2024年4月17日发(作者：数学试卷到底多难考啊)
内蒙古赤峰二中2020-2021学年高二数学上学期第一次月考试题 理
（含解析）
一.选择题
上单调递增．则下列命1. 已知命题
p:xR,sinx1
，命题
q:yx
2
x
在区间
0，
题中为真命题的是（ ）
A.
p
q
【答案】C
【解析】
【分析】
由三角函数的值域知
p
为真命题，由二次函数的单调性知
q
为假命题，根据带有简单逻辑连
接词的命题真假判断规则判断各选项的真假.
【详解】
P
为真命题，函数
y
命题.
所以
pq
为真命题，其余选项均为假命题.
故选：C
【点睛】本题考查简单的逻辑连接词，判断命题的真假，属于基础题.
2. 设命题
p:
所有正方形都是平行四边形，则
p
为（ ）
A. 所有正方形都不是平行四边形
C. 有的正方形不是平行四边形
形
【答案】C
【解析】
【分析】
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【详解】“所以”改为“存在”（或“有的”），“都是”改为“不都是”（或“不是”），
即
p
为有的正方形不是平行四边形
故选C.
【点睛】本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．
- 1 -
B.
p
q
C.
pq
D.
pq
1
1
x
2
x
在
(,)
上单调递减，在
[,)
上单调递增，
q
为假
2
2
B. 有的平行四边形不是正方形
D. 不是正方形的四边形不是平行四边
x
2
y
2
2
3. 若椭圆，则实数
m
的值为（ ）
1
的离心率为
m2
2
A.
2
或
6
【答案】B
【解析】
【分析】
对椭圆的焦点位置进行分类讨论，结合椭圆的离心率公式可求得实数
m
的值.
【详解】若椭圆的焦点在
x
轴上，此时
m2
，
则
am
，
b
B.
1
或
4
C.
4
D.
1
2
，
ca
2
b
2
m2
，
cm22
，解得
m4
；
a2
m
该椭圆的离心率为
e
若椭圆的焦点在
y
轴上，此时
0m2
，
则
a2
，
bm
，
ca
2
b
2
2m
，
该椭圆的离心率为
e
c2m2
，解得
m1
.
a2
2
综上所述，
m1
或
4
.
故选：
B
.
【点睛】本题考查利用椭圆的离心率求参数，解题时要注意对椭圆焦点的位置进行分类讨论，
考查运算求解能力，属于基础题.
4. 曲线方程
x
2
+（y4)
2
x
2
+（y4)
2
10
的化简结果为（ ）
x
2
y
2
1
A.
2516
y
2
x
2
B.
1
2516
x
2
y
2
C.
1
259
D.
y
2
x
2
1
259
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意得到给出的曲线方程的几何意义，是动点
x,y
到两定点的距离之和等于定值，符合
- 2 -
椭圆定义，然后计算出相应的
a,b,c
得到结果.
【详解】曲线方程
x
2
+
y4
2
x
2
+
y4
10
，
2
所以其几何意义是动点
x,y
到点
0,4
和点
0,4
的距离之和等于
10
，符合椭圆的定义.
点
0,4
和点
0,4
是椭圆的两个焦点.
y
2
x
2
因此可得椭圆标准方程
2
2
1
ab0
，其中
2a10
，所以
a5
ab
c4
，所以
ba
2
c
2
3
y
2
x
2
所以曲线方程的化简结果为
1
.
259
故选D项.
【点睛】本题考查曲线方程的几何意义，椭圆的定义，求椭圆标准方程，属于简单题.
x
2
y
2
1
中，
A
5. 在椭圆
1
，
A
2
分别为椭圆的左右顶点，
F
1
为左焦点，
M
是椭圆上的点，
2516
求
△MF
1
A
2
的面积最大值（ ）
A.
16
【答案】A
【解析】
【分析】
分析题意可知点
M
为短轴端点时，
△MF
1
A
2
的面积取最大值，计算即可求得结果.
【详解】由题意可知点
M
为短轴端点时，
△MF
1
A
2
的面积取最大值，
B.
32
C.
162
D.
322
x
2
y
2
1
，所以
a5,b4,c3
， 因为椭圆方程为：
2516
即有
S
11
(ac)b8416
.
22
故选：A.
【点睛】本题主要考查椭圆的方程的简单应用，考查了椭圆中的三角形的面积公式的应用，
考查运算求解能力，属于基础题.
6. 在空间直角坐标系
Oxyz
中，一个四面体顶点坐标分别是
(0,0,2)
，
(2,2,0)
，
(1,2,1)
，
- 3 -
(2,2,2)
，则该四面体的体积为（ ）．
A.
2
【答案】D
【解析】
【详解】如图所示，可知四面体以△BCD为底边，高是A到平面BCD的距离，
B.
4
3
C.
22
3
D.
2
3
112
V212
，故选D.
323
7. 在
ABC
中，内角
A
、
B
、
C
所对的边分别为
a
、
b
、
c
，则“
acosAbcosB
”是
“
ABC
是以
A
、
B
为底角的等腰三角形”的（ ）
A. 充分非必要条件
C. 充要条件
【答案】B
- 4 -
B. 必要非充分条件
D. 既非充分也非必要条件
【解析】
【分析】
利用余弦定理化简等式
acosAbcosB
，结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论.
【详解】
acosAbcosB
，
a
b
2
c
2
a
2
2bc
b
a
2
c
2
b
2
2ac
，即
a
2
c
2
b
2
c
2
a
4
b
4
0
，
22
整理得
ab
c
2
a
2
b
2
0
，
ab
或
a
2
b
2
c
2
，
则
ABC
是以
A
、
B
为底角的等腰三角形或以
C
为直角的直角三角形.
因此，“
acosAbcosB
”是“
ABC
是以
A
、
B
为底角的等腰三角形”的必要不充分条
件.
故选：B.
【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，同时也考查了余弦定理边角互化思想的应用，考
查计算能力与推理能力，属于中等题.
8. 已知命题
p:x2m1,q:x
2
5x60
，且
p
是
q
的必要不充分条件，则实数
m
的取
值范围为（ ）
A.
m
1
2
B.
m
1
2
C.
m1
D.
m1
【答案】D
【解析】
【分析】
求出命题
q
不等式的解为
2x3
，
p
是
q
的必要不充分条件，得
q
是
p
的子集，建立不等
式求解.
【详解】解：命题
p:x2m1,q:x
2
5x60
，即:
2x3
，
p
是
q
必要不充分条件，
(2,3)(,2m1,)
，
2m13
，解得
m1
．实数
m
的取值范围为
m1
．
故选：
D
．
【点睛】本题考查根据充分、必要条件求参数范围，其思路方法：
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据
- 5 -
集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．
(2)求解参数的取值范围时， 一定要注意区间端点值的检验．
x
2
y
2
9. 点P(x，y)是椭圆
2
2
1
(a>b>0)上的任意一点，F
1
，F
2
是椭圆的两个焦点，且
ab
∠F
1
PF
2
≤90°，则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A. 0 2 2 B. 2 ≤e<1 2 2 2 C. 0 【答案】A 【解析】 【分析】 D. e＝ 根据题意并结合图形的几何性质可得到以 F 1 F 2 为直径的圆与椭圆至多有一个公共点，进而得 到 cb ，由此可得离心率的取值范围，或在△ PF 1 F 2 中根据余弦定理求解也可得到所求范围． 【详解】方法一：∵点 P ( x ， y )是椭圆上的任意一点， F 1 ， F 2 是椭圆的两个焦点，且∠ F 1 PF 2 ≤90°， ∴以 F 1 F 2 为直径的圆与椭圆至多有一个公共点， ∴ cb ， ∴ c 2 b 2 a 2 c 2 ， ∴ 2c 2 a 2 ， c 2 12 ∴ 2 ,e ， a22 ∴ 0e 故选A． 方法二： 由题意得当点 P 为短轴的端点时，∠ F 1 PF 2 最大，只要此时∠ F 1 PF 2 ≤90°即可， 这时| PF 1 |＝| PF 2 |＝ a ，| F 1 F 2 |＝2 c ， 在△ PF 1 F 2 中由余弦定理得 2 ． 2 - 6 - a 2 a 2 4c 2 cosF 1 PF 2 0 ， 2a 2 ∴ a ＋ a ≥4 c ， 解得 e 222 c2 ， a2 2 ． 2 ∴ 0e 故选A． 【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，解答此类问题时，可根据题意及椭圆中的基本量间的 关系进行求解，也可根据椭圆中几何图形的关系进行求解，解题时要合理选择方法，属于基 础题． x 2 y 2 2 10. 已知椭圆 2 2 1(ab0) 的右焦点为 F ，离心率，过点 F 的直线 l 交椭圆于 ab 2 A,B 两点，若 AB 中点为 (1,1) ，则直线 l 的斜率为（ ） A. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据已知得到 a 2 2b 2 ，再利用点差法求出直线的斜率. B. 2 C. 1 2 D. 1 2 【详解】由题得 c2 ,4c 2 2a 2 ,4(a 2 b 2 )2a 2 ,a 2 2b 2 . a2 设 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ) ，由题得 x 1 +x 2 =2，y 1 +y 2 =2 ， b 2 x 1 2 a 2 y 1 2 a 2 b 2 所以 22 ， 2222 bxayab 2 2 两式相减得 b(x 1 x 2 )(x 1 x 2 )a(y 1 y 2 )(y 1 y 2 )0 ， 所以 2b(x 1 x 2 )2a(y 1 y 2 )0 ， 所以 2b4b 22 22 22 (y 1 y 2 ) 0 ， (x 1 x 2 ) - 7 - 所以 12k0,k 故选： C 1 . 2 【点睛】本题主要考查椭圆离心率的计算，考查直线和椭圆的位置关系和点差法，意在考查 学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题. x 2 y 2 11. 已知 F 1 ， F 2 是椭圆 C： 2 2 1(ab0) 的左，右焦点， A 是 C 的左顶点，点 P 在过 ab A 且斜率为 A. 3 的直线上， △PFF 为等腰三角形， FFP120 ，则的离心率为 C 12 12 6 B. 2 3 1 2 C. 1 3 D. 1 4 【答案】D 【解析】 【详解】分析：先根据条件得PF 2 =2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率. 详解：因为 △PF 1 F 2 为等腰三角形， F 1 F 2 P120 ，所以PF 2 =F 1 F 2 =2c, 由 AP 斜率为 3112 3 得，， tanPAF 2 ,sinPAF 2 ，cosPAF 2 6 1313 6 PF 2 sinPAF 2 , AF 2 sinAPF 2 由正弦定理得 1 2c21 13 ==a4c,e 所以，故选D. ac sin( π PAF) 54 31211 2 3 2 13 2 13 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a,b,c 的方程或 不等式，再根据 a,b,c 的关系消掉 b 得到 a,c 的关系式，而建立关于 a,b,c 的方程或不等式， 要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 12. 已知三棱锥 DABC 中, AB1 , ACAD3 , BD2 , BC2 , BCAD ,则 三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. 8 【答案】B 【解析】 - 8 - 1 13 B. 6 C. 4 D. 86 【分析】 根据三棱锥 DABC 中, AB1 ,ACAD3, BD2 , BC2 , BCAD ,构建长 方体,即长方体体对角线是外接球的直径,即可求得外接球的表面积. 【详解】 ABC 中, AB1 , BC2 ,AC3 AC 2 BC 2 AB 2 ,故 ABC 是直角三角形且 ABC 为直角. △ADB 中, AD3 , BD2 , AB1 BD 2 AB 2 AD 2 ,故 △ADB 是直角三角形且 BAD 为直角. 可得 ABAD 结合已知 BCAD 可得: AD 面 ABC 可构建长方体 DC ,如图: 则三棱锥的外接球的直径是长方体体对角线, DC 3 + 2 22 +1 2 =6 外接球的 R 6 2 6 根据球的表面积公式: S4 R 2 4 2 6 . 故选:B. 【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积的计算问题,其中解答中根据几何体的结构 特征,构建长方体,得到长方体的外接球是三棱锥 DABC 的外接球是解答的关键,着重考查 了数形结合思想,以及推理与运算能力. 二.填空题 2 x 2 y 2 13. 如图，A、B为椭圆 2 2 1 a＞b＞0 的两个顶点，过椭圆的右焦点F作 x 轴的垂线 ab 与其交于点C，若AB∥OC(O为坐标原点)，则直线AB的斜率为______. - 9 - 【答案】 【解析】 【分析】 2 2 b 2 由椭圆的方程及过椭圆的右焦点F作 x 轴的垂线，求得 A(a,0),B(0,b),C(c,) ，根据 a AB//OC ，求得 bc ，进而得到 a2b ，利用斜率公式，即可求解． x 2 y 2 【详解】由题意，椭圆 2 2 1(ab0) ，过椭圆的右焦点F作 x 轴的垂线与其交于点C， ab b 2 可得 A(a,0),B(0,b),C(c,) ， a b 2 又由 AB//OC ，可得 b ，整理得 bcb 2 ，即 bc ， a ac 又由 a 2 b 2 c 2 2b 2 a 所以直线 AB 的斜率为 k 2b ， bb2 ． a2 2a 故答案为 2 ． 2 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆 的标准方程，熟练应用椭圆的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基 础题． 14. 设 P 为曲线 x 2 4y 2 40 上一动点， O 为坐标原点， M 为线段 PO 的中点，则点 M 的轨迹方程为_________. 【答案】 x 2 4y 2 1 - 10 - 【解析】 【分析】 设 M(x,y) ，得到 P(2x,2y) ，代入双曲线的方程，即可求得点 M 的轨迹方程 . 【详解】设 M(x,y) ，因为 O 为坐标原点， M 为线段 PO 的中点，可得 P(2x,2y) ， 代入双曲线的方程，可得 (2x) 2 4(2y) 2 40 ， 整理得 x 2 4y 2 1 ，即点 M 的轨迹方程为 x 2 4y 2 1 . 【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求解，其中解答中认真审题，合理利用代入法求解是解 答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题 . x 2 y 2 15. 已知椭圆 2 1(0b2) 的左､右焦点分别为 F 1 ,F 2 ，过 F 1 的直线 l 交椭圆于 A ， 4b B 两点，若 BF 2 AF 2 的最大值为5，则 b 的值是 _______ . 【答案】 3 【解析】 【分析】 由椭圆的定义，得 |AB|AF 2 BF 2 4a8 ，所以当线段 AB 的长度取得最小值时， BF 2 AF 2 有最大值. 易知当 AB 垂直于 x 轴时， |AB| 最小，计算即可得解. 【详解】由椭圆的定义，可知 |AB|AF 2 BF 2 4a8 ， 所以当线段 AB 的长度取得最小值时， BF 2 AF 2 有最大值. 2 b 当 AB 垂直于 x 轴时， |AB| 最小，且 |AB| min 2b 2 ， 2 所以 BF 2 AF 2 的最大值为 8b 2 5 ，所以 b 2 3 ，即 b3 . 故答案为： 3 . 【点睛】（1）涉及椭圆上点与两焦点的距离时，要注意联想椭圆的定义，要结合图形看能 - 11 -
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