2024年4月2日发(作者：数学试卷夺冠二)

中小学1对1课外辅导专家

精锐教育学科教师辅导讲义

讲义编号10sh6sx009435

学员编号： 年 级：初 三 课时数：3

学员姓名：计宇杰 辅导科目：数 学 学科教师：乐荣广

课 题

授课日期及时段

二次函数

ya

xm

k

的图像

2

2010年11月15日 17：30—19：30

1、掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

教学目的

2、经历探索二次函数

y

＝

ax

＋

bx

＋

c

(

a

≠0)的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性

质的过程，理解二次函数

y

＝

ax

＋

bx

＋

c

的性质。

教学内容

第一部分 上节课知识要点回顾

2

2

1、 二次函数的概念：

（1）系数、次数的要求：

（2）式子的特征：

2、特殊的二次函数图像及其性质：

（1）形如

yax

（

a0

）的二次函数的图像及其性质：

（2）形如

yaxc

（

a0

）的二次函数的图像及其性质：

（3）形如

ya

xm

（

a0

）的二次函数的图像及其性质：

2

2

2

（4）三种特殊函数的图像之间的平移变换：

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第二部分 上节课知识检测

1、函数

y(mm)xmx(m1)

，当

m

，此函数是关于

x

的二次函数？

22

2、二次函数

y

3x

2

x

的二次项系数 ，一次项系数 ，常数项

3、下列函数中，哪些是二次函数

x

2

1

（1）

y

k0

（2）

y

2

（3）

y2x

2

x1

（4）

yx(1x)

k

x

（5）

xy20

（6）

y(x1)(x1)(x1)

（7）

yax2

4、若抛物线

y(m1)x

m

2

2

2

2

2

m

开口向下，则

m______

；

2

5、抛物线

y3x2

的图象可由抛物线

y3x

的图象向 平移 个单位得到，它的顶点坐标是 ，

对称轴是 ；

6、抛物线

y

1

1

(x2)

2

的图象可由抛物线

yx

2

向 平移 个单位得到，它的顶点坐标是 ，对

3

3

m

2

m

称轴是 ；

7、当

m

= 时，抛物线

y

=（

m

＋1）

x

＋9开口向下，对称轴是 ．在对称轴左侧，

y

随

x

的增大而 ；

在对称轴右侧，

y

随

x

的增大而 ．

8、已知二次函数

y

＝

ax

＋

c

，当

x

＝2时，

y

＝4；当

x

＝－1时，

y

＝－3．求

a

、

c

的值．

9、已知函数

y2x

，

y2(x4)

和

y2x1

。

（1）分别说出以上各个函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标。

（2）分析分别通过怎样的平移。可以由抛物线

y2x

得到抛物线

y2(x4)

和

y2x1

？

10、如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总

长为30米的铁栅栏．（1）求梯形的面积

y

与高

x

的表达式；（2）求

x

的取值范围．

22

2

2

22

2

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第三部分 新课讲解与例题解析

一、知识要点：

要点1：形如

ya

xm

k

（

a0

）的二次函数的图像

2

1、总结

ya(xm)k

的图像和

yax

图像的关系

当m0时，向左平移m个单位



的图像

当m0时，向右平移m个单位

22

yax

2

ya(xm)

的图像

2

ya(xm)

2

当k0时，向上平移k个单位



的图像

当k0时，向下平移k个单位

2

ya(xm)

2

k

的图像。

2、形如

ya

xm

k

（

a0

）的二次函数的图像特征：

（1）函数的对称轴是过点（-

m

,0）且平行（或重合）于

y

轴的直线，即直线

xm

；

（2）函数的顶点坐标是（-

m

,

k

）

（3）抛物线的开口方向（由

a

所取值的符号决定）：

当

ao

时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点；

当

ao

时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。

要点2：形如

yaxbxc

（

a0

）的二次函数的图像

1、总结：对于二次函数

yaxbxc

（

a0

）的图象及图象的形状、开口方向、位置又是怎样的？

2

2

b

2

b

2

c

b

2

4acb

2

c

2

b

2

b

yaxbxca

xx

a

xx()()

a(x)

a2a2aa2a4a

aa





2

2、形如

yaxbxc

的二次函数的图像的特征：

（1）二次函数

yaxbxc

( a≠0)的图象是一条抛物线；

2

2

4acb

2

bb

（2）对称轴是直线x=

，顶点坐标是为（

，）

4a

2a2a

（3）当

ao

时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点。

当

ao

时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。

3、一般地，对于抛物线，沿着轴正方向看，可见它的变化情况如下：

（1）当

ao

时，抛物线在对称轴（即直线

x

b

）左侧的部分是下降的，在对称轴右侧的部分是上升的；

2a

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（2）当

ao

时，抛物线在对称轴（即直线

x

2

b

）左侧的部分是上升的，在对称轴右侧的部分是下降的；

2a

要点3：形如

yaxbxc

（

a0

）的二次函数的解析式、图像及性质

一、解析式：

1、二次函数的一般形式：

yaxbxc(a0)

2

b4acb

2

b

2

4acb

2

b

,)

；对称轴为

x

；

)

由

yaxbxca(x

知：顶点为

(

2a4a

2a4a

2a

2

4acb

2

最值为

y

（

a0

时为最小值，

a0

时为最大值）

4a

2、二次函数的顶点式：

ya(xh)k(a0)

顶点为

(h,k)

；对称轴为

xh

；最值为

yh

（

a0

时为最小值，

a0

时为最大值）

3、二次函数的两根式：

ya(xx

1

)(xx

2

)(a0)

2

x

1

x

2

a(x

1

x

2

)

2

xx

2

,)

；对称轴为

x

1

顶点为

(

；

22

2

a(x

1

x

2

)

2

bc

最值为

y

；与一般形式的关系

x

1

x

2



，

x

1

x

2

2

2aa

二、图像：

4、二次函数的图像为抛物线（用描点法画出：先确定顶点、对称轴、开口方向，再对称地描点）

a0

时，开口向上;

a0

时，开口向下

；

0

时与

x

轴没有交点

0

时与

x

轴有两个交点；

0

时与

x

轴仅有一个交点（相切于顶点）

三、性质：

5、当

a0

时，在对称轴左侧y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,y随x的增大而增大，简记左减右增；

当

a0

时，左增右减。

6、用待定系数法确定二次函数解析式

一般地,在所给的三个条件是任意三点可设解析式为

yaxbxc

,然后组成三元一次方程组来求解;在所

给条件中已知顶点坐标或对称轴或最大值时,可设解析式为

ya(xh)k

;在所给条件中已知抛物线与x•轴两交点

坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标和对称轴,则可设解析式为

ya(xx

1

)(xx

2

)

来求解。

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2

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7、抛物线

yaxbxc(a0)

中

a,b,c

符号的确定

a

的符号由抛物线开口方向决定,当

a

>0时,抛物线开口向上;当

a

<0时,•抛物线开口向下;

2

c

的符号由抛物线与

y

轴交点的纵坐标决定.当

c

>0时,抛物线交

y

轴于正半轴;当

c

<0时,抛物线交

y

轴于负半轴;

b

的符号由对称轴来决定.当对称轴在

y

•轴左侧时,

b

的符号与

a

的符号相同;当对称轴在

y

轴右侧时,

b

的符号与a

的符号相反;•简记左同右异。

四、图像的平移

8、一般做图像的平移时，使用顶点式

ya(xh)k(a0)

，

向左平移

m

个单位则

ya(xhm)k(a0)

；向右平移

m

个单位则

ya(xhm)k(a0)

；

向上平移

n

个单位则

ya(xh)kn(a0)

；向下平移

n

个单位则

ya(xh)kn(a0)

.

例1：抛物线

y

＝

x

＋2

x

－2的顶点坐标是 （ ）

A、（2，－2） B、（1，－2） C、（1，－3） D、（－1，－3）

例2：二次函数

yxbxc

的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（ ）

A、

x

＝4 B、

x

＝3 C、

x

＝－5 D、

x

＝－1。

例3：抛物线

yxmxm1

的图象过原点，则

m

为（ ）

A、0

2

22

2

2

2

22

22

B、1 C、－1 D、±1

例4：二次函数

yxbxc

的图象沿

x

轴向左平移2个单位，再沿

y

轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解

析式为

yx2x1

，则

b

与

c

分别等于（ ）

A、6，4 B、－8，14 C、－6，6 D、－8，－14

例5：若抛物线

ya(xm)n

的开口向下，顶点是（1，3），

y

随

x

的增大而减小，则

x

的取值范围是（ ）

A.

x3

B.

x3

C.

x1

D.

x0

例6：将抛物线

y

=

x

向左平移4个单位后，再向下平移2个单位，•则此时抛物线的解析式是________．

例7：

y

=

ax

+

bx

+

c

(

a

≠0)的图象如图所示,则点M(

a

,

bc

)在( • ).

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

例8：已知二次函数

yax

2

bxc

的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．

ab

＞0，

c

＞0 B．

ab

＞0，

c

＜0 C．

ab

＜0，

c

＞0 D．

ab

＜0，

c

＜0

2

2

2

2

y

O

x

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例9： 二次函数

y＝ax＋bx＋c

的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．a＞0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＞0

C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＞0

例10：已知函数

yaxbxc

的图象如图所示，则函数

yaxb

的图象是（ ）

2

2

y

Ox

F//BC

例11：如图，已知

中，BC=8，BC上的高

h4

，D为BC上一点，

E

，交AB于点E，交AC于点F（EF

ABC

不过A、B），设E到BC的距离为

x

，则

的面积

y

关于

x

的函数的图象大致为（ ）

DEF

y

4

4

4

4

O

2

4

A

x

O

2

B

4

O

2

C

4

O

2

D

4

例12：已知抛物线

y

=

1

2

5

x

+

x

-．

2

2

（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．（2）若该抛物线与

x

轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．

例13：已知抛物线经过点

(1,0)

，且顶点为

(2,1)

，求抛物线的解析式

例14：已知抛物线

yx

2k1

xkk

．求证：此抛物线与x轴总有两个不同的交点

22

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第四部分 课堂检测

1、若

y(m

2

m)x

m

2

m

是二次函数，则

m

＝______；

2

2、已知二次函数

yaxbxc

的图象如图所示，则a___0，b___0，c___0，

b4ac

____0；

2

2

3、抛物线

yx2x8

的对称轴为直线_______，顶点坐标为______，与

y

轴的交点坐标为________；

4、写出一个经过（0，－2）的抛物线的解析式_______________；

5、若二次函数

ymx3x2mm

的图象经过原点，则m＝_________；

6、抛物线

yx6x16

与x轴交点的坐标为_________；

7、函数

y2xx

有最____值，最值为_______；

8、已知函数

ymx(mm)x2

的图象关于y轴对称，则m＝________；

2

9、关于x的一元二次方程

xxn0

没有实数根，则抛物线

yxxn

的顶点在第_____象限；

2

2

22

2

2

22

10、抛物线

yxbxc

与x轴的正半轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，且线段AB的长为1，△ABC的面积为

1，则b的值为______。

11、抛物线过（－1，－22），（0，－8），（2，8）三点，求二次函数的解析式.

12、抛物线在x轴上截得的线段长为4，且顶点坐标是（3，－2），求二次函数的解析式.

13、二次函数的图象经过点（－1，0），（3，0），且最大值是3，求二次函数的解析式.

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第五部分 课堂小结

1、形如

ya

xm

k

（

a0

）的二次函数的图像、性质：

2

2、形如

yaxbxc

（

a0

）的二次函数的解析式、图像及性质：

第六部分 课后练习

1、二次函数

y

=

ax

＋

bx

＋

c

的图象如图1所示，且

P

=|

a

－

b

＋

c

|＋| 2

a

＋

b

|，

2

2

Q

=|

a

＋

b

＋

c

|＋| 2

a

－

b

|，则

P、Q

的大小关系为 .

2、二次函数

y

=

mx

－3

x

+2

m

－

m

的图像过原点，则

m

=__________.

3、将函数

y

=－2

x

+8

x

－7写成

y

=

a

(

x

+

m

)+

k

的形式为________________.

4、抛物线

yx4xm

的顶点在

x

轴上，其顶点坐标是 ，对称轴是 ；

图1

5、抛物线

y

=

x

-（2

m

-1）

x

- 6

m

与

x

轴交于（

x

1

，0）和（

x

2

，0）两点，已知

x

1

x

2

=

x

1

+

x

2

+49，要使抛物线经过

原点，应将它向右平移 个单位。

6、若

a

＜0，则函数

y

= 2

x

+

ax

－5的图形的顶点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

7、抛物线

y

=2

x

－4

x

+

c

的顶点在

x

轴上，则

c

值为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．4

8、已知二次函数

yax

2

bxc

(

a

≠0)的图象开口向上，并经过点(-1，2)，(1，0) . 下列结论正确的是( )

A. 当

x

>0时，函数值

y

随

x

的增大而增大

B. 当

x

>0时，函数值

y

随

x

的增大而减小

C. 存在一个负数

x

0

，使得当

x

<

x

0

时，函数值

y

随

x

的增大而减小；当

x

>

x

0

时，函数值

y

随

x

的增大而增大

D. 存在一个正数

x

0

，使得当

x

<

x

0

时，函数值

y

随

x

的增大而减小；当

x

>

x

0

时，函数值

y

随

x

的增大而增大

2

9、函数

yaxbxc

的图象如图所示，那么关于

x

的一元二次方程

axbxc30

的根的情况是（

y

A．有两个不相等的实数根

3

2

2

2

2

2 2

22

2

）

B．有两个异号的实数根

C．有两个相等的实数根

D．没有实数根

Ｏ

x

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10、如图二次函数y=ax+bx+c的图象经过A 、B、C三点，

（1）观察图象，写出A 、B、C三点的坐标，并求出抛物线解析式，

5

2

y

（2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴 C

（3）观察图象，当

x

取何值时，

y

<0？

y

=0？

y

>0?

11、已知抛物线

y

=

ax

+

bx

+

c

（

a

0）与

x

轴的两交点的横坐标分别是-1和3，与

y

轴交点的纵坐标是-

2

A

-1

O

B

4

x

3

；

2

（1）确定抛物线的解析式； （2）用配方法确定抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标。

12、已知二次函数的图像关于直线y=3对称，最大值是0，与y轴交于（0，1）点，求这个二次函数。

13、如图，已知△ABC是边长为4的正三角形，AB在x轴上，点C在第一象限，AC与y轴交于点D，点A的坐标为（-1，

0)，求(1)B，C，D三点的坐标； (2)抛物线

yaxbxc

经过B，C，D三点，求它的解析式；

(3)过点D作DE∥AB交过B，C，D三点的抛物线于E，求DE的长。

A

Y

C

2

D

E

O

B

X

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抛物线,函数,顶点,对称轴,开口