2021年吉林省、内蒙古金太阳高考数学联考试卷(学生版+解析版)(理科

2024年3月27日发(作者：做数学试卷粗心)

2021年吉林省、内蒙古金太阳高考数学联考试卷（理科）（4月

份）

一.选择题；本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

个选项是符合蘸目要求的.

1．（5分）已知集合

A{x|x

2

2x80}

，

B{4

，

2

，0，2，

4}

，则

A

A．

{2

，

0}

B．

{4

，

2

，0，

2}

C．

{0

，

2}

B(

)

D．

{2

，0，2，

4}

2．（5分）已知复数

z13i

，则

z

2

(

)

A．

223i

B．

223i

C．

423i

D．

423i

3．（5分）设等差数列

{a

n

}

的前

n

项和为

S

n

，且

a

3

a

9

a

5

5

，则

S

13

(

)

A．35 B．65 C．95 D．130

4．（5分）函数

f(x)5cos(3x)

图象的对称中心是

(

)

6

A．

(k





C．

(





9

，

5)(kZ)

B．

(k





D．

(



9

，

0)(kZ)

k





，

5)(kZ)

39

k





，

0)(kZ)

39

5．（5分）青少年近视问题已经成为我国面临的重要社会问题．已知某校有小学生3600人，

有初中生2400人，为了解该校学生的近视情况，用分层抽样的方法从该校的所有学生中随

机抽取120名进行视力检查，则小学生应抽取的人数与初中生应抽取的人数的差是

(

)

A．24 B．48 C．72 D．96

6．（5分）已知某圆柱的轴截面是正方形，且该圆柱的侧面积是

4



，则该圆柱的体积是

(

)

A．

2



B．

4



C．

8



D．

12



7．（5分）在等比数列

{a

n

}

中，

a

2

，

a

8

是方程

x

2

10x90

的两个根，则

a

5

(

)

A．3

1

B．3或

3

1

C．

3

D．

3

8．（5分）2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功

发射嫦娥五号，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域

安全着陆，使得“绕、落、回”三步探月规划完美收官，这为我国未来月球与行星探测奠定

了坚实基础．若在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式

vv

0

ln

第1页（共18页）

M

计算

m

火箭的最大速度

v(m/s)

，其中

v

0

(m/s)

是喷流相对速度，

m(kg)

是火箭（除推进剂外）的

质量，

M(kg)

是推进剂与火箭质量的总和，

M

称为“总质比”．若

A

型火箭的喷流相对速

m

度为

1000m/s

，当总质比为500时，

A

型火箭的最大速度约为

(

)(lge0.434

，

lg20.301)

A．

4890m/s

B．

5790m/s

C．

6219m/s

D．

6825m/s

x

2

9．（5分）已知

F

1

，

F

2

是椭圆

C:y

2

1

的左、右焦点，点

D

在椭圆

C

上，

F

1

DF

2

120

，

4

点

O

为坐标原点，则

|OD|(

)

A．1 B．

5

2

C．

6

2

D．

3

2

10．（5分）已知函数

f(x)log

2

(x

2

mx16)

在

[2

，

2]

上单调递减，则

m

的取值范围是

(

)

A．

[4

，

)

B．

(6,6)

C．

(6

，

4]

D．

[4

，

6)

x

2

y

2

11．（5分）已知双曲线

C:

2



2

1(a0,b0)

的左、右焦点分别为

F

1

，

F

2

，过

F

1

作与其

ab

中一条渐近线平行的直线与

C

交于点

A

，若△

AF

1

F

2

为直角三角形，则双曲线

C

的离心率为

(

)

A．

5

B．

3

C．

2

D．2

a



1

2



x3x1,x0

12．（5分）已知函数

f(x)



3

，若关于

x

的方程

f(x)f(x)0

有4

x



2lnxx,x0



个不同的实数根，则实数

a

的取值范围为

(

)

A．

(1,0)

2

B．

(

，

0)

3

1

C．

(0,)

2

2

D．

(0,)

3

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.

13．（5分）已知向量

a(2,m)

，

b(1,3)

，若

(2ab)b

，则

m

．



xy1



14．（5分）设

x

，

y

满足约束条件



x2y20

，则

z2xy

的最大值是 ．



3xy11



15．（5分）桂林是世界著名的风景旅游城市和中国历史文化名城，号称“桂林山水甲天下”，

每年都会迎来无数游客．甲同学计划今年暑假去桂林游玩，准备在“印象刘三姐”“漓江游

船”“象山景区”“龙脊梯田”这4个景点中任选2个游玩．已知“印象刘三姐”的门票为

第2页（共18页）

195元

/

位，“象山景区”的门票为35元

/

位，其他2个景点的门票均为95元

/

位，则甲同

学所需支付的门票费的期望值为 元．

16．（5分）某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，已知该三棱锥的各顶点都在球O的球面

上，过该三棱锥最短的棱的中点作球O的截面，截面面积最小为 ．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，

每个试题考生都必须作答，第22.23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60

分

17．（12分）某公司为了解服务质量，随机调查了100位男性顾客和100位女性顾客，每位

顾客对该公司的服务质量进行打分．已知这200位顾客所打的分数均在

[25

，

100]

之间，根

据这些数据得到如下的频数分布表：

顾客所打分数

男性顾客人数

女性顾客人数

[25

，

40)

[40

，

55)

[55

，

70)

[70

，

85)

[85

，

100]

4

6

6

10

10

24

30

40

50

20

（1）估计这200位顾客所打分数的平均值（同一组数据用该组区间的中点值为代表）．

（2）若顾客所打分数不低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为满意；若顾客所打分

数低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为不满意．根据所给数据，完成下列

22

列

联表，并根据列联表，判断是否有

99%

的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关？

男性顾客

女性顾客

n(adbc)

2

附；

K

．

(ab)(cd)(ac)(bd)

2

满意

不满意

P(K

2

k)

0.050

第3页（共18页）

0.010 0.001

k

3.841 6.635 10.828

18．（12分）在

ABC

中，内角

A

，

B

，

C

所对的边分别为

a

，

b

，

c

，且

2bcosA2ca

．

（1）求角

B

；

（2）若

a4

，

b27

，求边

BC

上的中线

AD

的长．

19．（12分）如图，在四棱锥

PABCD

中，

PA

平面

ABCD

，底面

ABCD

是菱形，

ABC60

．点

E

，

F

分别在棱

BC

，

PD

上（不包含端点），且

PF:DFBE:CE

．

（1）证明：

EF//

平面

PAB

．

（2）若

PA2AB

，求二面角

BPCD

的余弦值．

20．（12分）已知抛物线

C:x

2

2py(p0)

的焦点为

F

，点

P

为抛物线

C

上一点，点

P

到

F

的距离比点

P

到

x

轴的距离大1．过点

P

作抛物线

C

的切线，设其斜率为

k

0

．

（1）求抛物线

C

的方程；

（2）直线

l:ykxb

与抛物线

C

相交于不同的两点

A

，

B

（异于点

P)

若直线

AP

与直线

BP

的斜率互为相反数，证明：

kk

0

0

．

ax

2

1

21．（12分）设函数

f(x)

，

aR

．

x

e

（1）若函数

f(x)

在

R

上是增函数，求实数

a

的取值范围．

（2）证明：当

a2

时，

f(x)

x

e0

．

e

x

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中在选一题作答.如果多做，则按所做的第一

题计分.[选修4-4；坐标系与参数方程



x2cos



(



为参数）22．（10分）在直角坐标系

xOy

中，曲线

C

的参数方程是



，以坐标原

ysin





点为极点，直线

l

的极坐标方程为



cos



2



sin



32

．

x

轴的正半轴为极轴建立极坐标系，

第4页（共18页）

（1）求直线

l

的直角坐标方程和曲线

C

的普通方程；

（2）若点

P

在曲线

C

上，求点

P

到直线

l

的距离的最大值．

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23．设函数

f(x)|xa||x3|

．

（1）当

a2

时，求不等式

f(x)7

的解集；

（2）若

f(x)1

，求

a

的取值范围．

第5页（共18页）

2021年吉林省、内蒙古金太阳高考数学联考试卷（理科）（4月

份）

参考答案与试题解析

一.选择题；本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

个选项是符合蘸目要求的.

1．（5分）已知集合

A{x|x

2

2x80}

，

B{4

，

2

，0，2，

4}

，则

A

A．

{2

，

0}

【解答】解：

A

B(

)

B．

{4

，

2

，0，

2}

C．

{0

，

2}

D．

{2

，0，2，

4}

A{x|2x4}

，

B{4

，

2

，0，2，

4}

，

B{0

，

2}

．

故选：

C

．

2．（5分）已知复数

z13i

，则

z

2

(

)

A．

223i

B．

223i

C．

423i

D．

423i

【解答】解：由题意可得，

z

2

(13i)

2

123i(3i)

2

223i

．

故选：

A

．

3．（5分）设等差数列

{a

n

}

的前

n

项和为

S

n

，且

a

3

a

9

a

5

5

，则

S

13

(

)

A．35 B．65 C．95 D．130

【解答】解：根据题意，等差数列

{a

n

}

中，

a

3

a

9

a

5

5

，

则

a

3

a

9

a

5

a

1

6d5

，即

a

7

5

，

则

S

13



(a

1

a

13

)13

13a

7

13565

，

2

故选：

B

．

4．（5分）函数

f(x)5cos(3x)

图象的对称中心是

(

)

6

A．

(k





C．

(





9

，

5)(kZ)

B．

(k





D．

(



9

，

0)(kZ)

k





，

5)(kZ)

39

k





，

0)(kZ)

39

【解答】解：函数

f(x)5cos(3x)

，

6

令

3x





6





2

k



，

kZ

，解得

x



9



k



，

kZ

，

3

第6页（共18页）

所以

f(x)

的对称中心为

(

故选：

D

．

k





，

0)(kZ)

．

39

5．（5分）青少年近视问题已经成为我国面临的重要社会问题．已知某校有小学生3600人，

有初中生2400人，为了解该校学生的近视情况，用分层抽样的方法从该校的所有学生中随

机抽取120名进行视力检查，则小学生应抽取的人数与初中生应抽取的人数的差是

(

)

A．24 B．48 C．72

1201

，



3600240050

D．96

【解答】解：由题意得：抽样比为：



小学生应抽取的人数为：

3600

1

72

，

50

初中生应抽取的人数为：

2400

1

48

，

50



小学生应抽取的人数与初中生应抽取的人数的差是：

724824

，

故选：

A

．

6．（5分）已知某圆柱的轴截面是正方形，且该圆柱的侧面积是

4



，则该圆柱的体积是

(

)

A．

2



B．

4



C．

8



D．

12



2



rh4



，【解答】解：设圆柱的高为

h

，底面圆的半径为

r

，则

h2r

，从而，

r1

，

h2

，

故该圆柱的体积为：



r

2

h2



．

故选：

A

．

7．（5分）在等比数列

{a

n

}

中，

a

2

，

a

8

是方程

x

2

10x90

的两个根，则

a

5

(

)

A．3

1

B．3或

3

1

C．

3

D．

3

【解答】解：根据题意，

a

2

，

a

8

是方程

x

2

10x90

的两个根，

则

a

2

a

8

9

，

则有

(a

5

)

2

9

，解可得

a

5

3

，

故选：

D

．

8．（5分）2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功

发射嫦娥五号，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域

安全着陆，使得“绕、落、回”三步探月规划完美收官，这为我国未来月球与行星探测奠定

第7页（共18页）

了坚实基础．若在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式

vv

0

ln

M

计算

m

火箭的最大速度

v(m/s)

，其中

v

0

(m/s)

是喷流相对速度，

m(kg)

是火箭（除推进剂外）的

质量，

M(kg)

是推进剂与火箭质量的总和，

M

称为“总质比”．若

A

型火箭的喷流相对速

m

度为

1000m/s

，当总质比为500时，

A

型火箭的最大速度约为

(

)(lge0.434

，

lg20.301)

A．

4890m/s

B．

5790m/s

C．

6219m/s

D．

6825m/s

【解答】解：根据题意，

vv

0

ln

故选：

C

．

Mlg5003lg2

1000ln500100010006219m/s

，

mlgelge

x

2

9．（5分）已知

F

1

，

F

2

是椭圆

C:y

2

1

的左、右焦点，点

D

在椭圆

C

上，

F

1

DF

2

120

，

4

点

O

为坐标原点，则

|OD|(

)

A．1 B．

5

2

C．

6

2

D．

3

2

【解答】解：

|DF

2

|m

，由椭圆的定义可得

|DF

1

|4m

，

由余弦定理可得

|F

1

F

2

|

2

|DF

1

|

2

|DF

2

|

2

2|DF

1

||DF

2

|cosF

1

DF

2

，

1

即

m

2

(4m)

2

2m(4m)()12

，即

m

2

4m40

，解得

m2

，

2

所以

|DF

1

||DF

2

|2

，即点

D

与椭圆

C

的上顶点重合，所以

|OD|1

．

故选：

A

．

10．（5分）已知函数

f(x)log

2

(x

2

mx16)

在

[2

，

2]

上单调递减，则

m

的取值范围是

(

)

A．

[4

，

)

B．

(6,6)

C．

(6

，

4]

D．

[4

，

6)

【解答】解：函数

f(x)log

2

(x

2

mx16)

在

[2

，

2]

上单调递减，



m

2





f(x)

在

[2

，

2]

上单调递减，且大于零，故有



2

，





42m160

求得

4m6

，

故选：

D

．

x

2

y

2

11．（5分）已知双曲线

C:

2



2

1(a0,b0)

的左、右焦点分别为

F

1

，

F

2

，过

F

1

作与其

ab

中一条渐近线平行的直线与

C

交于点

A

，若△

AF

1

F

2

为直角三角形，则双曲线

C

的离心率为

第8页（共18页）

(

)

A．

5

B．

3

C．

2

D．2

【解答】解：设

|AF

1

|m

，

|AF

2

|n

，由题意过

F

1

作与其中一条渐近线平行的直线与

C

交

于点

A

，若△

AF

1

F

2

为直角三角形，



mn2a



mb

c

2

b

2



1

2

5

， 可得





，解得

b2a

，则

e

2

aa



n

2

a

22





mn4c

故选：

A

．

a



1

2



x3x1,x0

12．（5分）已知函数

f(x)



3

，若关于

x

的方程

f(x)f(x)0

有4

x



2lnxx,x0



个不同的实数根，则实数

a

的取值范围为

(

)

A．

(1,0)

2

B．

(

，

0)

3

1

C．

(0,)

2

2

D．

(0,)

3

【解答】解：设

g(x)f(x)f(x)

，则

g(x)

的定义域为

{x|x0}

，且

g(x)g(x)

，即

g(x)

是偶函数，

故关于

x

的方程

g(x)0

有4个不同的实数根等价于

g(x)

在

(0,)

上有2个零点，

1a1

当

x0

时，

g(x)2lnxx

2

2x1

，则

g(x)0

等价于

a2xlnxx

3

2x

2

x

，

3x3

1

令

h(x)2xlnxx

3

2x

2

x

，则

h(x)2lnx4xx

2

3

，令

m(x)2lnx4xx

2

3

，则

3

m(x)

2

42x2440

，

x

m(x)

在区间

(0,)

上单调递增，又

m

（1）

0

，

h(x)

在区间

(0,1)

上单调递减，在区间

(1,)

上单调递增，

2

h(x)0

，

h(x)

， 即

h(x)

在

x1

处取得极小值

h

（1）当

x0

时，当

x

时，



，

3

h(x)

的大致图象如下，

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