人教版高一数学下册二次函数知识点讲解

2024年4月2日发(作者：福建漳州中考数学试卷)

人教版高一数学下册二次函数知识点讲解

二次函数（quadratic function）的基本表示形式为

y=ax2+bx+c（a≠0）。二次函数最高次必须为二次，

二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的

抛物线。那么同学们赶快一起来看看二次函数知识点！定义与

定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a0，且a决定函数的开口方

向，a0时，开口方向向上，a0时，开口方向向下，IaI还可

以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.)

则称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三

项式。二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c

为常数，a0)顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h，k)]

交点式：y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A(x?，0)和

B(x?，0)的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关

系：h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?，x?=(-bb^2-4ac)/2a二次函

数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可

以看出，二次函数的图像是一条抛物线。IV.抛物线的性质1.

抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。对称轴与抛物

线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线

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的对称轴是y轴(即直线x=0)2.抛物线有一个顶点P，坐标为

P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上;当=b^2-

4ac=0时，P在x轴上。3.二次项系数a决定抛物线的开口方

向和大小。当a0时，抛物线向上开口;当a0时，抛物线向下

开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。4.一次项系数b和二

次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时(即

ab0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y

轴右。5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于

(0，c)6.抛物线与x轴交点个数=b^2-4ac0时，抛物线与x轴

有2个交点。=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

=b^2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x=-

bb^2-4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a)二次

函数与一元二次方程特别地，二次函数(以下称函

数)y=ax^2+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方

程(以下称方程)，即ax^2+bx+c=0此时，函数图像与x轴有无

交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的

根。1.二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，

y=ax^2+bx+c(各式中，a0)的图象形状相同，只是位置不同，

它们的顶点坐标及对称轴如下表：解析式顶点坐标对称轴

y=ax^2(0，0)x=0y=a(x-h)^2(h，0)x=hy=a(x-h)^2+k(h，

k)x=hy=ax^2+bx+c(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)x=-b/2a当h0时，

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y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位

得到，当h0时，则向左平行移动|h|个单位得到.当h0，k0

时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k

个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象;当h0，k0时，将

抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位

可得到y=a(x-h)^2+k的图象;当h0，k0时，将抛物线向左平

行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k

的图象;当h0，k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再

向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;因此，研究

抛物线y=ax^2+bx+c(a0)的图象，通过配方，将一般式化为

y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线

的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.2.抛物线

y=ax^2+bx+c(a0)的图象：当a0时，开口向上，当a0时开口

向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-

b^2]/4a).3.抛物线y=ax^2+bx+c(a0)，若a0，当x-b/2a时，

y随x的增大而减小;当x-b/2a时，y随x的增大而增大.若

a0，当x-b/2a时，y随x的增大而增大;当x-b/2a时，y随x

的增大而减小.4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交

点：(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c);(2)当

△=b^2-4ac0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其

中的x1，x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a0)的两根.这两点

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间的距离AB=|x?-x?|当△=0.图象与x轴只有一个交点;当△0.

图象与x轴没有交点.当a0时，图象落在x轴的上方，x为任

何实数时，都有y当a0时，图象落在x轴的下方，x为任何

实数时，都有y0.5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a0)，

则当x=-b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.顶点的横坐

标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取

值.6.用待定系数法求二次函数的解析式(1)当题给条件为已知

图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析

式为一般形式：y=ax^2+bx+c(a0).(2)当题给条件为已知图象

的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-

h)^2+k(a0).(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标

时，可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a0).7.二次函数

知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题

目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考

题，往往以大题形式出现.练习题：1．若二次函数y＝ax2的

图象经过点P(－2,4)，则该图象必经过点( )A．(2,4)

B．(－2，－4) C．(－4,2) D．(4，－2)2．抛物线y＝x2＋

bx＋c的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位

长度，所得图象的函数解析式为y＝(x－1)2－4，则b，c的

值为( )A．b＝2，c＝－6 B．b＝2，c＝0 C．b＝－6，c＝8

D．b＝－6，c＝23．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向

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上，对称轴为直线x＝1，图象经过(3,0)，下列结论中（）

A．abc＜0B．2a＋b＜0 C．a－b＋c＜0 D．4ac－b2＜0以上

就是我们给同学们整理的空间几何体的结构知识点啦！想要了

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