2024年3月10日发(作者：安徽市期末统考卷数学试卷)
第1章：复数与复变函数
§1 复数
1．复数域
形如
zxiy
的数，称为复数，其中
x,y
为实数。实数
x
和实数
y
分别称为
复数
zxiy
的实部与虚部。记为
xRez
，
yImz
虚部为零的复数可看成实数，虚部不为零的复数称为虚数，实部为零虚部不为零
的复数称为纯虚数。复数
zxiy
和
zxiy
称为互为共轭复数，
z
的共轭复
数记为
z
。
设
加（减）法：
乘法：
，复数的四则运算定义为
除法：
相等： 当且仅当
复数的四则运算满足以下运算律
①加法交换律
z
1
z
2
z
2
z
1
②加法结合律
z
1
(z
2
z
3
)(z
1
z
2
)z
3
③乘法交换律
z
1
z
2
z
2
z
1
④乘法结合律
z
1
(z
2
z
3
)(z
1
z
2
)z
3
⑤乘法对加法的分配律
z
1
(z
2
z
3
)z
1
z
2
z
1
z
3
全体复数在引入相等关系和运算法则以后，称为复数域. 在复数域中，复数没有
大小. 正如所有实数构成的集合用
R
表示，所有复数构成的集合用
C
表示。
例 设
z
1
25i,z
2
3i
，求
z
1
．
z
2
分析：直接利用运算法则也可以，但那样比较繁琐，可以利用共轭复数的运算结
果。
解 为求
z
1
，在分子分母同乘
z
2
，再利用
i
2
1
，得
z
2
z
1
z
1
z
2
(25i)(3i)117i
117
i
2
z
2
z
2
z
2
101010
z
2．复平面
一个复数
zxiy
本质上由一对有序实数唯一确定。于是能够确定平面上全
部的点和全体复数间一一对应的关系。如果把x和y当作平面上的点的坐标，复
数z就跟平面上的点一一对应起来，这个平面叫做复数平面或z平面，x轴称为
实轴，y轴称为虚轴.
在复平面上，从原点到点所引的矢量与复数z也构成一一对应
关系，且复数的相加、减与矢量相加、减的法则是一致的，即满足平行四边形法
则，例如：
这样，构成了复数、点、矢量之间的一一对应关系.
3． 复数的模与辐角
向量的长度称为复数的模或绝对值，即：
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