(完整版)定积分知识点汇总

2024年4月13日发(作者：息县小升初数学试卷)

(完整版)定积分知识点汇总

定积分是高中数学教学的重点难点之一，也是高数的基础知识。我们通过汇总定积分

的相关知识点，帮助同学们更好地掌握定积分的相关知识，以便在考试中取得好的成绩。

一、定积分的定义

定积分是对函数在一定区间上的积分，也就是函数在此区间上的面积。

1. 定积分与区间的选取无关，即如果函数在 $[a,b]$ 上是可积的，则定积分

$int_a^b f(x) mathrm{d}x$ 的值是唯一的。

2. 定积分具有可加性，即对于任意的 $c in [a,b]$，有 $int_a^b f(x)

mathrm{d}x = int_a^c f(x) mathrm{d}x + int_c^b f(x) mathrm{d}x$。

三、定积分的求解方法

1. 函数曲线与坐标轴相交的情况：

对于函数曲线与 $x$ 轴相交的区间，可以根据定义式直接求出该区间内的面积。对

于函数曲线与 $y$ 轴相交的区间，则要将积分区间平移后，再根据定义式计算面积。

2. 利用基本积分法和牛顿-莱布尼茨公式：

可以利用基本积分法求出一个函数的原函数，然后利用牛顿-莱布尼茨公式，即

$int_a^b f(x) mathrm{d}x = F(b) - F(a)$，其中 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。

3. 利用换元积分法：

换元积分法是利用一些特殊的代换，将积分式转化为某些基本形式的积分。常见的代

换包括：$u=g(x), x=h(u)$ 和 $mathrm{d}u = f(x) mathrm{d}x$。

分部积分法是将原积分式做一个变形，转化成两个积分乘积的形式，从而更容易求解。

5. 利用定积分的对称性：

如积分区间对于 $0$ 对称，或者函数具有四象限对称性等，可以根据对称性减少计

算量。

1. 几何应用：

用定积分可以求解函数曲线与坐标轴围成的图形的面积、体积和质心等几何特征。

利用定积分可以求解质点运动的速度、加速度、位移和质量等物理量。

用定积分可以计算某段时间内的平均收益率、复利等金融问题。

用定积分可以计算某变量在某时刻、一段时间、一定空间内所占比例等统计问题。