如何证明sinx的n次方的定积分公式

2024年4月13日发(作者：信阳高考数学试卷分析题)

如何证明sinx的n次方的定积分公式

1. 引言

在高中数学教学中，我们经常接触到一类特殊的函数——三角函

数。其中，正弦函数sinx是一个非常重要的函数之一。尤其是它的n

次方函数sin^n x，是许多数学应用领域中的重要工具。本篇文章将会

着重介绍和证明sin^n x的定积分公式，为学习和掌握这一定积分公

式的数学爱好者提供帮助。

2. 公式介绍

对于一个正整数n，我们定义sin^n x为sin x自乘n次的结果，

即:

sin^n x = (sin x)^n

其中n为正整数。

我们考虑求解sin^n x的定积分公式，即：

∫sin^n x dx

这里需要注意的是，这里的n是一个正整数，而不是一个小数或

负数。

3. 积分公式的证明

我们将证明的是如下的公式：

当n为奇数时，

∫sin^n x dx = -1/(n*cos(π/n)) * (sin^(n-1) x) * cosx +

C

当n为偶数时，

∫sin^n x dx = (n-1)/(n*cos(π/n)) * ∫sin^n-2 x dx -

sin^(n-1) x * cosx / (n*cos(π/n)) + C

其中C为积分常数。

在证明过程中，我们需要运用一些三角函数的公式，如sin^2 x +

cos^2 x = 1等等。

3.1 n为奇数时的证明

我们首先假设n为奇数，即n=2k+1，其中k为正整数。

我们可以将sin^n x写成(sin^2 x) ^ k * sin x，即：

sin^n x = (sin^2 x) ^ k * sin x

又因为sin^2 x = 1 - cos^2 x，所以我们可以把sin^n x表示成：

sin^n x = (1 - cos^2 x) ^ k * sin x

这里需要运用二项式定理展开式子，得到：

sin^n x = (1 - cos^2 x) ^ (k-1/2) * sin x * (1 - cos^2 x)

然后，我们对sin^n x求导：

((sin^n x)\') = n * (sin^(n-1) x) * cosx

接着，我们把这个导数代入到积分公式中，得到：

∫sin^n x dx = -1/n * ∫(sin^(n-1) x) * cosx dx

现在，我们又需要运用一个三角函数公式：

cos(π/(2n)) = cos(π/n) / 2^(1/2)

利用这个公式，我们把cosx表示为sinx的函数，得到：

cosx = 2^(1/2) * cos(π/n) * sin(π/(2n)) / cos(π/(2n))

接着，我们把cosx代入到原式中，得到：

∫sin^n x dx = -1/n * ∫(sin^(n-1) x) * cos(π/n) *

sin(π/(2n)) / cos(π/(2n)) dx

这时候，我们进行一次换元，令t = sin^(n-1) x，得到：

∫sin^n x dx = -1/n * cos(π/n) * sin(π/(2n)) /

cos(π/(2n)) * ∫t^(1/n-1) * dt

这个积分式可以通过代入公式，再次换元，来得到最终的结果：

∫sin^n x dx = -1/(n*cos(π/n)) * (sin^(n-1) x) * cosx +

C

3.2 n为偶数时的证明

我们再来考虑n为偶数的情形，即n=2k，其中k为正整数。

与求解n为奇数的情形一样，我们可以将sin^n x表示为(sin^2

x) ^ k的形式，即：

sin^n x = (sin^2 x)^k

同样，因为sin^2 x = 1 - cos^2 x，所以:

sin^n x = (1 - cos^2 x)^k

接着，我们对sin^n x求导：

((sin^n x)\') = n * (sin^(n-1) x) * cosx

将导数代入到积分公式中，得到：

∫sin^n x dx = -1/n * ∫(sin^(n-1) x) * cosx dx

接下来，我们需要利用第一类欧拉积分公式进行变换，即：

∫(sin^(n-1) x) * cosx dx = -1/(n-1) * sin^(n-1) x * cosx

+ (n-2)/(n-1) * ∫sin^(n-2) x dx

将这个公式代入到上面的积分式中，得到：

∫sin^n x dx = (n-1)/n * ∫sin^(n-2) x dx - sin^(n-1) x *

cosx / (n*cos(π/n)) + C

其中，我们又用到了cos(π/n)的值和前面的结论。

4. 结论和应用

通过上面的证明，我们可以得到sin^n x的定积分公式，不仅能

够帮助我们在数理统计、物理学、工程学等领域中解决一些实际问题，

而且也有深刻的数学意义。对于数学爱好者来说，学习和掌握这一公

式，有利于提高我们对三角函数的认识和理解，同时也增加了我们对

积分方程解法的研究和探索意义。