2024年3月29日发(作者：北京中考初三二模数学试卷)

调和级数发散性的证明方法

姓名：范璐婵

摘 要：本文给出了调和级数发散性的18种证明方法。其中前13种散见于各种资料，笔者

进行了整理，有的采用与原证不同的叙述，比原证更具体明了；后5种是笔者用有关定理或

方法导出的。

关键词：调和级数 发散性 部分和 收敛

Proofs of the divergency of harmonic series

Name: Fan Luchan

Director: Wang Yingqian

Abstract

:

Eighteen methods to prove the divergency of harmonic series are presented in this

are known and some are new.

Key words:

harmonic series; divergency; partial sum; convergency

引言

1

调和级数

的发散性最早是由法国学者尼古拉奥雷姆（1323——1382）在

n1

n

极限概念被完全理解之前的400年证明的。他的方法很简单：

1111111

1

2345678

11111111

()()

22448888

注意后一个级数每一项对应的分数都不大于调和级数中相对应的项，而且后面

11

级数的括号中的数值和都为，这样的有无穷多个，所以后一个级数是趋向无

22

穷大的，进而调和级数也是发散的。

后来，大数学家约翰伯努利也作出了经典的证明。他的证明是以莱布尼茨的收

111

敛级数



2612

1

n(n1)

1

为基础的。以下是他的证明。

证明：

11111111

1

，



，



226231234

，

111



n(n1)nn1

11111

所以

s

n

1

22334

111

.

1

nn1n1

1

则

slims

n

lim(1)1

.

nn

n1

111

接着设

A

，

23n

则

A

1234



261220

1111



261220

n

n(n1)

1

n(n1)

；

C1

；

11

；

22

11

；

63

D

111



61220

111



122030

111



203042

1

n(n1)

1

n(n1)

1

n(n1)

C

ED

FE

11

；

124

G

111



304256

1

n(n1)

F

11

205

；

CDEFG

1234511

1

2612203023

.

即

AA1

.

没有一个有限数会大于等于自己，即

A

是无穷大，所以调和级数发散.

由上可知，伯努利是以一种“整体论”的态度来对待无穷级数的，他证明调和

级数发散的方法与现代方法形成了鲜明的对比。伯努利作出这一论证之后的150

年，才有真正的级数理论出现。他用简明的

AA1

来证明级数的无穷性，这是

证明量的无穷性的一个最独特的方法。

而今，随着级数理论的不断完善，我们可以应用更多更精彩的方法证明调和级

数的发散性。例如：利用欧拉常数，级数与广义积分敛散性的关系，级数及数列

敛散性的定义和性质，级数敛散性的各种判别法，均值不等式等。在级数敛散性

的讨论中，调和级数的应用很广泛。了解这些证明方法，对级数敛散性的学习和

研究是有益的，特别在其证明方面能起到举一反三，融会贯通的作用。

本文给出了调和级数发散性的18种证明方法。其中前13种散见于各种资料，

笔者进行了整理，有的采用与原证不同的叙述，比原证更具体明了；后5种是笔

者用有关定理或方法导出的。

1证法一：利用反证法.


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