数学理解的三大基石:倾听、交流与评价

2024年4月17日发(作者：梅州高三数学试卷分析题)

２　数学教学研究　第３４卷第１期２０１５年１月　

数学理解的三大基石：倾听、交流与评价　

张定强　，卜范坤　

（Ｉ．西北师范大学教育学院，甘肃兰州７３００７０；　

２．内蒙古赤峰市赤峰二中，内蒙赤峰０２４０００）　

理解问题是一个永恒的话题，只要有人　

理解看成是获得某种结果．“数学理解”的涵　

义不同于一般的行为主义所说的“理解”，目　

前所见到的“数学理解”概念主要来源于心理　

存在的地方就会有理解问题，数学理解问题　

也是如此．在数学教育中之所以要高度关注　

数学理解问题，是因为随着数学知识的不断　

增长，数学理解能力的发展与数学知识增长　

之间的矛盾日益凸显．这样，如何促进学生　

充分的数学理解就成为现代数学教育所要　

研究的根本问题．从本源上分析，数学教与　

学的本质就是提高数学理解力，这种数学理　

解力对夯实数学基础、强化数学素养、推动　

数学发展具有极其重要的理论价值和现实　

意义．作为提高数学理解力的数学教学，必　

不可少的三大基石就是：倾听、交流与评　

学，代表性的观点主要有以下几种：《中学数　

学教学大纲》中阐述的“理解”就是对概念和　

规律（定义、定理、公式、法则等）达到了理性　

认识，不仅能够说出概念和规律是什么，而且　

能够知道它是怎样得出来的，它与其它概念　

和规律之间的关系以及有什么用途，进而阐　

述数学理解能力就是准确地把握数学基础知　

识的能力＿１］．英国的Ｓ・Ｐｉｒｉｅ和加拿大的Ｔ　

・

Ｋｉｅｒｅｎ（１９９４）提出了一个数学理解发展的　

“超回归”模型，两位学者以认知的观点强调　

价．笔者认为，倾听是促进数学理解的前提　

性要素；交流是实现数学理解的工具性要　

素；评价是检验数学理解程度的手段性要　

理解是一个进行中的、动态的、分水平的、非　

线性的发展，是反反复复的建构组织过程．这　

个理论将理解表示为人们知识结构的不断、　

连续的组织，是一个动态的过程，而不是各种　

认识的获得【ｌ２］．喻平（２０００）认为，“对一个事　

物本质的理解，就是指该事物的性质以一定　

的方式在学习者头脑中呈现并能迅速提取．　

而数学理解就是对数学知识的正确、完整、合　

理的表征”［３］．陈琼等（２００３）认为，“数学理解　

素．在数学教育教学过程中奠基好这三大基　

石就可以有效的促进学生的数学理解，推动　

学生的数学进步．　

１数学理解的内涵及其教育价值　

１．１数学理解的内涵　

理解在行为主义看来是刺激与反应之间　

的联结．于是，个体对知识的理解就是记忆概　

念、规则和方法，并能迅速提取并用于解决问　

是学习者先认识数学对象的外部表征，构建　

相应的心理表象，然后在建立新旧知识联系　

题．行为主义将知识理解定位在知识记忆的　

的动态过程中，打破原有的认识平衡，将数学　

层面上，而没有对“机械性记忆”和“在理解基　

础上的记忆”加以区别，这种观点的本质是将　

收稿日期：２０１４—１２—１６　

对象的心理表象进行改造、整理、重组，重新　

达到新的平衡，以便抽取数学对象的本质特　

基金项目：全国教育科学“十一五”规划教育部重点课题（ＤＭＡ０９０３４４）　

第３４卷第１期２０１５年１月　数学教学研究　３　

征及规律，从而达到对数学对象的理解”Ｌ４］．　

Ｈｉｅｂｅｒｔ和Ｃａｒｐｅｎｔｅｒ认为，“一个数学的概　

念或方法或事实被理解了，那么它就会成为　

个人内部网络的一个部分”［５］．李士镝教授认　

为，“学习一个数学概念，原理、法则，如果在　

心理上能组织起适当的有效的认知结构，并　

使之成为个人内部的知识网络的一部分，那　

么就说明是理解了”［６］．以上观点是从认知结　

构的角度论述数学理解的涵义，认为理解就　

是形成个体的认知网络．　

笔者认为数学理解是学习者通过一定的　

途径所达到这样的一种程度，不仅能够说出　

概念和规律是什么，而且能够知道它是怎样　

得出来的、怎样运用、与学过的知识之间存在　

什么样的联系，并且在一定的情景下能够在　

大脑内部形成一个数学知识网络，迁移、解决　

所遇到的问题并给予分析解释，随着理解的　

不断生成，数学知识、能力网络不断扩充，使　

已有的理解不断拓展、深化，相关的各种联结　

更加稳固化、牢靠化．　

１．２数学理解的教育价值　

吕林海（２００３）从理论研究的意义、个体　

发展的意义和社会需要的意义等方面对数学　

理解的教育价值进行了深入辨析Ｌ７］，提出了　

数学理解在课程设计与实施的方面的价值．　

Ｃａｒｐｅｎｔｅｒ，Ｒｅｓｎｉｃｋ等认为，数学理解有助于　

发明创造，学习者丰富的内部知识网络结构　

容易被激活、引导和检验，这是创造与发明的　

基础，而完善的图式建构依赖于理解［５］．王光　

明提出，数学理解的功能包括以下４个方面：　

（１）理解是教育的目的之一，（２）理解是获得　

知识的关键，（３）理解有利于记忆，（４）数学理　

解影响学习的信念Ｌ８］．邵光华（２００４）也提出，　

数学教学中的迁移能力培养尤为重要，在培　

养迁移能力方面，样例起着重要作用，而理解　

是实现迁移的关键Ｉ－９］．张明慧等（２００５）认为，　

随着理解的深人，学习者知识网络内部结构　

可能得到简化与梳理，网络与网络间的外部　

关系又得以加强，一些网络进一步组成新的　

整体，使整体结构得以简化，这样，记忆无限　

的潜力将被挖掘出来＿１。。．邝孔秀（２０００）则提　

出了在数学教学中理解是第一位的观点，以　

示数学理解的重要性［１¨．从理论研究的角度　

看，数学理解的教育价值就体现在它的广阔　

包容性、相对独立性、应用的迁移性上，体现　

在潜力的开发与数学进步的推动上．可以说，　

数学理解是数学教学的立足点、核心点，也是　

数学教育关注的核心元素．它为数学课程建　

设、数学课堂教学、数学能力体系的形成提供　

了一个新的视角，使我们在把握各个背景领　

域的内涵演化的同时，不断丰富、充实、更新　

着对它的认识与解读．　

从个体发展的角度看，数学理解的教育　

意义更是清晰可见．首先，数学知识的理解有　

助于完善个体大脑内部的数学知识结构网　

络，从而推动记忆，夯实各数学知识节点之间　

的联系，深化理解数学新旧知识、信息之间的　

本真联结．其次，数学知识只有被深刻理解　

了，才具有迁移与应用的活性，这种迁移能力　

对个体未来发展是十分重要的，可以拓展到　

其他领域的学习上．　

从社会需求的角度看，信息化社会和知　

识经济社会需要的是那种能不断学习新知　

识、新技能、新方法、新手段并能应用自己的　

知识去解决新问题的创新人才．这种人才的　

培养仅靠机械记忆的方式是很难做到的，而　

强化数学素养与数学理解则在培养创新人才　

方面显得格外重要．　

因此，笔者认为，基于数学理解的数学教　

育才能回归到数学教育的本真轨道，这样的　

数学教育才能实现数学教育的目标，而如何　

采用有效的工具与方式达到数学理解之境确　

是数学教育必须认真反思与思考的关键问　

题．　

４　数学教学研究　第３４卷第１期２０１５年１月　

２倾听、交流、评价与数学理解的关系　

听，从抽象的听到具体的听，从观念的听到体　

验的听．这种深化的倾听就是基于数学理解　

２．１倾听——促进数学理解的前提性要素　

倾听是指“侧耳而听”，用心细听，它是人　

们学习的前提和基础之一．从教育学的角度　

看，倾听是一种学习态度、一种学习方法、一　

种文化修养，是人们获取知识、增长智慧的手　

性的倾听．　

在数学教学过程中的倾听，通过话语、板　

书、操作、互动、对话等活动，使倾听介于、溶　

人数学理解的过程，把数学倾听纳入到数学　

段．数学倾听是指人们在Ｅｌ常生活中通过听　

觉或视觉系统接受来自别人的数学信息［１引．　

数学倾听包括学生倾听和教师倾听两个方　

面，这两种倾听是数学教育中的常态要素，都　

是在倾听中理解，在理解中倾听．　

２．１．１学生倾听　

对学生而言，数学倾听是获取数学知识　

与理解数学知识的重要途径．学生的听主要　

有两个方面，一是听老师上课的言说，即听教　

师剖析发现问题、分析问题、解决问题的思维　

过程，并且通过视角听教科书的作者在文本　

呈现中的每一句话的内在含义，在听的过程　

中大脑积极参与与教师的对话，形成自己的　

数学理解；二是听同学之间的交流，用心的去　

听同学是如何回答问题、思考问题的，细心揣　

摩语言表述中同伴对数学的理解，整合自己　

的理解，修正或者评判自己的数学理解．学生　

的倾听由于其方式、方法的不同，会对数学知　

识的理解程度产生一定的影响．因此，教学中　

要高度关注倾听的方式方法．　

２．１．２教师倾听　

对教师而言，通过听自我的表述与学生　

回答交流的言说来分析审视教学效果，判断　

学生的数学理解程度，参与交流、分享数学智　

慧．教师不单纯是倾听学生对数学的理解程　

度，同时也在不断的激活和唤醒自己的数学　

体验与感悟，进而从内心深处去倾听学生的　

声音，这是以一种体验去倾听另一种体验，更　

能触及到数学的本性之中，这样的倾听就是　

真正的倾听．以体验的方式去倾听，它有效地　

改变教师的倾听方式：从外在的听到内在的　

理解的范畴之内，这样的倾听基点是为了数　

学的进步．为此数学教师、学生要做一个用心　

的倾听者，明晰倾听者的责任，拓展数学倾听　

的数学理解范畴，让数学倾听在数学理解之　

流更加有力量．　

２．２交流——实现数学理解的工具性要素　

数学交流是数学教育活动开展的主要途　

径，也是数学理解的主要工具，通过数学交流　

赋予数学教育各种因素以活力．数学交流使　

教师、学生、各种资源视域溶合，使得数学理　

解不断深化．通过数学交流诸如文本的阅读，　

师生的互动，生生的操作、实验，以及具体的　

说说、做做、议议等，表达、分析、观察、思考的　

方式形成对数学知识的表层到深层、形式到　

内容、浅理解到深理解的过程．通过交流去分　

享学习数学的感受与体会，在师生、生生等要　

素的交流中相互理解，在理解的基础上深化　

交流的形式和内容，特别是随着交流的不断　

升华，思想的不断碰撞，理解就会越来越深　

人．因此，增强数学交流意识，开放语言表达　

系统，可以加快数学知识的理解速度．　

数学教学中的交流是围绕着数学问题的　

提出、分析、假设和最终解决这条主线来展开　

的，在问题解决的过程中，通过交流，使谬误　

得以暴露和澄清，使灵感得以闪现和开拓，使　

解题的思路得以优化和清晰．在数学交流的　

过程中，会形成如下图１所示的循环交流过　

程，学生在认真听取教师讲课之后，通过数学　

交流，可以充分暴露数学理解的深与浅，教师　

就可以知道学生哪些地方理解了，哪些地方　

没理解，理解的程度到底如何，进而调整教学　

第３４卷第１期２０１５年１月　数学教学研究　５　

思路，改进教学方法，充分发挥教学引导的理　

解功能；同时，学生在数学交流的过程中也可　

以重新认识、思索哪些知识没有理解透彻，启　

示他们对知识的反思与深刻理解，在深度理　

解的基础上重新提炼、加工、概括、重构知识．　

验数学理解的重要手段，合理、有效的利用这　

些手段就能引导学生理解内容，强化认知，也　

能帮助学生完善认知操作系统，使学生有能　

力分析和实现他们的元认知，为自我发现之　

旅开辟道路．　

２．４倾听、交流、评价与数学理解的关系图解　

在图１中师生通过数学交流进行输人、反馈　

获得对知识深人的理解，达到建构数学知识　

网络的目的．　

圈　圈　

图１　基于数学交流为核心的课堂教学过程　

２．３评价——检验数学理解程度的手段性　

要素　

数学课程标准指出，“数学评价的目的是　

为了全面了解学生的数学学习历程，激励学　

生的学习和改善教师的教学”Ｉ１　，“对数学学　

习的评价要关注学生学习的结果，更要关注　

他们学习的过程：要关注学生学习的水平，更　

要关注他们在数学活动中所表现出来的情感　

与态度，帮助学生认识自我，建立信心”．数学　

教学的目的之一是让学生掌握基本的知识和　

技能，当我们要确定学生对相应的内容是否　

实现理解，是否达到了教学目标的要求时，就　

应该通过各种各样的评价手段进行判断．　

提问是一种交流的方式，也是一种评价　

的手段．通过提问可以评价学生已经理解了　

什么．针对学生的初始回答进行连续的追问　

既能促进学生思考，同时也能发展学生的思　

维模式，因此提问就成为推动学生学会思考、　

学会学习的教学方式．为了能引导、完善学生　

的思考，教师必须仔细倾听学生的回答，利用　

他们的回答来指引他们的观点和他们对自身　

思考的理解．同时作业、考试、实验等也是检　

从上面的论述可以发现，倾听是促进数学　

理解的前提；交流是实现数学理解的工具；评　

价是检验数学理解的手段．在数学教学过程中　

三者相辅相成，共同促进学生的数学理解，形　

成了促进数学理解的三大基石（如图２）．　

图２倾听、交流、评价与数学理解关系图　

图中所反映的倾听、交流、评价与数学理　

解是一种闭合的回路系统，相互促进，共同推　

进数学理解力的提高．真实的数学教育活动　

就是在倾听、交流、评价要素的作用下促进数　

学理解，作为用心倾听的过程，相伴随的过程　

就是师生的话语交流、水平检测过程，是在问　

答、切磋、研讨、协商、评判的过程中达成理　

解．这里所说的数学话语交流绝不是独自或　

者走形式，不是只顾自的表达而不倾听他人　

意见的“聋子课堂”，也不是教师一味的课堂　

表达及学生的自由表达，否则数学教学就变　

成了“自说自话”的“嘈杂课堂”，失去了课堂　

教学真正的意义．这种回路系统是以数学理　

解为目的的，倾听要能使听者悟其味，言者倾　

其情，交流要使主体的数学理解充分的显露、　

评价要能使数学理解不断走向深入．因此，协　

调、夯实三大基石，调动各方因素，使数学教　

学能在一个绿色的环境下张扬个性、体验成　

功、交流分享、观点表达、智慧生成，使数学理　

６　数学教学研究　第３４卷第１期２０１５年１月　

解不断进入新的境界．　

３促进数学理解的路径探析　

促进数学理解必须有通达的路径，笔者　

认为要在设计环节、实施过程、反思评价中以　

数学理解为核心要素来进行设计与实施．　

３．１数学教学设计要以数学理解为基点　

不论是目标的确定，教学内容的分析、学　

情的掌握、重难点的探析、教学流程的构想以　

及板书的设计、情景的创设等设计环节中都　

要围绕着学生数学理解力的提升来进行．比　

如在目标的确定时，要以可操作的行为动词　

来表述教学要实现的目标，如说出某某概念　

的内涵、通过实习操作阐述解决问题的思路　

等；内容分析中要真实反映教师对教学内容　

理解的程度，要对所授内容中重要的数学话　

语、重要的数学思想方法、核心的数学精神透　

彻挖掘，这样才不会是课本知识的搬家，而是　

教师真正的在与作者对话交流、与学生分享　

数学的基础上的再创造性设计；教学流程的　

设计中一定要给倾听留有回味的时间、给交　

流创设适宜的场所、为评价提供丰富的机会，　

使得设计中的倾听有其位、交流有其归、评估　

有其用，充分发挥集体作用，使数学理解在设　

计中扎下根．　

３．２数学教学实施要以数学理解为核心　

通达数学理解的方式较多，但其核心的　

路径就是教学实施，在实施中才能把有效的　

倾听、高效的交流、科学的评价整合在一起．　

数学教学是通过设计的数学活动来进行的，　

数学活动不能离开听、说、议，有效的倾听能　

帮助学生博采众长，触类旁通，弥补自己考虑　

问题的不足；充分的交流能使隐性的思维过　

程显性化，通过交流重现思维，把非正式的、　

非线性的蕴藏在大脑的一些数学观念、数学　

认知通过数学表达显现出来，通过辩析，澄清　

一

些模糊的认识，加深对数学概念和原理的　

理解；及时的评论、检测能够维护与推进数学　

理解，完善认知结构，特别是教师、学生的眼　

神、动作、表情以及表扬和鼓励的言语等都能　

使理解产生新的意境．因此数学教学中教师　

要引导学生学会倾听，养成倾听的习惯，掌握　

倾听的方法，发自内心的去认真听别人发言、　

捕捉闪光点或不足之处，学会合理地评价他　

人的观点或想法；在教学中，决不能忽视交流　

与评价的力量，教师要将发言权、思考权、理　

解权、评判权交给学生，引导学生在倾听时关　

注别人的发言错误或不严密的地方，自己深　

入思考后随时准备补充或质疑，通过质疑、对　

话，把交流引向深入，把数学理解提升到一个　

新的境界．　

３．３数学教学评价要以数学理解的程度作　

为标准　

谁也不能忽视评价的力量，因为事实的　

好与坏、成与败必须有一个标准来评判，否则　

就无方向性和成功感．事实上，数学教学中的　

伪懂、伪会、伪理解、伪能处处存在，容易给教　

师、学生造成误解．最大的误区之一就是数学　

教科书我已看懂了、理解了，其实好多读者并　

没有从作者所呈现的话语中真正理解作者的　

意图，对概念、公式、例题、符号的理解以及对　

栏目设置的意图、思路、所蕴藏的思想方法等　

也缺乏一种透视力，被所谓理解的假象所蒙　

骗，也把所谓的懂了作为教学“放心”的安慰　

语．那么作为数学教学评价就要承担这种辨　

识与判断的重任．这种评价工具要以数学理　

解的程度作为标准，倡导多样的评价方式，创　

造合理的评价工具，科学使用评价用语，通过　

基于数学理解的透视，把学生对数学理解的　

真正程度显现出来，使评价发挥它在数学教　

学中的功效，进一步推进数学的理解程度．　

参考文献　

Ｅ１］　中华人民共和国教育部制订．全日制普通高级　

中学数学教学大纲Ｉ－Ｍ］．北京：人民教育出版　

社，２００２．　

（下转第１２页）　

１２　数学教学研究　第３４卷第１期２０１５年１月　

找出共性，归纳类比，从而抽象概况出本质特　

征，如图７．案例１中的问题４就是对问题１，　

２，３的总结．　

学生自主开阔的空间，并为学生的可持续发　

展提供动力．让学生在解决问题的过程中发　

现新问题，提出新问题，在问题解决的学习活　

动中调动学生的积极性，增强学生主动的参　

与意识．　

３．３创建高效课堂　

幽７　

“问题链”从基础出发，环环相扣，逐步推　

进，让各个层次的学生都有所收获，让不同的　

人得到不同的发展，承认学生个体的差异，既　

能让数学基础不太好的学习参与，也能体现　

基础较好的学生的发展，甚至可以引发学生　

课外继续研究的兴趣．　

参考文献　

３“问题链”的作用　

波利亚曾指出：“当我们成功地解决了一　

个好问题以后，我们应当去寻找更多的好问　

题．好问题同某种蘑菇有些想像，它们都成堆　

地生长．找到一个以后，你应当在周围找找；　

很可能在附近就有几个”．好的“问题链”的设　

计，对于课堂教学主要有以下３个作用：　

３．１学法导向作用　

［１］余继光．问题串、变式串、解法串［Ｊ］．中小学数　

学（高中版），２０１１，（１／２）：３４—３８．　

一

苏霍姆林斯基说：“在人的心灵深处，有　

个根深蒂固的需要，希望自己是一个发现　

［２］余继光．数学问题串的结构与设计策略［Ｊ］．中　

国数学教育（高中版），２ｏ１２，（１／２）：４０—４２，４５．　

者、研究者、探索者．”根据学生这一心理特　

点，设计有启发性的“问题链”，将知识讲授的　

［３］卓斌．例谈数学教学中问题串的设计与使用　

　．

［Ｊ］．数学通报，２ｏ１３，（６）：４０—４３．　

［４］严士健，王尚志．普通高中课程标准实验教科　

书数学必修５［Ｍ］．北京：北京师范大学出版　

社，２０１０．　

环节变为学生主动探究发现新知识的过程，　

以问促思，以思促，促进学生不断地再思再问．　

３．２诱发学生思维　

“问题链”设计可让学生带来收获走进课　

堂，带着种种疑问和困惑挑战课堂，应留有让　

（上接第６页）　

［２］李淑文，张同君．“超回归”数学理解模型及其　

启示［Ｊ］．数学教育学报，２００２，１１（１）：２１—２３．　

［３］喻平．知识分类与数学教学［Ｊ］．数学通报，　

２０００，（１２）：１２—１４．　

［５］孙居国．以问题为中心引领教学以思维为核　

心促进发展［Ｊ］．中学数学教学参考（上旬），　

２ＯｌＯ，（１１）：５２—５６．　

［９］邵光华．关于两项样例学习心理实验研究报告　

的分析与评论［Ｊ］．心理学报，２００４，（２）：２４０－　

２４６．　

［１ｏ］张明慧，邵光华．数学学习中的记忆与理解　

［Ｊ］．曲阜师范大学学报，２００５，３１（４）：１２５．　

Ｅｌ１］邝孔秀．“理解是第一位”吗ＥＪ］．数学教育学　

报，２０００，９（３）：９５－９９．　

［４］陈琼，等．试论数学学习中的理解学习［Ｊ］．数　

学教育学报，２００３，１２（１）：１７—１９．　

［５］［美］Ｄ．Ａ格劳斯．数学教与学研究手册［Ｍ］．　

陈昌平等译．上海：上海教育出版社，１９９９．　

［１２］　张定强，杨红．高一学生数学倾听现状的调查　

与分析［Ｊ］．数学教育学报，２００８，１７（４）：３０—　

３２．　

［６］李士绮．数学教育心理学［Ｍ］．上海：华东师范　

大学出版社，２００１．　

［７］　吕林海．数学理解之面面观［Ｊ］．中学数学教学　

参考，２００３，（１２）：１－４．　

［８］　王光明，魏芙蓉．数学教学效率论（实践篇）　

［Ｍ］．天津：新蕾出版社，２００６．　

［１３］　中华人民共和国教育部．普通高中数学课程　

标准（实验）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，　

２００４．