定积分怎么求原函数

2024年4月13日发(作者：百色中考数学试卷2022)

定积分怎么求原函数

在高中数学中，我们学习了积分的概念和性质。其中，定积分

是一个重要的概念，它可以用来计算曲线下的面积、求解物理问题

等。然而，在实际应用中，我们经常需要求解定积分的反函数，也

就是原函数。那么，定积分怎么求原函数呢？本文将从基本积分公

式、换元积分法、分部积分法等方面来探讨这个问题。

一、基本积分公式

基本积分公式是求解定积分的基础。它包括一系列常见函数的

积分公式，如常数函数、幂函数、指数函数、三角函数等。我们可

以通过查表或者记忆这些公式，来求解定积分的原函数。

常数函数的积分公式为：∫kdx=kx+C，其中k为常数，C为任

意常数。

幂函数的积分公式为：∫xdx=（x/（n））+C，其中n不等于-

1。

指数函数的积分公式为：∫edx=e+C。

三角函数的积分公式包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

其中，正弦函数的积分公式为：∫sinxdx=-cosx+C；余弦函数的积

分公式为：∫cosxdx=sinx+C；正切函数的积分公式为：∫tanxdx=-

ln|cosx|+C。

通过这些基本积分公式，我们可以求解一些简单的定积分的原

函数。但是，对于一些复杂的函数，这些基本积分公式就不够用

了。这时，我们需要运用其他的积分方法来求解原函数。

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二、换元积分法

换元积分法是求解定积分的重要方法之一。它的基本思想是将

被积函数中的某个部分用一个新的变量来代替，从而转化为一个更

容易求解的积分形式。

具体来说，设y=f（x）是一个一阶可导函数，且f（x）的导数

f\'（x）在积分区间上连续。对于被积函数g（x），如果存在一个可

导的函数u=f（x），使得g（x）=h（u）f\'（x），那么，我们可以进

行变量代换u=f（x），从而将原积分转化为∫h（u）du的形式，进

而求解出原函数。

举个例子，设被积函数为g（x）=xe，我们可以将e看成一个

整体，令u=x，从而得到g（x）=edu/dx。代入积分公式，得到原函

数为∫edu=e+C。

需要注意的是，换元积分法的关键在于选择合适的变量代换。

如果选错了变量，可能会导致积分难以求解，甚至无法求解。因

此，在运用换元积分法时，需要灵活运用数学知识，选择合适的变

量代换。

三、分部积分法

分部积分法是求解定积分的另一种常用方法。它的基本思想是

将被积函数中的某个部分进行分解，从而得到一个更容易求解的积

分形式。

具体来说，设u（x）和v（x）是两个可导函数，那么，对于被

积函数g（x）=u（x）v\'（x），我们可以将其分解为g（x）=（u

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（x）v（x))\' - u\'（x）v（x）。从而得到原函数的求解公式为∫u

（x）v\'（x）dx= u（x）v（x）-∫u\'（x）v（x）dx。

举个例子，设被积函数为g（x）=xsinx，我们可以将其分解为

g（x）=x（-cosx）\' - （-cosx）x\'。代入积分公式，得到原函数

为∫xsinxdx= -xcosx + sinx + C。

需要注意的是，分部积分法的关键在于选择合适的u（x）和v\'

（x）。如果选错了函数，可能会导致积分难以求解，甚至无法求

解。因此，在运用分部积分法时，需要灵活运用数学知识，选择合

适的函数。

综上所述，定积分怎么求原函数，不仅仅是记忆基本积分公

式，更需要灵活运用换元积分法和分部积分法。只有掌握了这些方

法，才能更好地解决实际问题，提高数学能力。

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