析】以



AB,AC,AS





为基底表示向量



xAByACzAS

BD

，再根据

BD

＝求解.

【详解】如图所示：



BDADAB

，



1



ASACAB

2

，



1



1



ABASAC

22

，





xAByACzAS

又因为

BD

＝，



所以

x1,yz

1

2

，

所以

xyz0

，

故答案为：0

14．写出一个同时满足下列条件①②的等比数列

①

a

n

的通项公式

a

n

__________.

a

n

a

n

1

0

；②

n

a

n

a

n

1

2

【答案】（答案不唯一）

【分析】可构造等比数列，设公比为，由条件，可知公比为负数且

|q|1

，再取符合的值即可

得解.

【详解】可构造等比数列，设公比为，

由

qq

q

a

n

a

n

1

0

，可知公比为负数，

，所以

q

因为

a

n

a

n

1

q1

，

.

，

所以可取

2,

设

则

q

a

1

2

(

2)

n

.

a

n



2

2

n

1

2

故答案为：

n

x

2

y

2

1

15．经过椭圆

2

中心的直线与椭圆相交于M，N两点（点M在第一象限），过点M作x轴

的垂线，垂足为点E，设直线NE与椭圆的另一个交点为P，则∠NMP的大小为___________.

【答案】

2

/

90

【分析】设出相关点的坐标，利用点差法得出

可求解.

【详解】设

M

x

1

,y

1



x

1

0,y

1

0

,P

x

0

,y

0

k

MN

k

MP



1

2

，利用斜率公式得出相关直线的斜率即

，则

N

x

1

,y

1

,E

x

1

,0

，

k

MN

所以

y

yy

y

y

1

y

,k

PN

k

EN

10

1

,k

PM

10

x

1

x

1

x

0

2x

1

x

1

x

0

，

k

PN

k

PM

2

y

1

y

0

y

1

y

0

y

1

2

y

0

1



2



x

1

x

0

x

1

x

0

x

1

x

0

2

，

k

PN



所以

y

1

x

1

k

PM



1

2k

PM

2x

1

，所以

y

1

.

y

1

x

1

π



1

NMP

x

1

y

1

2

.，所以

MNMP

，所以

k

MN

k

PM

所以

π

故答案为：

2

16．已知长方体ABCD－A

1

B

1

C

1

D

1

的高为

2

，两个底面均为边长为1的正方形，过BD

1

作平面

分别交棱AA

1

，CC

1

于E，F，则四边形BFD

1

E面积的最小值为________．

【答案】

2

【分析】先确定四边形BFD

1

E为平行四边形，连接BD

1

，设△BFD

1

中BD

1

边上的高为h，于是

S

四边形

BFD

1

E

2S

△

BFD

1

BD

1

h2h

，因此只需求h的最小值即可．

【详解】如图所示，过点F作FH⊥BD

1

交BD

1

于H，设FH＝h．

由题意得

则

BD

1

1122

，长方体对面平行，所以截面BFD

E为平行四边形，

1

，

S

四边形

BFD1E

2S

△

BFD1

BD

1

h2h

当h取最小值时四边形BFD

1

E的面积最小，h的最小值为直线CC

1

与直线BD

1

间的距离．

易知

CC

1

∥

平面

BDD

1

B

1

，故

CC

1

到平面

BDD

1

B

1

的距离即为

h

的最小值，

AC2

S

22

，

四边形

BFD

1

E

h

min



min

2

2

2

2

.

故四边形BFD

1

E面积的最小值为

2

．

故答案为：

2

.

三、解答题

17．如图，在三棱柱

ABC-A

1

B

1

C

1

中，

CC

1

平面

ABC

，

AC

BC

，

ACBC2

，

CC

1

3

，点

D

、

E

分别在棱

AA

1

和棱

CC

1

上，且

AD1

，

CE2

，

M

为棱

A

1

B

1

的中点.

（1）求证：

C

1

MB

1

D

；

（2）求二面角

BB

1

ED

的正弦值.


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