数学竞赛第七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛第一试及答案_

2023年12月17日发(作者：淮南市九上数学试卷)

数学竞赛 第七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛

决赛第一试及答案

1．公园只售两种门票：个人票每张5元，l0元，l0人一张的团体票每张30元，购买10张以上团体票者可优惠l0％。l0％。

％。

(1)甲单位 (1)甲单位45人逛公园，按以上规定买票，最少应付多少钱?

人逛公园，按以上规定买票，最少应付多少钱?

(2)乙单位 (2)乙单位208人逛公园，按以上规定买票，最少应付多少钱?

人逛公园，按以上规定买票，最少应付多少钱?

2．用无色透明玻璃小正方体和红色玻璃小正方体拼成一个大正方体(如图)如图)，大正方体内的对角线，，，所穿过的小正方体都是红色玻璃小正方体，其它部分都是无色透明玻璃小正方体，小红正方体共用了40l个。问：无色透明小正方体用了多少个?

个。问：无色透明小正方体用了多少个?

3．a是自然数，且17a=，求a的最小值。

的最小值。

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4．对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加l。如此进行直到为l时操作停止。问：经过9次操作变为1的数有多少个?

的数有多少个?

5．已知m，n，k为自然数，m≥n≥k，是100的倍数，求m＋n－k的最小值。

的最小值。

6．1998个小朋友围成一圈，从某人开始，逆时针方向报数，从l报到64，再依次从64，再依次从l报到64，一64，一直报下去，直到每人报过l0次为止。问：

次为止。问：

(1)有没有报过 (1)有没有报过5，又报过l0的人?的人?有多少?有多少?说明理由；

说明理由；

(2)有没有报过 (2)有没有报过5，又报过ll的人?的人?有多少?有多少?说明理由；

说明理由；

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参考答案

1.【解】1.【解】(1)45【解】(1)45个人，应当买4张团体票(张团体票(每张10人)，5张个人票，共用：30×4＋5×5＝145张个人票，共用：30×4＋5×5＝145元(比5张团体票省)张团体票省)。

(2)208个人，可以买21张团体票(张团体票(每张10人)，共用：30×21×(1－10，共用：30×21×(1－10％10％)＝3×21×9＝567＝3×21×9＝567元，

元，

如果买20张团体票，8张团体票，8张个人票，共用：30×20×(1－10%)张个人票，共用：30×20×(1－10%)＋5×8＝10%)＋5×8＝580＋5×8＝580元

由于购买10张以上团体票的可以优惠10％，所以10％，所以208人买21张团体票反而省钱。本题答案应当是567元

2.【解】2.【解】、、、，四条对角线都穿过在正中央的那个小正方体，

，四条对角线都穿过在正中央的那个小正方体，

除此而外，每两条对角线没有穿过相同的小正方体，所以每条对角线穿过＋1＝101个小正方体

正方体

这就表明大正方体的每条边由101个小正方体组成因此大正方体由

个小正方体组成因此大正方体由

1013个小正方体组成，其中无色透明的小正方体有

个小正方体组成，其中无色透明的小正方体有

1013－401＝401＝1030301—1030301—40l＝40l＝1029900，1029900，

即用了1029900个无色透明的小正方体。

个无色透明的小正方体。

3.【解】由除法3.【解】由除法(【解】由除法(不断在右面添写1直到整除为止)直到整除为止)得

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a的最小值是65359477124183

4.【解】可以先尝试一下，得出下面的图：4.【解】可以先尝试一下，得出下面的图：

【解】可以先尝试一下，得出下面的图：

------小学资源网投稿邮箱: ************ ----- --4--  其中经1次操作变为1的1个，即2，经2次操作变为1的1个，即4，经3次操作变为1的2个，即3，8，„，经6次操作变为1的8个，即11，11，24，24，10，10，28，28，13，13，64，64，31，31，30。30。

于是，经1、2、„次操作变为1的数的个数依次为：1的数的个数依次为：1，1，2，3，5，8，„(1)

这一串数有个特点：自第三个开始，每一个等于前两个的和，即：

这一串数有个特点：自第三个开始，每一个等于前两个的和，即：

2＝1＋1，3＝2＋1，5＝3＋2，8＝5＋3，„

如果这个规律正确，那么8后面的数依次是：

后面的数依次是：

8＋5＝13，13，13＋13＋8＝21，21，21＋21＋13＝13＝34，„34，„

即经过9次操作变为1的数有34个。

个。

为什么上面的规律是正确的呢?

为什么上面的规律是正确的呢?

道理也很简单。设经过n次操作变为1的数的个数为，则＝1，＝1，＝2，„

从上面的图看出，比大。一方面，每个经过n次操作变为1的数，乘以2，就得出一个偶数，经过n＋1次操作变为1；反过来，每个经过n＋1次操作变为1的偶数，除以2，就得出一个经过n次操作变为1的数。所以经过n次操作变为1的数与经过n＋1次操作变为1的偶数恰好一样多。前者的个数是，因此后者也是个。

个。

另一方面，每个经过n次操作变为1的偶数，减去1，就得出一个奇数，它经过n＋1次操作变为1，反过来每个经过n＋1次操作变为1的奇数，加上1，就得出一个偶数，它经过n次操作变为1。所以经过n次操作变为1的偶数与经过n＋1次操作变为1的奇数恰好一样多。而由上面所说，前者的个数就是，因此后者也是。

经过，n经过，n＋1次操作变为1的数，分为偶数、奇数两类，所以＝＋(2)

即上面所说的规律的确成立。

即上面所说的规律的确成立。

满足规律(2)满足规律(2)，(2)，并且＝＝1的一串数(1)的一串数(1)称为斐波那契数。(1)称为斐波那契数。斐波那契(Fibonacci斐波那契(Fibonacci，(Fibonacci，约1175－1175－1250)是意大利数学家，以他名字命名的这种数列有很广泛的应用

是意大利数学家，以他名字命名的这种数列有很广泛的应用

5.【解】首先注意5.【解】首先注意100＝100＝22×52

------小学资源网投稿邮箱: ************ ----- --5--  如果，n如果，n＝k,那么k,那么2m是100的倍数，因而是5的倍数，这是不可能的，所以n－k≥1

－k≥1

2m十2n－2k＝2k(2m-k＋2n-k－1)被1)被22整除，所以k≥2

k≥2

设a＝m－k，b＝n－k，则a≥b．而且都是正整数

a≥b．而且都是正整数

ab22＋2－1被5整除，要求a＋b＋k＝m＋n－k的最小值，

的最小值，

不难看出:2不难看出:210＋21－1＝1025

被25整除，所以a＋b＋k的最小值≤1O＋1的最小值≤1O＋1十2＝13

而且在a＝10,b＝10,b＝1,k＝1,k＝2时，上式等号成立

时，上式等号成立

还需证明在a＋b≤10时，2时，2a＋2b－1不可能被52整除

整除

列表如下：

a≤3时，2时，2a＋2b－1＜8＋8＝16不被52整除。其它表中情况，不难逐一检验，均不满足2a＋2b－1被25整除的要求

整除的要求

因此a＋b＋k即m十n－k的最小值是13

6.【解】首先注意6.【解】首先注意:1998【解】首先注意:1998＝64×31＋:1998＝64×31＋14(1)

＝64×31＋14(1)

所以第一次报5的人，第二次报5＋14，14，第三次报5＋14×2，„，第K＋1次报5＋14K(K＝14K(K＝0，1，„，9)，当然在9)，当然在5＋14K超过64时，要减去64的倍数，直至差不大于64。因为64。因为5是奇数，14是奇数，14，14，64是偶数，所以5十14K－14K－64H一定是奇数，不可能为10，即没有报过10，即没有报过5，又报10的人

的人

每个第一次报5的人．第二、三、四、五、六次依次报

的人．第二、三、四、五、六次依次报

5＋14，14，5＋14×2，

＋14×2，

5＋14×3，5＋14×3，5＋14×4

＋14×4

5＋14×5—64＋14×5—64＝64＝11。11。

因为5×1998＝99905×1998＝9990＝156×64＋9990＝156×64＋6

＝156×64＋6

------小学资源网投稿邮箱: ************ ----- --6--  所以在前五轮报数中，有157(＝157(＝156＋156＋1)个人报1)个人报5，这些人在10轮报数中，又报过11，而后五轮报11，而后五轮报5的人，不可能再报11，在前五轮报11，在前五轮报1的人，以后报

的人，以后报

11＋11＋14，14，11＋14×2，11＋14×2，11＋14×2，11＋14×3，11＋14×3，11＋14×3，11十14×4－6414×4－64＝64＝3，3十14，14，3＋14×2，

＋14×2，

3＋14×3，3＋14×3，3＋14×4，3＋14×4，3＋14×5－64＋14×5－64＝64＝9不报5

因此，报过5，又报过11人，有157人

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