高中数学第十五章复数

高中数学第十五章 复数

考试内容：

复数的概念．

复数的加法和减法．

复数的乘法和除法．

数系的扩充．

考试要求：

（1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．

（2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、

除法运算．

（3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想．

§15. 复 数 知识要点

1. ⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即

i

2



⑵复数及其相关概念：

① 复数—形如a + bi的数（其中

a，bR

）；

② 实数—当b = 0时的复数a + bi，即a；

③ 虚数—当

b0

时的复数a + bi；

④ 纯虚数—当a = 0且

b0

时的复数a + bi，即bi.

⑤ 复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）

⑥ 复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.

⑶两个复数相等的定义：

abicdiac且bd（其中，a，b，c，d，R）特别地abi0ab0

1

.

.

⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.

注：①若

z

1

,z

2

为复数，则

1



若

z

1

z

2



0

，则

z

1

z

2

.（×）[

z

1

,z

2

为复数，而不是实数]

2



若

z

1

z

2

，则

z

1

z

2



0

.（√）

a,b,cC

②若

(ab)

，则

(ab)

2

(bc)

2

(ca)

2

0

是

abc

的必要不充分条件.（当

2

i

2

，

2

(bc)

2

1,(ca)0

时，上式成立）

2. ⑴复平面内的两点间距离公式：

dz

1

z

2

.

其中

z

1

，z

2

是复平面内的两点

z

1

和z

2

所对应的复数，

d表示z

1

和z

2

间的距离.

由上可得：复平面内以

z

0

为圆心，

r

为半径的圆的复数方程：

zz

0

r

（

r

0）

.

⑵曲线方程的复数形式：

①

zz

0

r表示以z

0

为圆心，r为半径的圆的方程.

②

zz

1

zz

2

表示线段

z

1

z

2

的垂直平分线的方程.

③

zz

1

zz

2

2a（a0且2az

1

z

2

）表示以Z

1

，Z

2

为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程

（若

2a

④

z

1

z

2

，此方程表示线段

Z

1

，Z

2

）.

2

zz

1

zz

2

2a（02az

1

z

2

），

表示以

Z

1

，Z

为焦点，实半轴长为a的双曲线方程

（若

2az

1

z

2

，此方程表示两条射线）.

⑶绝对值不等式：

设

z

1

，z

2

是不等于零的复数，则

①

z

1

z

2

z

1

z

2

z

1

z

2

.

左边取等号的条件是

z

2





z

1

（



R

，且





0）

，右边取等号的条件是

z

2





z

1

（



R，



0）

.

②

z

1

z

2

z

1

z

2

z

1

z

2

.

左边取等号的条件是

z

2





z

1

（



R

，





0）

，右边取等号的条件是

z

2





z

1

（



R，



0）

.

注：

A

1

A

2

A

2

A

3

A

3

A

4





A

n1

A

n

A

1

A

n

.

3. 共轭复数的性质：

zz

z

1

z

2

z

1

z

2

（

z

a + bi）

zz|z|

2

|z|

2

zz2a

，

zz2bi

z

1

z

2

z

1

z

2



z



z



1





1



z



z

2



2



z

1

z

2

z

1

z

2

（

z

2

0

）

z

n

(z)

n

注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]

4 ⑴①复数的乘方：

z

②对任何

z

，

z

1

,z

2

③

zzz

mnmn

n





z



z



z



...z(nN



n



)

C

及

m,nN



有

mn

,(z)z

mn

,(z

1

z

2

)z

1

z

2

nnn

注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如

i

2

1,i

4

1

若由

1

24

1

i(i)

2

1

2

1

就会得到

11

的错误结论.

②在实数集成立的

|x|x

2

. 当

x

为虚数时，

|x|x

2

，所以复数集内解方程不能采用两边平

方法.

⑵常用的结论：

i1,i

24n1

i,i

4n2

1,i

4n3

i,i

4n

1

ii

nn1

i

n2

i

n3

0,(nZ)

i

(1i)2i,

2

1i

1i

i,

1i

1i

若

3



2

是1

1

的

2

立

n

方

n1

虚

n2

数根，即





1

2



3

2

i

，

,1







0,











0(nZ)

则



.

5. ⑴复数

z

是实数及纯虚数的充要条件：



1,







,





①

zRzz

.

②若

z0

，

z

是纯虚数

zz0

.

⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同

一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零.

注：

|z||z|

.

6. ⑴复数的三角形式：

zr(cos



isin



)

.

辐角主值：



适合于0≤



＜

2



的值，记作

arg

注：①

z

为零时，

argz

可取

[0,2



)

内任意值.

②辐角是多值的，都相差2



的整数倍.

③设

aR



,

则

arga0,arg(a)



,argai

z

.



2

,arg(ai)

3

2



.

⑵复数的代数形式与三角形式的互化：

abir(cos



isin



)

，

ra

2

b

2

，

cos





a

r

,sin





b

r

.

⑶几类三角式的标准形式：

r(cos



isin



)r[cos(



)isin(



)]

r(cos



isin



)r[cos(







)isin(







)]

r(cos



isin



)r[cos(







)isin(







)]

r(sin



icos



)r[cos(



2





)isin(



2





)]

7. 复数集中解一元二次方程：

在复数集内解关于

x

的一元二次方程

ax

2

bxc0(a0)

时，应注意下述问题：

①当

a,b,cR

时，若



＞0，则有二不等实数根

x

1,2

x

1,2



b

2a



b

2a

||i



；若



=0，则有二相等实数根

；若



＜0，则有二相等复数根

x

1,2



b

2a

（

x

1,2

为共轭复数）.

②当

a,b,c

不全为实数时，不能用



方程根的情况.

③不论

a,b,c

为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.

8. 复数的三角形式运算：

r

1

(cos



1

isin



2

)r

2

(cos



2

isin



2

)r

1

r

2

[cos(



1





2

)isin(



1





2

)]

r

1

(cos



1

isin



2

)

r

2

(cos



2

isin



2

)



r

1

r

2

[cos(



1





2

)isin(



1





2

)]

nn

棣莫弗定理：

[r(cos



isin



)]

r(cosn



isinn



)