复数在高考数学中的应用

2024年3月10日发(作者：南皮县期中数学试卷)

复数在高考数学中的应用

复数是高考数学中比较重要的一个内容，其在高中数学中也有

一定的应用，主要是在解二次方程时使用。在复数的定义中，我

们可以将其视为实部和虚部相加，其中实部和虚部都是实数。因

此，可以将复数看作是一对有序实数，即(a, b)，其中a和b分别

表示该复数的实部和虚部。在本篇论文中，我们将探讨复数在高

考数学中的应用，包括复数的基本运算、解高次方程、几何意义

以及复数与三角函数的关系等方面。

一、复数的基本运算

复数的基本运算包括加、减、乘、除四种。其中，加法和减法

较为简单，只需要分别将两个复数的实部和虚部相加、相减即可。

而乘法和除法的运算稍微麻烦一些，需要用到复数的共轭以及极

座标形式等相关知识。

乘法运算时，我们可以将两个复数a+bi和c+di相乘，得到一

个新的复数(ac-bd)+(ad+bc)i。这个运算结果也可以使用复数的极

座标形式表示，即z1×z2=|(r1×r2)|[cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)]。

除法运算时，我们需要用到复数的共轭，即将一个复数的虚部

变号，然后将其代入分子中。设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，则

z1/z2=[(a1a2+b1b2)+(b1a2-a1b2)i]/(a2²+b2²)。通过这个公式，我们

可以将一个复数除以另一个复数，并得到一个新的复数。

二、解高次方程

在高考数学中，经常会出现一些高次方程的解题题型，并且其

中有一部分题目需要用到复数，如求方程x⁴+1=0的解，x⁴-

2x²+2=0的解等。这些题目一般都需要通过复数的知识来解决。

对于一个二次方程ax²+bx+c=0而言，我们可以通过求根公式得

到其解析式。而对于高次方程，求解方式则需要更多的技巧。其

中，一种常见的方法是通过将高次方程转化为齐次方程，并使用

复数解决。具体的做法是，将高次方程中的项进行代换，例如

y=x²，则原方程可以转化为y²+1=0的形式，然后使用复数知识解

决该方程即可。

三、几何意义

复数的几何意义可以通过平面直角坐标系和极座标系来表示。

在平面直角坐标系中，我们可以将复数看作一个点，其横坐标为

实部，纵坐标为虚部。这个点就是复数在平面直角坐标系中的表

示。

在极座标系中，我们可以将复数看作是一个长度为r的向量，

其方向与实轴正向的夹角为θ。这样的向量称为极径，而它所夹的

角θ称为极角。复数在极坐标系中的表示形式为z=r(cosθ+isinθ)，

其中r为长度，θ为距离实数轴正向的夹角。

四、复数与三角函数的关系

在高考数学中，我们还可以看到复数与三角函数之间的关系。

复数与三角函数的关系可以通过欧拉公式来表示，即

e^ix=cosx+isinx。这个公式说明了复数与三角函数之间的联系，因

为在这个公式中，x是一个实数，而e^ix是一个虚数，同时也是

复数。

通过欧拉公式，我们可以将三角函数和复数相互转化，从而更

好地理解它们的关系。例如，可以将cosx和sinx表示为复数的实

部和虚部，即cosx=(e^ix+e^-ix)/2，sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)等。这样

就可以通过复数的知识来解决三角函数的问题。

总之，在高考数学中，复数的应用非常广泛，无论是解方程、

画图还是进行三角函数的计算，都需要用到复数知识。因此，我

们需要加强对复数的学习，熟练掌握复数的基本运算、几何意义

以及与三角函数的关系等方面，从而在高考数学中取得好成绩。