非奇异H-矩阵的判定准则

2023年12月30日发(作者：文山大同小升初数学试卷)

第２６卷第４期　２０１０年７月　齐齐哈尔大学学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｑｉｑｉｈａｒ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｖ０１．２６．Ｎｏ．４　Ｊｕｌｙ，２０１０　非奇异Ｈ一矩阵的判定准则　王永　（中国海洋大学数学科学学院，临沂师范学院费县分校，Ｉ１１东临沂２７３４００）　摘要：给出了非奇异Ｈ一矩阵的几个新的判定条件，改进了相关结果，并用数值例子说明了所得结果判定范围的广　泛性。　关键词：非奇Ｈ一矩阵；不可约；非零元索链　中图分类号：Ｏ１５１．２１　文献标识码：Ａ　文章编号：１００７—９８４Ｘ（２０１０）０４－００８８－－－０４　对于线性方程组　：　，当系数矩阵为非奇异Ｈ一矩阵时，许多经典的迭代运算均是收敛的，同时，对　目前提出的一些修正算法也是收敛的，因此判定一个矩阵在什么条件下是非奇异Ｈ一矩阵在理论上和应用　上都十分重要。非奇异Ｈ一矩阵的研究已广泛引起人们的注意，最近，许多文章都在寻求它的简单实用的判　别　。本文在文献【ｌ一８】的基础上，讨论了非奇异Ｈ一矩阵的判定条件，从而改进和推广了文献【卜７】的相应结　果。　１符号与引理　用ｃ～表示　阶复矩阵，用Ｒ表示实数集。设　＝（　）∈ｃ～，记　・　Ｅ１％ｌ，ＶｉＥ　Ｎ＝｛ｌ，２，…，　｝。若　Ｉ＞　（Ｖｆ∈Ⅳ），则称Ａ为严格对角占优矩阵；若存在正对角阵　，使得　为严格对角占优矩阵，则称　为非奇异Ｈ一矩阵。　文中记号：设，Ｎ。，Ｎ２　Ⅳ，Ⅳ。ｕⅣ２：Ⅳ，Ⅳ。ｎⅣ２＝　，　∈Ｒ，　∈［Ｖ２，１），Ⅳ．＝ｌ∈．ⅣＩｏ＜Ｉ　Ｉｓ　（　）），　＝Ｉ∈Ｎｌａ，，Ｉ＞　（　）｝；　，　，　Ｉ；　∈　ｌ；　（　）／１口』ＪＩ；　｛　∈Ⅳ２４－（１一　一　Ｊ　｝．　＝　』口　ｌ；　＝　一　；ｍ，仨ａｘ　（１一口）　（　）ａｌｆ—￣口∑　，　＜ｄ＜　ｍⅣｉ＼ｎ　引理１ＩｌＪ设　＝（　）∈ｃ～，若存在正对角阵　，使得　是非奇异Ｈ一矩阵，则　是非奇异Ｈ一矩阵。　２主要结果　定理１　设　＝（　）∈ｃ　”，若　满足以下条件：　１）（（１－ａ）　（　）＿。。，　Ⅳ．．，ｅ．　ｌａｉ，　（１－ａ）　一蚂）＞ａ２ｌｆ￣　［ａｔｆ　Ｖｆ∈Ｎｔ，Ｊ∈Ⅳ２＼　。　‘　，Ｅ　．　。’　２）存在ｄ，使　出∑ｆ口，Ｉ　＋暇　十口　：≤　（１一口）　（　），ｖｉ∈Ｎｌ　，ｅ，ｖ．，≠　（１）　收稿日期：２０１０－－０３—１２　作者简介：王永（１９８０一），男，ＩｉＪ东临沂人，讲师，硕士，现主要从事数值代数方而的研究，ｈｅｉｍａ—ｗ＠ｓｏｈｕ．ｃｏｒｎ。　

第４期　非奇异Ｈ一矩阵的判定准则　・８９・　ｄａ∑Ｉ（２）　ｔｅＮ，．ｔ，　口　Ｉ　＋　＾　＋　（１一口）Ｉ　ｌ，’　ｊ∈Ⅳ２＼Ⅳ　且式（１）和式（２）至少有一严格不等式成立，　．啦＋ｄａ∑ｌ（１ｉｔ］０＂ｔ　其中　。　３）对式（１）和式（２）等号成立的ｆ，存在非零元素链口　…口‘一。‘，使对于‘，式（Ｉ）和式（２）　有严格不等式成立，若　＼　≠≯，则　∈Ｎ　、　。　故　是非奇Ｈ一矩阵。　证明构造正对角阵　ｌ＝ｄｉａｇ｛ｘ　。＝ｄｏ＂　，ｉｅＮｔ；ｘ　＝ｌ，ｆ∈Ⅳ２｝。令４＝ＡＸＩ＝　’），则　当ＶｉⅣＩ时，　（　）～　＋　，Ｉｏ￣，１～　磊　Ｉ口　＋　≤Ｏ／ａ－０ｄａ，（　）：　Ｉ　当Ｖｉ∈　＼　时，　（　）＝　磊ｌ口｛『Ｏ＇ｊ＋ＪＥ　，　，　Ｉ＝　磊　＇ｊ＋ｆｆｉ≤（１／　Ｉ　当Ｖｉ∈　时，　（４）＝　∑ｊｃＮｔ　ｌ　ｌ＝　磊　Ｉ　＋　Ｏ／　）　（１／口一　Ｉ　构造正对角阵　２＝ｄｉａｇ｛ｘ　＝　，ｆ∈　；　＝ｌ，ｆＥⅣｌ　ｕ（Ⅳ２＼　））。令　２＝　２＝（口　），则　当Ｖｉ　ｅ　Ｎｌ时，由式（１）得　（　）：　磊　ｌ口５ｌ’Ｉ＋磊ｌ口　’　＋　’ｌ＝ａ　Ｚ　｝口ｒ　＋磊　＋　乏　ｌ口｛ｆＩ＝　ｄ　ｌ　ｌ　＋届。　＋屈　＜＿（１／ａ－１）ｄＡ，ＣＡ）＜ｄｌａ，　ｌ　＝ｌ　’Ｉ－Ｉｏ￣’Ｉ　当Ｖｉ∈Ⅳ２＼　时，由式（２）得　（　）＝磊　Ｉ＋磊　＋　磊州ｌ口５１）Ｉ＝　磊Ｉ口｛『Ｉ　＋磊　＋　意　Ｉ口｛，ｌ　＋　＋　（１／口一１）ｌａ，，Ｉ－－Ｉ，，．Ｉ＝１４＇’Ｉ－ｌａ￣’ｌ　当Ｖｉ∈　时，有　４（Ａ：）＝∑ｊｅＮ，Ｉ　）ｌ＋　聂　Ｉ　’　＋　乏　Ｉ口５ｌ　Ｉ＝ｄ磊。Ｉ　＋　＋　乏　Ｉ　Ｉ＝　ｄ∑ｌ口　ｌ　＋　．　＋　，　（１／口一１　ｌ　－－Ｉ，，　ｌ　＝ｌ口　’ｌ　＝Ｉ口　Ｉ　．　以上各式至少有一严格不等式成立，由条件３）及文献【ｌ】知，Ａ２＝ＡＸＩＸ２是非奇Ｈ－矩阵，由引理ｌ　知　是非奇Ｈ一矩阵。　定理２　设　＝（　）ｅＣ～，若　满足以下条件：　１）【（１一　人　（　－ａ　Ｚ　，Ｅ　≠，　，ｌ口ｆＩ　】【（１一口）１　。　．，。　ｌ　—ａｐｊ］　口　，　’Ｉ　，Ｖ　∈Ⅳｌ，－『∈Ⅳｚ、２）存在ｄ，使得　ｄａ∑　０＂ｔ＋瞩　＋崛＜ｄ（１－口）　（　），Ｖｆ∈Ｎｔ　（３）　ｔｅＮＩ，≠Ｉ　ｄａ∑　＋　‘　＋　：≤（１＿口　Ｉ，ＶｉｅＮ￣＼　（４）　ｔｅＮ‘　蚂＋ｄａ　Ｉ　且式（３）和式（４）至少有一严格不等式成立，其中　＝ｍ　ａｘ　　赢。　３）对式（３）和式（４）等号成立的　，存在非零元素链　口从…　，使对于ＪＩ，式（３）和式（４）　

・９Ｏ・　齐齐哈尔大学学报　２０１０年　证明构造正对角阵　ｌ＝ｄｉａｇ｛ｘｆ　＝崛，ｉｅＮｌ；　＝ｌ，ｉｅＮ２｝。令　＝ＡＸＩ＝（口５ｌ’），则　Ａｊ（Ａ１）＝　∑ｌａｉｒ　０＂ｔ＋　－＜１口　Ｖｉ∈ＮＩ　４（Ａ　）＝　∑ＩＯｉｔＩ　＋　≤Ｉ　Ｄｌ，ＶｉｅＮ２＼Ⅳ；　（　，）＝　∑　ｆＩ　＋　＞－－Ｏ／ａ－１）Ｊ口　，Ｖｆ∈Ⅳ；　（　ｚ）＝　ｌ口　’Ｉ＋　ｌ口　ｌ　＋　１日５１）ｌ＝ｄ　ＺＭ　１　ｏ＇ｊ＋Ｉ　＋　丢　Ｉ　ｌ＝　，ＥＮ＋　＋　≤　＝ｌ口纠：Ｉ口　）Ｉ　，，　．　．．≠　’　。　Ａ（Ａ　）　∑ｅＮＩ　ｊ）Ｉ＋磊　）　Ｉ＋　磊≯，　）Ｉ＝ｄ￣１ｏ　Ｉ　＋　＋　磊州　ｌ；　『∑．　＋　＋　ａｉｉ［：Ｊｄ　＝ｌ口　）Ｉ　（　ｚ）　磊ｌ口　）Ｉ＋　ｆ口　）ｌ　＋　ｌ口　）Ｉ＝　磊　Ｉ　ｌ盯，＋，　，１　＋　Ｍ　ｌ＝　Ｉ　１　＋　＋ｆｌ，　≤ｌ口ＩｆＩ　＝Ｉ口　＝ｌ口　’ｌ　（５）　［（　一口）　（　－ａ　Ｚ　“ｌｅｔ，］［０一日）　一　『】＞口　Ⅳ一，　∈Ⅳｚ＼　，　ｆ，７　５　２　３、　９＝　２．５　ｆ　Ｉ　２　１　２　１０』　计算得Ⅳｌ＝６．２），Ｎ２＝｛３，４），经验证知无法用文献【１—７】判别。但取　＝ｌ／２，作正对角阵　ｄｉａｇ｛２．２８，１．８４８，１．４２４，１｝，则　＝　是非奇异Ｈ一矩阵，从而南引理１知Ａ是非奇异Ｈ一矩阵。　－－３结束语　讨论了非奇异Ｈ一矩阵的判定问题，得到了几个新的判定条件，从而改进和推广了目前已有的一些结　果。数值例子说明本文所得结果优于文献【１—７】的结果，故所得结论是判定非奇异Ｈ一矩阵的新的实用条件。　参考文献　ｆｌ１ＧａｎＴａｉ—ｂｉｎ，ＨｕａｎｇＴｉｎｇ－ｚｈｕ．Ｓｉｍｐｌｅ　ＣｒｉｔｅｒｉａｆｏｒＮｏｎｓｉｎｇｕｌａｒＨ—Ｍａｔｒｉｃｅｓ［Ｊ］．ＬｉｎｅａｒＡｌｇｅｂｒａＡｐｐ１．，２００３（３７４）：３１７—３２６．　【２】庹清，谢清明，刘建州．非奇异Ｈ一矩阵的实用新判定ｆＪ１．应用数学学报，２００８，３ｌ（１）：１４３—１５１．　【３李继成，黄廷祝．雷光耀．Ｈ一矩阵的实用判定ｆ３】Ｊ１＿应用数学学报，２００３，２６（３）：４１３－４１９．　【４】黄廷祝，杨传胜．特殊矩阵分析及应用ｆＭ１．北京：科学出版礼，２００７：７８—８９．　

第４期　非奇异Ｈ一矩阵的判定准则　・９１・　【５１郭希娟，高益明．广义对角ＩＩｉ优矩阵和Ｍ一矩阵的判定ｆＪ１．数学研究与评论，１９９９。１９（４）：７３３—７３７．　ｆ６谢清明．Ｈ一矩阵的实用判定注ｉ６】Ｅ［Ｊ］．应用数学学报，２００６，２９（６）：１　０８０一】０８４．　ｆ７１ＧａｏＹｉ—ｍｉｎｇ，ＷａｎｇＸｉａｏ—ｈｕｉ．ＣｒｉｔｅｒｉａｆｏｒＧｅｎｅｒＭｉｚｅｄＤｉａｇｏｎａｌｌｙＤｏｍｉｎａｎｔＭａｔｒｉｃｅｓ　ａｎｄＭ－ｍａｔｉｒｃｅｓ［Ｊ］．ＬｉｎｅａｒＡｌｇｅｂｒａＡｐｐ１．，１９９２　（１６９）：２５７—２６８．　ｆ８】ＮｅｕｍａｎｎＭ．ＡＮｏｔｅＧｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｓ　ｏｆＳｔｉｒｃｔＤｉａｇｏｎＭＤｏｍｉｎａｎｃｅｆｏｒＲｅａｌＭａｔｉｒｃｅｓ［Ｊ］．ＬｉｎｅａｒＡｌｇｅｂｒａＡｐｐ１．，１９７９．２６：３－１４．　Ｃｒｉｔｅｒｉａ　ｆｏｒ　ｎｏｎｓｉｎｇｕｌａｒ　Ｈ－ｍａｔｒｉｃｅｓ　ＷＡＮＧ　Ｙｏｎｇ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｏｃｅａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｃｈｉｎａ，　Ｆｅｉｘｉａｎ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｌｉｎｙｉ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｄｏｎｇ　Ｌｉｎｙｉ　２７３４００，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ．ｓｏｍｅ　ｎｅｗ　ｓｕｆｉｆｃｉｅｎｔ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｎｏｎｓｉｎｇｕｌａｒ　Ｈ—ｍａｔｒｉｃｅｓ　ａｒｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　ａｎｄ　ｓｏｍｅ　ｒｅｌａｔｅｄ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ａｒｅ　ｉｍｐｒｏｖｅｄ．Ａｄｖａｎｔａｇｅｓ　ａｒｅ　ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄ　ｂｙ　ａ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｅｘａｍｐｌｅ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｎｏｎｓｉｎｇｕｌａｒ　Ｈ－ｍａｔｒｉｘ；ｉｒｒｅｄｕｃｉｂｉｌｉｔｙ；ｃｈａｉｎ　ｏｆ　ｎｏｎｚｅｒｏ　ｅｌｅｍｅｎｔｓ　ＧＣｒ１　５ＳｉＭｏ材质卧车法兰盘顶尖锻造的方法　目前使用最广泛的轴承钢有ＧＣｒＩ５，ＧＣｒｌ５ＳｉＭｎ，ＧＣｒＩ５ＳｉＭｏ等。钢中的铬元索能显著地提高钢的淬透性，热处理后硬　度可达ＨＲｃ６１—６５。由于具有这些特性，它的用途十分广泛，在卧式机床产品中的顶尖即是一例。顶尖在使用时受到交变载　荷的作用．对工件起到顶紧和支撑作用，需要较高的耐磨性和硬度，而且应具有很好的抗疲劳性，以防在使用过程中断裂。　在机床规格趋于大吨位承受力的需求下，顶尖的使用中可靠性尤为重要，这其中材质的选用是关键。我厂现今选用的主要是　ＧＣｒｌ５ＳｉＭｏ，闵ＧＣｒｌ５ＳｉＭｏ属于高碳铬轴承钢具有较高的抗疲劳强度，良好的耐磨性和一定的韧性。　对于这种相对的新材料，在热压力锻造加工过程中，由于对组织均匀性、碳化物的分布状况等都有较高的要求，因此从　锻造原材料的加热开始每到工序就必须严格把关。　高碳铬轴承钢的热导率相对比碳素钢和结构钢都要小．所以在确定锻造　温度时的范同就更窄一些，另外由于材料的热扩散率在８００～９００％以前，随温度增高而下降，在材料的加热初期（５００—６ＯＯ　ｏＣ）必须具有预热阶段，在低温区域保温２０　３０　ｍｉｎ。经过反复研究分析确定锻造温度为８００—１　０８０￣Ｃ之间，加热速度应缓　慢均匀，其中需要注意的几点：　（Ｉ）材料的装炉方式：同一炉中尽量装相同规格且一炉中数量不超过８—１２件，采用单排形式摆放，材料钢坯相邻间　隔为其直径的１／２，这样有利于均匀加热、减小温差和提高塑性变形的能力。　（２）在加热过程中，主要依靠温控仪表和目测相结合的方式控制加热温度，既不能过热过烧，也不能一味地尽速升温，　在加热过程中需要勤翻动坯料，避免局部过热而引起热裂纹。钢坯距离火焰喷１７１需有一定的距离，以达到缩小温差的目的。　（３）升温阶段，也是力ｌｌ热过程中最重要的阶段。升温阶段占整个加热时问的８０％以上，普通碳素钢一般就是一段式尽　速加热方式，而轴承钢采用的是“三段式”或“四段式”加热方式，这也是针对ＧＣｒｌ５ＳｉＭｏ材质而制定的，即由开始的保温　阶段，一点点地缓慢升温，然后保温，冉升温再保温，这样钢坯内外温度均匀，塑性变形抗力减小，延伸率增强，可以提高　锻透性和成型性。另外在整个加热过程中应注意减少消除燃料中的水分，尽量降低炉内气氛的过氧化性，减少对金属表面的　氧化脱碳作用，特别是顶尖在长期交变应力作用下更容易发生疲劳断裂，所以更应引起重视。　（４）在锻造过程中操作技法应注意几点：１）严格控制捶击力量。应遵循“轻一重一轻”原则。在锻造的前后阶段温度较　高和终锻前较低温度时轻击，减少裂纹产生，而中问阶段重击可以尽快成型，有利变形速度和提高工作效率。２）在同一部　位不许长期反复捶击，以免引起硬化和裂纹，同时需要勤转动方向，使受力和变形均匀进行。３）在采用胎模成型时，需要　对坯料进行压肩处理，而且压下量长度应大于直径的１／３，太短则顶尖尖部一端容易出现凹陷，太长则出现局部折叠缺陷。　必要时可以采用“铆镦法”，可以缓解端面不凹陷的形成。４）在成型过程中采用半圆赶铁等工具可ｌ：２；Ｄｉｌ快成型速度，同时也　可增强内部组织的致密度。　（５）在锻后的冷却阶段也应注意控制速度，可以采用喷雾冷却方式，有利于内部组织的细化。　通过以上的各个环节及过程的控制，严格执行工艺要求，锻件的质量才能得到保证。　（温浩．齐重数控装备股份有限公司，黑龙江齐齐哈尔１６１００２）