高中数学定积分

2024年4月13日发(作者：中职单招单考数学试卷)

（一）.关于原函数与不定积分概念的几点说明

1. 原函数与不定积分是两个不同的概念，它们之间有着密切的联系。对于定义在某个区间上

的函数f（x），若存在函数F（x），使得该区间上的每一点x处都有

F

/

（x）=f（x），则称F（x）是f（x）在该区间上的原函数。而表达式F（x）+C（C为任意

常数）称为f（x）的不定积分。

2. f（x）的原来函数若存在，则原函数有无限多，但任意两个原函数之间相差某个常数。因

此求f（x）的不定积分∫f（x）dx时，只需求出f（x）的一个原函数F（x），再加上一个

任意常数C即可，即∫f（x）dx = F（x）+C。

3. 原函数F（x）与不定积分∫f（x）dx是个体与全体的关系，F（x）只是f（x）的某个原

函数，而∫f（x）dx是f（x）的全部原函数，因此一个原函数只是加上任意常数C后，即

F（x）+C才能成为f（x）的不定积分。例如x

2

+ 1，x

2

-3，x

2

+12都是2x的原函数，但都

不是2x的不定积分，只有x

2

+ C才是2x的不定积分（其中C是任意常数）。

4. f（x）的不定积分∫f（x）dx中隐含着积分常C，因此计算过程中当不定积分号消失后一

定要加上一个任意的常数C。

5. 原函数存在的条件：如果函数f（x）在某区间上连续，则在此区间上f（x）的原函数一

定存在。由于初等函数在其定义域区间上都是连续的，所以初等函数在其定义区间上都有原

函数，值得注意的是，有些初等函数的原函数很难求出来，甚至不能表为初等函数，例如下

列不定积分

∫ dx ∫

都不能“积”出来，但它们的原函数还是存在的。

（二）换元积分法的几点说明

换元积分法是把原来的被积表达式做适当的换元，使之化为适合基本积分公式表中的某一形

式，再求不定积分的方法。

1. 第一换元积分法（凑微分法）：

根据一阶微分形式的不变性，若

dF（u）=f（u）du

则

dF（u（x））=f（u）du

利用不定积分与微分的互逆关系，可以把它转化为不定积分的换元公式：

∫f[u（x）]du（x）= ∫f（u）du （ 令u = u（x））

= F（u）+ C （ 求积分）

= F（u（x））+ C （ 令 u = u（x））

在具体问题中，凑微分要根据被积函数的形式特点灵活运用。

2. 第二换元积分法：令x=φ（x），常用于被积函数含

或 等形式。

3. 同一个不定积分，往往可用多种换元方法求解，这时所得结果在形式可能不一致，但实质

上仅相差一常数，这可通过对积分结果进行导运算来验证。

（三）关于积分形式不变性

如果∫f（x）dx=F（x）+C，那么有∫f（u）du=F（u）+C，其中

u =Φ（x）是x的可微函数。这个道理说明：

（1）.积分变量x无论是自变量，还是中间变量，积分公式的形式不变，这一特性叫做积分

形式不变性。

（2）.根据这个定理，基本积分公式中的x既可以看作是自变量，也可以看作是函数（可

微函数），因此基本积分公式中的公式应用范围就扩大了。

（四）分部积分法

设u=u（x），v=v（x）是可微函数，且u

/

（x）v（x）或u（x）v

/

（x）有原函数，则有分部

积分公式：

∫u（x）v

/

（x）dx=u（x）v（x）-∫v（x）u

/

（x）dx

或 ∫udu = uv - ∫vdu

当被积分函数是两个函数的乘机形式时，如果用以前的方法都不易计算，则可考虑用分部积

分法求解。显然，用分部积分法计算不定积分时，关键是如何恰当的选择谁做u，谁做v

/

。

如果选择不当，就有可能求不出积分的结果或者计算很困难，一般说来选择u和v

/

的原则是：

1. 根据v

/

容易求出v；

2. ∫vu

/

dx要比∫u v

/

dx容易计算。

（五）关于定积分的定义

由定积分的定义可以看出，定积分是一个数值，这个数值与被积函数f（x）及积分区间

[a，b]有关，与区间[a，b]的分法和点的取法无关，而且与积分变量用什么字母也无关，所

以有

f（x）dx= f（t）dt = f（u）du

函数f（x）在[a，b]上可积的条件与f（x）在[a，b]上连续或可导的条件相比是最弱的条件，

即f（x）在[a，b]上有以下关系：

可导 连续 可积

反之都不一定成立。

（六）有关定积分的性质

在定积分的性质中，除了类似于不定积分的线性性质以外，还要记住下列基本公式：

f（x）dx = - f（x）dx

f（x）dx=0

1dx = b- a

定积分关于积分的区间的 可加性是一个很重要并且在计算定积分时常用的性质，即，

f（x）dx + f（x）dx = f（x）dx

（七）关于牛顿- 莱布尼茨公式

牛顿-莱布尼茨公式不仅在定积分这部分内容中，而且在整个微积分学中都是一个重要的

结论，主要表现在以下方面：

1. 当被积函数连续时定积分的计算可通过求原函数来进行：

若F（x）是f（x）的一个原函数，则

f（x）dx =F（b）- F（a）

因此这个公式揭示了定积分与不定积分的本质联系。这种本质的联系还可以由下列两个公式

来阐明：

f（x）dx = f（x）

f（t）dt = f（x）