2024年4月16日发(作者：益新九下数学试卷)
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一、人体重变化
某人的食量是10467焦/天，最基本新陈代谢要自动消耗其中的5038焦/天。
每天的体育运动消耗热量大约是69焦/（千克• 天）乘以他的体重（千克）。假
设以脂肪形式贮存的热量100% 地有效，而1千克脂肪含热量41868焦。试研究
此人体重随时间变化的规律。
一、 问题分析
人体重W（t）随时间t变化是由于消耗量和吸收量的差值所引起的，假设人体重随时
间的变化是连续变化过程，因此可以通过研究在△t时间内体重W的变化值列出微分方
程。
二、 模型假设
1、 以脂肪形式贮存的热量100%有效
2、 当补充能量多于消耗能量时，多余能量以脂肪形式贮存
3、 假设体重的变化是一个连续函数
4、 初始体重为W
0
三、 模型建立
假设在△t时间内：
体重的变化量为W（t+△t）-W(t)；
身体一天内的热量的剩余为（10467-5038-69*W（t））
将其乘以△t即为一小段时间内剩下的热量；
转换成微分方程为：d[W(t+△t)-W(t)]=(10467-5038-69*W(t))dt；
四、 模型求解
d(5429-69W)/(5429-69W)=-69dt/41686
W(0)=W
0
解得：
(-69t/41686)
5429-69W=（5429-69W
0
）e
即：
(-69t/41686)
W（t）=5429/69-（5429-69W
0
）/5429e
当t趋于无穷时，w=81;
二、投资策略模型
一、 问题重述
一家公司要投资一个车队并尝试着决定保留汽车时间的最佳方案。5年后，它将卖出所
有剩余汽车并让一家外围公司提供运输。在策划下一个5年计划时，这家公司评估在年
i
的开始买进汽车并在年
j
的开始卖出汽车，将有净成本a
ij
（购入价减去折旧加上运营和维
修成本）。以千元计数a
ij
的由下面的表给出：
a
ij
年2 年3 年4 年5 年6
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年1
年2
年3
年4
年5
4
6
5
9
7
6
12
11
8
8
20
16
13
11
10
请寻找什么时间买进和卖出汽车的最便宜的策略。
二、 问题分析
本问题是寻找成本最低的投资策略，可视为寻找最短路径问题。因此可利用图论法分析，
用Dijkstra算法找出最短路径，即为最低成本的投资策略。
三、 条件假设
除购入价折旧以及运营和维护成本外无其他费用；
四、模型建立
二
5
11 7 三 6
4
16
6 13 8 四
一 9
12 8 11
20
五
10
六
运用Dijikstra算法
1 2 3 4 5 6
0 4 6 9 12 20
6 9 12 20
9 12 20
12 20
20
可发现，在第二次运算后，数据再无变化，可见最小路径已经出现
即
在第一年买进200辆，在第三年全部卖出，第三年再买进200第六年全部卖出。
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