2024年4月4日发(作者：超难的高考数学试卷)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数学

本试卷共6页，22题，其中15,16题为选考题全卷满分150分，考试时间为120分钟.

一、选择题：本小题共１０小题，每小题５分，共５０分，在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．

1.

i

为虚数单位，

i

607

的共轭复数为

A

．

i

B

．

i

C

．

1 D

．

1

【解析】选

A

。因为

i

607

(i

2

)

303

ii

，共轭复数为

i

，所以应选

A

.

2.

我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米

1534

石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得

254

粒内夹谷

28

粒，则这批米内夹谷约为

A

．

134

石

B

．

169

石

C

．

338

石

D

．

1365

石

【解析】选

B

。设这批米内夹谷的个数为

x

，则由题意用样本估计总体知，

28x

,

即

2541534

x

28

1534169.

254

3.

已知

(1x)

n

的展开式中第

4

项与第

8

项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为

A

．

2

12

B

．

2

11

C

．

2

10

D

．

2

9

【解题指南】利用二项式系数的性质。二项式系数之和为

2

n

。奇数项的二项式系数和等

于偶数项的二项式系数和。

3

【解析】选

D

。

痧

n

7

n

，

n3710,

二项式系数之和为

2

10

。奇数项的二项式系数和等

于偶数项的二项式系数和，所以，奇数项的二项式系数和为

2

9

。

2

)

，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正

4.

设

XN(

1

,

1

2

)

，

YN(

2

,

2

确的是

A

．

P(Y

2

)P(Y

1

)

B

．

P(X

2

)P(X

1

)

C

．对任意正数

t

，

P(Xt)P(Yt)

D

．对任意正数

t

，

P(Xt)P(Yt)

【解析】选

C

。由图可知

1

2

，

0

1

2

。

选项

A

具体分析

应为

P(Y

2

)P(Y

1

)

。表示

x

1

,x

2

右

边，曲线与横轴围成的面积。

第1页

结论

错误

5.

设

B

C

D

应为

P(X

2

)P(X

1

)

。

对任意正数

t

，

P(Xt)P(Yt)

是对的。

对任意正数

t

，

P(Xt)P(Yt)

与

C

相反是错

的。

错误

正确

错误

a

1

,a

2

,,a

n

R

，

n3

.

若

p

：

a

1

,a

2

,,a

n

成等比数列；

222222

q

：

(a

1

2

a

2

a

n1

)(a

2

a

3

a

n

)(a

1

a

2

a

2

a

3

a

n1

a

n

)

，则

A

．

p

是

q

的充分条件，但不是

q

的必要条件

B

．

p

是

q

的必要条件，但不是

q

的充分条件

C

．

p

是

q

的充分必要条件

D

．

p

既不是

q

的充分条件，也不是

q

的必要条件

【解析】选

A

。证若

p

则

q

，若

p

：

a

1

,a

2

,,a

n

成等比数列，

22222

(a

1

2

a

2

a

n1

)(a

2

a

3

a

n

)

22222222

(a

1

2

a

2

a

n1

)(a

1

qa

2

qa

n1

q)

222222

(a

1

2

a

2

a

n1

)(a

1

a

2

a

n1

)q

2222

(a

1

2

a

2

a

n1

)q

2222

(a

1

2

qa

2

qa

n1

q)(a

1

a

2

a

2

a

3

a

n1

a

n

)

，则

q

成立。

p

是

q

的充分条件。若

q

则

p

，举反例，若

a

1

,a

2

,,a

n

均为零，

q

成立，

p

不成立。所以，

p

不是

q

的必要条件。

1,x0,

6.

已知符号函数

sgnx

0,x0,

f(x)

是

R

上的增函数，

g(x)f(x)f(ax)(a1)

，则

1,x0.

A

．

sgn[g(x)]sgnx

B

．

sgn[g(x)]sgnx

C

．

sgn[g(x)]sgn[f(x)]

D

．

sgn[g(x)]sgn[f(x)]

【解析】选

B

。

f

（

x

）的符号不确定，所以

sgn[f(x)]

的值也不确定。

g(x)

的符号可以讨论，

排除

C

，

D

；

当

x>0,a>1

时，

ax>x,f(x)-f(ax)<0,g(x)<0,sgn[g(x)]=-1,-sgnx=-1, sgnx=1

；所以，

sgn[g(x)]= -sgnx

。

当

x=0

，

ax=x,f(x)-f(ax)=0,g(x)=0

，

sgn[g(x)]=0,-sgnx=0, sgnx=0

；所以，

sgn[g(x)]= -sgnx

。

当

x<0,a>1

时，

ax0,g(x)>0,sgn[g(x)]=1,-sgnx=1, sgnx=-1;

所以，

sgn[g(x)]= -sgnx

。

排除

A

，选

B

。

综上，

x

属于

R

，都有

sgn[g(x)]= -sgnx

。

1

7.

在区间

[0,1]

上随机取两个数

x,y

，记

p

1

为事件“

xy

”的概率，

p

2

为事件

2

“

|xy|

11

”的概率，

p

3

为事件“

xy

”的概率，则

22

A

．

p

1

p

2

p

3

C

．

p

3

p

1

p

2

B

．

p

2

p

3

p

1

D

．

p

3

p

2

p

1

第2页

111

11



【解析】选

B

。由题意知，事件“

xy

”的概率为

p1

222

7

;

事件“

|xy|

”

22

1

118

111

s

0

1

2

3

xyp

的概率为

p1

，事件“”的概率，其中

222

;

3

2s

1

114

S

0

1

111

37

1

1

dx(1ln2)

，

S111

，由图知

;

0

<

;

所以，

p

2

p

3

p

1

,

故应选

22

48

2

2x

B

.

8.

将离心率为

e

1

的双曲线

C

1

的实半轴长

a

和虚半轴长

b(ab)

同时增加

m(m0)

个单位

长度，得到离心率为

e

2

的双曲线

C

2

，则

A

．对任意的

a,b

，

e

1

e

2

B

．当

ab

时，

e

1

e

2

；当

ab

时，

e

1

e

2

C

．对任意的

a,b

，

e

1

e

2

D

．当

ab

时，

e

1

e

2

；当

ab

时，

e

1

e

2

x

2

y

2

【解析】选

D

，不妨设双曲线

C

1

的焦点在

x

轴上，即其方程为：

2

2

1,

则双曲线

ab

x

2

y

2

a

2

b

2

b

2

1,

所以

e

1

C

2

的方程为：

1

2

,

(am)

2

(bm)

2

aa

(am)

2

(bm)

2

(bm)

2

e

2

1,

2

am(am)

当

ab

时，

bmb(bm)ab(am)(ab)m

0,

ama(am)a(am)a

所以

bmbbm

2

b

,

所以

()()

2

,

所以

e

2

e

1

;

amaama

第3页

bmb(bm)ab(am)(ab)m

0,

当

ab

时，

ama(am)a(am)a

所以

22

9.

已知集合

A{(x,y)xy1,x,yZ}

，

B{(x,y)|x|2,|y|2,x,yZ}

，定义集合

bmbbm

2

b

,

所以

()()

2

,

所以

e

2

e

1

;

故选

D

。

amaama

AB{(x

1

x

2

,y

1

y

2

)(x

1

,y

1

)A,(x

2

,y

2

)B}

，则

AB

中元素的个数为

A

．

77 B

．

49 C

．

45 D

．

30

22

【解析】选

C

，由题意知，

A{(x,y)xy1,x,yZ}{(1,0),(1,0),(0,1),(0,1)}

，

B{(x,y)|x|2,|y|2,x,yZ}

，所以由新定义集合

AB

可知，

x

1

1,y

1

0

或

x

1

0,y

1

1

.

当

x

1

1,y

1

0

时，

x

1

x

2

3,2,1,0,1,2,3

，

y

1

y

2

2,1,0,1,2

，所以

此时

AB

中元素的个数有：

7535

个；当

x

1

0,y

1

1

时，

x

1

x

2

2,1,0,1,2

，

y

1

y

2

3,2,1,0,1,2,3

，这种情形下和第一种情况下除

y

1

y

2

的值取

3

或

3

外均相同，

即此时有

5210

，由分类计数原理知，

AB

中元素的个数为

351045

个，

[x]

表示不超过

x

的最大整数

.

若存在实数

t

，

[t

2

]2

，

[t

n

]n

10.

设

xR

，使得

[t]1

，„，

同时成立，则正整数

n

的最大值是

A

．

3 B

．

4 C

．

5 D

．

6

【解析】选

B

。因为

[t]1

，所以

1t2

；因为

[t

2

]2

，因为

[t

3

]3

，

2t

2

3

，

2t3

；

所以

3t

3

4

，

3

3

t4

3

；因为

[t

4

]4,

所以

4

4

t5

4

，因为

[t

5

]5,

所以

5t

5

6

，

n

5t6

。所以当

t2

时，正整数的最大值是

4.

1

5

1

5

11

11

二、填空题：本大题共６小题，考生需作答５小题，每小题５分，共２５分．请将答案

填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清、模棱两可均不得分．

（一）必考题（

11—14

题）





11.

已知向量

OAAB

，

|OA|3

，则

OAOB

．

【解题指南】平面向量的数量积的应用；向量的减法的应用。





【解析】因为向量

OAAB

，所以

OAAB

0

，即

OA

(

OB

OA

)0,

所以



2



2

OAOB

OA

0,

即

OAOB

OA

9.

答案：

9

第4页

2

12.

函数

f(x)4cos

x

π

cos(x)2sinx|ln(x1)|

的零点个数为．

22

【解题指南】利用函数与方程的关系；将零点转化为两个函数图像的交点的问题。

π

2

x

【解析】函数

f(x)4coscos(x)2sinx|ln(x1)|

的零点个数等价于方程

22

4cos

2

x

π

cos(x)2sinx|ln(x1)|0

22

的根的个数，即函数

x

π

cos(x)2sinx

sin2x

与

h(x)|ln(x1)|

的图像交点个数

.

于是，分别画

22

出其函数图像如下图所示，由图可知，函数

g(x)

与

h(x)

的图像有

2

个交点

.

g(x)4cos

2

答案：

2

13.

如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到

A

处时测得公路北侧一山顶

D

在

西偏北

30

的方向上，行驶

600m

后到达

B

处，测得此山顶在西偏北

75

的方向上，仰角

为

30

，则此山的高度

CD

m.

y

D

B

C

N

M

A

C

O

x

T

B

A

第13题图

第14题图

【解析】在

ABC

中，

CAB30

,ACB75

30

45

,

根据正弦定理知，

BCAB

,

sinBACsinACB

即

BC

AB6001

sinBAC3002,

sinACB

2

2

2

所以

CDBCtanDBC3002

3

1006.

3

答案：

1006

.

第5页

14.

如图，圆

C

与

x

轴相切于点

T(1,0)

，与

y

轴正半轴交于两点

A,B

（

B

在

A

的上方），且

AB2

．

（Ⅰ）圆

C

的标准方程为；

（Ⅱ）过点

A

任作一条直线与圆

O:x

2

y

2

1

相交于

M,N

两点，下列三个结论：

NA

NB

MA

MB

NB

NA

MA

MB

2

；③

NB

NA

MA

MB

22

．

①；②

其中正确结论的序号是

.

（写出所有正确结论的序号）

【解析】（Ⅰ）设点

C

的坐标为

(x

0

,y

0

)

，则由圆

C

与

x

轴相切于点

T(1,0)

知，点

C

的横坐

2

标为

1

，即

x

0

1

，半径

ry

0

.

又因为

AB2

，所以

1

2

1

2

y

0

，即

y

0

2r

，所以圆

C

的标准方程为

(x1)

2

(y2)

2

2

。

（Ⅱ）设

MN

的斜率不存在，则

MN

的直线方程为

x=0

，

|NA|=1-

21

=

22

,|NB|=

|MA|=|MB|=

NA

NB

NB

NA

22

2

2

22

21,

2112,

MA

MB

NB

NA

1212,

NA

NB

22,

2

22

MA

MB

21,

所以①

MA

MB

NB

NA

,

成立，

21,

21212,

②式成立；

MA

MB

22,

③式成立。

设

MN

的斜率存在为

k

，

MN

的直线方程是

ykx21,

代入

x

2

y

2

1

得

x

2

k

2

x

2

2(21)kx3221

x

1

x

2



，

(1k

2

)x

2

2(21)kx2(12)0,

2(21)k2(12)

，，

B

（

0

，

xx;

设

M(x

1

，

y

1

)

，

M(x

2

，

y

2

).A

（

0

，

21

）

12

1k

2

1k

2

第6页

21

），

k

MB

k

NB

y

1

21y

2

21



x

1

x

2

x

2

(y

1

21)x

1

(y

2

21)

x

1

x

2

x

2

(kx

1

2121)x

1

(kx

2

2121)

x

1

x

2

x

2

(kx

1

2)x

1

(kx

2

2)

x

1

x

2

2(

2(21)k

)

1k

2

2k2k0,

2(12)

1k

2

NA

MA

NB

MB

,

NA

NB

MA

MB

,

(kx

1

x

2

2x

2

)(kx

1

x

2

2x

1

)2(x

1

x

2

)

2k

2k

x

1

x

2

x

1

x

2

y

轴是

MBN

的平分线，所以

MB

与

NB

关于

y

轴对称，所以

①是正确的；同理可证②，③也是正确的。

答案：（Ⅰ）

(x1)

2

(y2)

2

2

；（Ⅱ）①②③

（二）选考题（请考生在第

15

、

16

两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所

选的题目序号后的方框用

2B

铅笔涂黑．如果全选，则按第

15

题作答结果计分．）

15.

（选修

4-1

：几何证明选讲）如图，

PA

是圆的切线，

A

为切点，

PBC

是圆的割线，且

AB

.

BC3PB

，则

AC

P

B

C

A

第15题图

【解析】设

PB=1

，因为

BC=3PB

，所以

PC=4

，又因为

PA

是圆的切线，所以∠

PAB=

∠

BAC

，∠

P=

∠

P

，所以

ABPA1

.

PBA~PAC

，所以

PA

2

PBPC4,

PA2,

ACPC2

答案：

1

2

16.

（选修

4-4

：坐标系与参数方程）在直角坐标系

xOy

中，以

O

为极点，

x

轴的正半轴为

极轴建立极坐标系

.

已知直线

l

的极坐标方程为

(sin

3cos

)0

，曲线

C

的参数方程为

1

xt,

t

( t

为参数

)

，

l

与

C

相交于

AB

两点，则

|AB|

.

yt

1

t

【解析】由

(sin

3cos

)0

知，

sin

3cos

0,tan

3,

所以直线的方程是

y=3x

，

第7页

1

xt

t

由曲线

C

的参数方程为

yt

1

t

（1）

( t

为参数

)

，消去参数得，

y

2

x

2

4,

解方程组

（2）

y3x

232

232

,),

，得

A(,),

B(

22

22

22

yx4

AB(

22

2

3232

2

)()25.

2222

答案：

25

三、解答题：本大题共

6

小题，共

75

分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.

（本小题满分

11

分）

π

某同学用“五点法”画函数

f(x)Asin(

x

)(

0,|

|)

在某一个周期内的图象时，

2

列表并填入了部分数据，如下表：

x

x

0

0

π

2

π

3π

2

2π

π

3

5π

6

5

0

Asin(

x

)

5

（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数

f(x)

的解析

式；

（Ⅱ）将

yf(x)

图象上所有点向左平行移动

(

0)

个单位长度，得到

yg(x)

的图象

.

若

yg(x)

图象的一个对称中心为

(

5π

,0)

，求

的最小值

.

12

π

【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得

A5,

2,



.

数据补全如下表：

6

x

x

0

π

12

π

2

π

3π

2

2π

π

3

7π

12

5π

6

5

13

π

12

Asin(

x

)

0 5 0 0

π

且函数表达式为

f(x)5sin(2x)

.

6

ππ

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

f(x)5sin(2x)

，得

g(x)5sin(2x2

)

.

66

因为

ysinx

的对称中心为

(kπ,0)

，

kZ

.

令

2x2

π

k

ππ

kπ

，解得

x

，

kZ

.

6212

第8页


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