等离子体双极Euler—Maxwell方程组的松弛极限

2023年12月14日发(作者：数学试卷编排格式)

数学物理学报　２０１１，３１Ａ（６）：１５４３—１５４９　ｈｔｔｐ：／／ａｃｔａｍｓ．ｗｉｐｍ．ａｃ．ｃｎ　等离子体双极Ｅｕｌｅｒ—Ｍａｘｗｅｌｌ方程组的松弛极限　王术　杨建伟　。王卫　（　北京工业大学应用数理学院　北京１００１２４；　０华北水利水电学院数学与信息科学学院　郑州４５００１１　０中国石化石油工程技术研究院　北京ｉ００１０１）　摘要：研究等离子体双极Ｅｕｌｅｒ．Ｍａｘｗｅｌｌ方程组的零松弛时间极限．对于好的初值，借助　Ｍａｘｗｅｌｌ迭代和能量方法，证明　ｒ当松弛时间趋向于零时，双极Ｅｕｌｅｒ—Ｍａｘｗｅｌｌ方程组周期　初值问题的解到漂流扩散方程组周期初值问题解的收敛性．　关键词：Ｅｕｌｅｒ—Ｍａｘｗｅｌｌ方程组；松弛极限；漂流扩散方程组．　ＭＲ（２０００）主题分类：３５Ｂ４０；３５Ｃ２０；３５Ｌ６０　中图分类号：Ｏ１７５．２９　文献标识码：Ａ　文章编号：１００３—３９９８（２０１１）０６—１５４３—０７　１　引言　本文研究下列尺度化的等离子体物理科学中Ｅｕｌｅｒ—Ｍａｘｗｅｌｌ方程组［１－２】的松弛极限问　题　＋ｉｖ－（礼。札　）＝０，　＝ｅ，　，　—啪　Ｖ’　ａｕ，￣Ｇ＿）ｎａ）＋ｌｖｐ　ｎ　丁×Ｂ一　×Ｅ一０．　（脚　）＿　，（１）　ＯｒＥ～　ＯｒＢ＋　－ｎｉＵｉ），　．Ｅ＝ｎ　一礼。，　．Ｂ：０．　这里ｎ　、ｕ。（相应地ｎｉ、Ｉ￣ｉ）分别表示电子（离子）的密度和平均速度向量，Ｅ、Ｂ分别表　示电场和磁场．它们都是三维空间变量Ｘ∈Ｔ和时间变量ｔ＞０的函数，其中Ｔ是一个三　维环．ｐ。ｎ。）、ｐｉ（ｎｉ）是从（０，ＣＯ）到（０，。。）上严格递增且光滑的压力一密度函数．　对动量方程运用Ｍａｘｗｅｌｌ迭代　礼　ｆ上　＝一Ｔｐ　ｎＱ）＋Ｔｑ　ｎｄ（Ｅ＋　ｄ×Ｂ）一下　．（礼ａｕＱ）一Ｔ２　（礼　ｒ“　）　＝一７＂ｐｎ　ｎ　）＋Ｔｑａ凡　Ｅ＋Ｏ（Ｔ　），　＝ｅ，ｉ．　收稿日期：２００９—０９—２２；修订日期：２０１１—０８—１０　Ｅ—ｍａｉｌ：ｗｗｓｙｓ＠ｓｉｎａ．ｃｏｍ；ｙａｎｇｊｉａｎｗｅｉ＠ｎｃｗｕ．ｅｄｕ．ｃｎ；ｗａｎｇｓｈｕ＠ｂｊｊｕｔ．ｅｄｕ．ａｎ　（２）　基金项目：国家自然科学基金（１１０７１００９）资助　１５４４　数学物理学报　Ｖｌ０１．３１Ａ　将截断ｎ　“　＝一９．ｐ　（ｎ　）＋ｒｑ　礼　Ｅ代入质量方程（１）１，并令下一０得到下述双极的漂　流扩散方程　Ｉ　Ｏｔｎ　＝Ａｐ　（ｎｆ　）一Ｖ・（ｑａｎ　Ｅ），　《Ｖ×Ｂ＝０，　．Ｂ＝０，　【Ｖ×Ｅ＝０，　＿Ｅ＝ｎｉ—ｎｅ．　这是因为Ｖ×Ｂ＝０，Ｖ．Ｂ＝０我们可以取Ｂ＝０，并且由于　×Ｅ＝０蕴含着存在一个位　势函数西使得Ｅ＝一　．　设漂流扩散模型（３）有一个具有初值为ｎ。（０，Ｘ）的光滑解（礼　，Ｅ）．我们为（１）式的解　（礼　，ｕ　，Ｅ　，Ｂ　）构造具有以下初值　札。（０，　）：礼　ｏ（　），　（０，　）：７－ｑ　Ｅ（０，　）一二　，　Ｕ　（３）　（４）　的一个形式近似解　（佗　，乱　，Ｅ－ｒ，Ｂ　）＝（ｎ　，一７－　ｐ　（ｎ　）＋ｒｑ　ｎ　Ｅ，Ｅ，０）．　接下来，我们将用能量方法证明在（ｎ　，　∈Ｈ　（　），ｓ＞　５，能表示为　（５）　，　，Ｂ　）存在的有限时间区间内（凡三，　三，Ｅ　，Ｂ　）　（ｎ　，ｕ　，Ｅ　，Ｂ　）＝（礼　，ｕ　，ＥＴ，Ｂ　）＋Ｏ（ｒ）．　（６）　进一步，我们的结论表明，如果双极的漂流扩散模型（３）存在整体光滑解，并且ｎ。有一个　正的下界，那么对任意的Ｔ＞０，存在７０＞０，当７－＜７０时，使得双极Ｅｕｌｅｒ—Ｍａｘｗｅｌｌ方程　组在『０，Ｔ］存在唯一的光滑解．近年来，对Ｅｕｌｅｒ—Ｐｏｉｓｓｏｎ方程组零松弛时间极限的研究已经　有了很多结果［ａ－４］，而对Ｅｕｌｅｒ—Ｍａｘｗｅｌｌ方程组这个极限的研究目前还没有任何结果．文献　［５］和文献［６】分别研究了Ｅｕｌｅｒ—Ｍａｘｗｅｌｌ方程组的非相对论极限和拟中性极限，分别证明了　其到可压的Ｅｕｌｅｒ—Ｐｏｉｓｓｏｎ和不可压的Ｅｕｌｅｒ方程组的收敛性．本文则研究了等离子体双极　Ｅｕｌｅｒ—Ｍａｘｗｅｌｌ方程组的零松弛时间极限．借助Ｍａｘｗｅｌｌ迭代和能量方法，证明了当松弛时　间趋向于零时，双极Ｅｕｌｅｒ—Ｍａｘｗｅｌｌ方程组周期初值问题的解到漂流扩散方程解的收敛性，　从而严格证明了Ｅｕｌｅｒ—Ｍａｘｗｅｌｌ方程组到漂流扩散方程组的形式推导．　２基本准备　现在，我们将（１）式写成对称的双曲系统．为此，我们引入焓ｋ（ｎ　），　＝ｅ，ｉ，满足　ｎ　＾　（礼　）＝ｐ　（ｎ。），　（１）＝０，亿　＞０．　（７）　因为ｐ　（ｎ　）是严格单增的光滑函数，从而　（ｎ　）也是严格单增的光滑函数，从而ｋ（ｎ　）　存在反函数死。＝扎　（ｋ）．令　（ｋ）＝ｐ　（ｎ　（ｋ）），于是，系统（１）等价于　（　＾。＋　ｕｓ．Ｖｈ￣）＋＿丁１　Ｖ‰－ｏ　＝－　，　Ｏｔｕａ　ｑ－　Ｅ—ｉｖ下　＋　（ｎ０）＝等（　×Ｅ：０，　．Ｂ：０，　×Ｂ）一　，　『８１　×Ｂ：　（ｎ　。～他　ｕｉ），　．Ｅ：ｎｉ一凡　，　７－　ＯｒＢ＋　Ｎｏ．６　王术等：等离子体双极Ｅｕｌｅｒ—Ｍａｘｗｅｌｌ方程组的松弛极限　１５４５　Ｓ　或者　ＯｔＷ＋　１∑３　（　）巩　：　（　）　（９）　Ｕ　一，　ｊ＝１　其中　十　ｄｉａｇ（ｕｅｊＩ４＋Ａ２Ｃ｛１ｕ￣ｊＩ４＋Ａ　Ｃｉ　Ｄｊ）　Ｅ　Ｕ　日　×　ｌ（Ｅ＋ｕＢ　ｉ　Ｘ　Ｂ）　Ｕｉ　（ｎｅＵｅ－ｎｉＵｉ　）Ｔ　这里　Ａ　—　Ｏ　ｇ（　，　）一－ｅ　，＝０　，Ｄｊ：０　０　，３　Ｂ　＝（ｉ　ｉ），Ｂｚ＝（；ｉ　），Ｂ。＝（÷　ｉ）　３形式逼近　设（礼　，Ｅ）是双极漂流扩散模型（３）的解，由Ｅ＝一　知一△　＝ｎｉ一他　，于是可得　Ｅ—　＝Ｖ△一　（ｎ　—ｎ　）　（１０）　这里Ｖ／ｘ　是　（ｒⅡ＇）上的有界线性算子．因此，由Ｍａｘｗｅｌｌ迭代得　（礼　，　）＝ｎｏ：，Ｔｑ￣ＶＡ　一　）　（１１）　定义　Ｈａ：　兰　！±（　二：　２　竺！　二　丁　＝（　十（ｑ　△一　（佗　—ｎ　）一Ｖｈ　）・　）（ｇ　△一　（礼ｉ—ｎ　）一Ｖｈ　），　＝ｅ，ｉ．　（１２）　Ｊ【，　ＯｔＵａｒ－￣－（下ｌ　ｈ（ｕ￣ｃ￣－ｖ　．ｑＶ－　ｒ　＋。　　而　，ｒ）＋１‰）丁Ｖ・＝札　　＝。，　＝ｅ，　，　一　＋ｒ巩　（１３）　关于（咒　，Ｕｏ￣，ｒ），我们有以下存在性和正则性结果．　弓Ｉ理１　设ｓ＞　，ｓ∈Ｎ，侣！设佗　（０，　）∈Ｈ　＋　，ｎ　（０，Ｘ）　＞０，ＯＬ＝ｅ，ｉ，男Ｊｊ么　漂流扩散方程组（３）以ｎ　（０，　）为初值的周期初值问题存在整体光滑解（礼。，ｕ　，Ｅ，Ｂ）：　（凡　，　，　△一　（礼　一佗　），０）满足　礼。∈ｎ　（［０　“　），佗　≥　０　（１４）　１５４６　数学物理学报　Ｖ０１．３１Ａ　进一步　∈ｎ　（［０，　］；Ｈ　一　），巩∈　（［０，　］；日　）・　去．　（　５）　证明同于有界区域上漂流扩散方程组的初边值问题解的存在性和正则性结论Ｉ７】１在此略　４　主要结果及证明　下面给出本文的主要结果．　定理１设ｓ＞；，ｓ∈Ｎ，Ｐ　∈Ｃ。。（０，＋。。），ｐ　（礼　）＞０，又设漂流扩散方程组（３）有一个　解（ｎ。，ｎｔ）∈ｎ　Ｃ　（［０，　】；Ｈ　＋。　），且有正的下界．　那么，对充分小的丁，具有下列周期性初值的双极Ｅｕｌｅｒ—Ｍａｘｗｅｌｌ方程组（８）或（９）　（ｈ　，ｕ　，Ｅ，Ｂ）（０，　）＝（ｈ　（ｎ　（０，　）），Ｔｑ　Ｅ（ｏ，ｚ）一下ｈ　（仉ａ（０，　）），Ｅ（Ｏ，　），０）　有唯一的一个解（ｎ　，　“　９－，Ｅｒ，Ｂ　），而且存在一个不依赖于丁但依赖于　＜。。的常数Ｍ，使　得　ｓｕｐ　１ｌ（礼三一ｎ　，　９－一“　，Ｅ　一　，Ｂ　）ＩＩＨｓ（　ｓ）　ＭＴ，　ｔＥ［Ｏ，　】　（１６）　其中，Ｅ（ｏ，　）＝ＶＡ一　（ｎ　（０，Ｘ）一ｎ。（０，　））．　证记『０，　１是对称的双曲系统（８）或（９）的解存在的最大区间，取Ｔ＝ｍｉｎ｛Ｔ．，　）・　令　＝（　：一ｈ　，　９－一，ｆ上　，　一九打，Ⅱ　Ｔ—Ｕｉｒ，Ｅ　一Ｅｇ－，Ｂ　）　（　，　ｕｅ，　，　，　Ｅ，　Ｂ），　（１７）　：则　满足　３　４　３　＋　∑Ａｊ（Ｗ　）　，　＝∑Ｆ　＋　∑（Ａｊ（Ｗｇ－）一Ａｊ（Ｗ　））巩，　・其中　Ｗ　＝（ｆ　９　－９－　ｉ，ｕｉ，ＥｇＥ　Ｂ　－，Ｂｇ－）Ｔ，：（１８）　：（（　　，　ｅ　Ｕｅ　，　ｉｒ，　ｉｒ，　，ｕＪＥＴ，。）　，　Ｅ＋ｕ　×　Ｂ＿丁　１Ｏｊ　ｏｊ０，　Ｆ　：一　（　，　，０７０）　，Ｆ２：一　Ｆ３＝一　（０，０，０，皿Ｅ＋札　×　Ｂ一７＿。Ｈｉ　０，０）Ｔ，　Ｆ　＝一　（０，０，０，０，礼９－　９－）ｕ　—ｎ９－　＂。７＂）ｕ９ｅ－—ｆ，ｔ　，０）　・　易知　臼＝　满足　＋　Ａｊ＋　∑　（Ｗ　））巩，　卢：∑　　卢　∑　（１９）　１　＝１　Ｎｏ．６　王术等：等离子体双极Ｅｕｌｅｒ—Ｍａｘｗｅｌｌ方程组的松弛极限　１５４７　为了更清楚地证明定理，分以下两个引理表述　引理２在定理１的条件下，有　ｄｔＨ（　）ｄ　＋　ｌｌ（　卢ｕｅ，　）１　１。　２（１ｌ　ｅ…ｌ　ｌｌ＋ｌ『　…ｌ昭ｌｌ＋ｌ　ｌ＋　丁Ｊ　０　ｌ１）　（２０）　厂（ＩＶ．ｕ　Ｉ＋ｌｖ．札　ｌ）Ｉ　卢ｌ。ｄ　＋　ｌ　ｌ卢…ｌ　ｌ１．　这里日（　口）＝　’Ａ石（　，九　）皿芦．　证因为　＝ｄｉａｇ（Ａ　０（　），　４　ｏ（　），Ｉ６）和　两边同乘以２　得　＝Ａ＇￣Ａｊ（Ｗ　）是对称的矩阵，（１９）式　Ｈ（　＋　’　妻（＝　１　　也，＝＝２　南＝５　１　＋　、　＋　Ｔ喜　Ｊ＝１　，（　））　（２１）　２　４　显然　日　一　２（１　“　１　＋ｌ　“　ｌ　），　２∑　￣　ＩＴ　Ａｖ　Ｌ＂，ｋ　：　２（Ｉｖ“　ｌ＋　ｋ＝２　ｌ＋　ｉｉ￣１）・　另外，因为ｎ　有正的下界，所以存在正数０，ｂ（０＞６）使得　∈［　，６］，所以　２Ｖ￣Ａ；　ｌ　…１ｌ　ｌ１　．（２２）　最后，由链式求导法则和（８）式中关于ｈ　的方程得　３　＋　）　ａｉａｇ（　（　＋　喜札　）＋　３　，　（　十蠹　）＋睾　ｏ，ｏ）　（　＋　３　）　　‘。　（２３）　ｄｉａｇ（　・ｕ　（Ａ。。一９。（ｈ：）Ａ　。（ｈ　））＋　，“　（　ｔ。一ｇｉ（　）Ａ：。（九　）），０，０）　从而，我们有　由上述估计，对（２１）式在Ｔ上积：分可得引理２．　对于引理２中不等式的右边，我们有如下引理　ｌ　１５４８　引理３令Ｄ＝Ｄ（　）＝　数学物理学报　Ｖｏ１．３１Ａ　业，那么，对丁＜１，有下列估计成立　｝１　ｌ＋Ｃ７４＋Ｃ（１＋Ｄ２）（１１　Ｅ１　ｌｆ９１），　硎　Ｉ１￣　１ｌ２＋ＣＴ４＋Ｃ（１＋Ｄ２）（１　ｌＥ　＋ＩＩ　Ｂ　，　Ｉｌ　。　ｌ　Ｃ（ｌ１＋Ｄ。）（１１ｖｈ　ｌｌ　Ｉ＋ｌ　ｌｌｌ　ｌ＋ｌｌ皿Ｅｌ　１ｌ），　．　（２４）　ｃ（１＋Ｄ２）ＩＩ　Ｉｌｌ，ｌ＋　证注意到一ｒＶｐ　（ｎ　）＋ｒｑ　礼　Ｅ，　＝ｅ，ｉ，从而对ｓ＞８０＞　，ｓ，８０∈Ｎ，由Ｓｏｂｏｌｅｖ嵌　入定理得　ｌＶ．乱　ｌ≤ｃ（Ｉｖ・　ｌ＋ｌＶ－（“Ｔ　一　）１）　Ｃｒ（１＋Ｊ［））．　（２５）　下面我们来估计ｌ１　ｌｌｌ　ｌｌｌ、ｌ　ｌｌｌ　ｌｌｌ和ｌ　ｌ副ｌＩ　ｌ１．　１（Ｉ　ｅ＿…１昂ｌ　．＿Ｉ１￣￣１丁。ＩＩＨ　ｌｌ＋ｌｌ　ｌｌ＋ｌ　ｌ。　ｌｌ　ｌ川　Ｂ１１１９１＋ｅＴ－－ＷｅＴ　ｌＩ１　Ｂ｝１　ｌ１）　一＋Ｃｒ４＋ｃＩｔ　￣１　１２＋ｃｗ：（１＋Ｄ２）１　ｌ１　＋ＣＴ４＋Ｃ（１　同理　＋ＩＩ　ｆ９１）＇　＋ＩＩ　）　（２６）　（２７）　Ｊｒ－Ｃ＇ｖ４＋Ｃ（　ｌｌ　…ｌ　ｌ　ｌ（１＋Ｄ　）（１　ｌｌｌ　ｌ＋ｌｌ　ｈ　ｌｌ　ｌ＋ｌｌ　Ｅｌ　Ｉｌ），　（２８）　通过复杂但直接的计算可以估计出ｌｌＦ青ｌｌ，在此略去　由上述引理得　ｄ　。ｌ　Ｈ（ｑ２￣）血＋吾Ｉｌ（　。，　卢ｕ　）１　Ｃ１Ｔ４￣－　（１＋。　）ＬＩ　　ｌｌ。，将（２９）式两边从０到Ｔ积分并对所有　（２９）　ｓ求和得　注意到Ｃ一　ｌ　Ｉ　Ｈ（Ｖ卢）　｛　ｌ（　）ｌ；＋　ｌ（　，　“ｔ）ｌ￣ｄｔ＜Ｃ　Ｔ４＋Ｃ￣ｏ　（１＋Ｊ［）　）ｌ　ｄ　．　（３。）　由Ｇｒｏｎｗａｌｌ不等式得　ｌ　（　）Ｉ　ｒｌ４　ｅｘｐ（ｃ／０　（　十。　）ｄ　），　由于ｌｌⅢ（　）ｌｌ　＝ｒＤ，所以由上式得　（３　）　（３２）　（３３）　。（　）。　￣２　ｅｘｐ（　／ｏＴ（　＋。　）ｄｔ）：∑（　），　于是　∑，ｆ　１：　ｆ１＋Ｄ。）∑（ｔ１＜ｃｘ（ｔ）＋　∑（　）　．　Ｎｏ．６　王术等：等离子体双极Ｅｕｌｅｒ—Ｍａｘｗｅｌｌ方程组的松弛极限　１５４９　如果我们选取足够小的丁使得　∑（０）＝　７＿。　ｅｘｐ（一ＣＴ，）　（３４）　那么由Ｇｒｏｎｗａｌｌ不等式，对Ｖｔ∈　］，都有∑（　）≤ｅｘｐ（ＣＴ，），从而存在不依赖于７－的Ｍ，　使得Ｄ（Ｔ）　Ｍ，这就证明了定理１．　Ｉ　参考文献　［１］Ｃｈｅｎ　Ｆ．Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ　ｔｏ　Ｐｌａｓｍａ　Ｐｈｙｓｉｃｓ　ａｎｄ　Ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｄ　Ｆｕｓｉｏｎ．Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ：Ｐｌｅｎｕｍ　Ｐｒｅｓｓ．１９８４　［２】Ｐｅｎｇ　Ｙ　Ｊ，Ｗａｎｇ　Ｓ．Ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ　ｅｘｐａｎｓｉｏｎｓ　ｉｎ　ｔｗｏ—ｌｆｕｉｄ　ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｂｌｅ　Ｅｕｌｅｒ—Ｍａｘｗｅｌｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　ｓｍａｌｌ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ．Ｄｉｓｃｒｅｔｅ　ａｎｄ　Ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　Ｄｙｎａｍｉｃａｌ　Ｓｙｓｔｅｍｓ，２００９，２３：４１５—４３３　［３】Ｙｏｎｇ　Ｗ　Ａ．Ｄｉｆｕｓｉｖｅ　ｒｅｌａｘａｔｉｏｎ　ｌｉｍｉｔ　ｏｆ　ｍｕｌｔｉｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　ｉｓｅｎｔｒｏｐｉｃ　ｈｙｄｒｏｄｙｎａｍｉｃ　ｍｏｄｅｌｓ　ｆｏｒ　ｓｅｍｉｃｏｎ—　ｄｕｃｔｏｒｓ．ＳＩＡＭ　Ｊ　Ａｐｐｌ　Ｍａｔｈ，２００４，６４：１７３７－１７４８　［４ｊ　Ｌｉ　Ｙ．Ｒｅｌａｘａｔｉｏｎ　ｔｉｍｅ　ｌｉｍｉｔｓ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｆｏｒ　ｈｙｄｒｏｄｙｎａｍｉｃｓ　ｍｏｄｅｌｓ　ｉｎ　ｓｅｍｉｃｏｎｄｕｃｔｏｒ　ｓｃｉｅｎｃｅ．Ａｃｔａ　Ｍａｔｈｅ—　ｍａｔｉｃａ　Ｓｃｉｅｎｔｉａ，２００７，２７Ｂ：４３７～４４８　［５】Ｐｅｎｇ　Ｙ　Ｊ，Ｗａｎｇ　Ｓ．Ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ｏｆ　ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｂｌｅ　Ｅｕｌｅｒ—Ｍａｘｗｅｌｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｔｏ　ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｂｌｅ　Ｅｕｌｅｒ—Ｐｏｉｓｓｏｎ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｃｈｉｎ　Ａｎｎ　Ｍａｔｈ．２００７．２８Ｂ：５８３—６Ｏ２　［６】Ｐｅｎｇ　Ｙ　Ｊ，Ｗａｎｇ　Ｓ．Ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ｏｆ　ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｂｌｅ　Ｅｕｌｅｒ—Ｍａｘｗｅｌｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｔｏ　ｉｎｃｏｍｐｒｅｓｓｉｂｌｅ　Ｅｕｌｅｒ　ｅｑｕａ－　ｔｉｏｎｓ．Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ　ｉＵ　Ｐａｒｔｉａｌ　ＤｉｔＴｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．２００８．３３：３４９－３７６　［７］Ｇａｊｅｎｓｋｉ　Ｈ，Ｇｒｏｇｅｒ　Ｋ．Ｏｎ　ｔｈｅ　ｂａｓｉｃ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｃａｒｒｉｅｒ　ｔｒａｎｓｐｏｒｔ　ｉｎ　ｓｅｍｉｃｏｎｄｕｃｔｏｒｓ．Ｊｏｕｒｎａｌ　Ｍａｔｈ　Ａｎａｌ　Ａｐｐｌ，１９８６，１１３：１２—３５　Ｔｈｅ　Ｒｅｌａｘａｔｉｏｎ　Ｌｉｍｉｔ　ｏｆ　Ｂｉｐｏｌａｒ　Ｅｕｌｅｒ—Ｍａｘｗｅｌｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　Ａｒｉｓｉｎｇ　ｆｒｏｍ　Ｐｌａｓｍａ　Ｗａｎｇ　ＳｈＵ。Ｙａｎｇ　Ｊｉａｎｗｅｉ。Ｗａｎｇ　Ｗｅｉ　（　Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｓｅｉｅｎｃ∞，Ｂｅｉｊｉｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ　１００１２４；　Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｎｏｒｔｈ　Ｃｈｉｎａ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｗａｔｅｒ　Ｒｅｓｏｕｒｃｅ８　ａｎｄ　Ｅｌｅｃｔｒｉｃ　Ｐｏｗｅｒ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ　４５００１　１；　。Ｓｉｎｏｐｅｅ　Ｒｅｓｅａｒｃｈ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｐｅｔｒｏｌｅｕｍ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｂｅｉｊｉｎｇ　１００１０１）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ　ｗｏｒｋ　ｉＳ　ｃｏｎｃｅｒｎｅｄ　ｗｉｔｈ　ｍｕｌｔｉ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　ｂｉｐｏｌａｒ　Ｅｕｌｅｒ．Ｍａｘｗｅｌ１　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｐｌａｓｍａｓ　ｗｉｔｈ　ｓｈｏｒｔ　ｍｏｍｅｎｔｕｍ：ｒｅｌａｘａｔｉｏｎ　ｔｉｍｅ．Ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｈｅｌｐ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｍａｘｗｅｌｌ　ｉｔｅｒａｔｉｏｎ．　ｔｈｅ　ｃｏｎｖｅｒｇｅ／ｉｃｅ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｓｍｏｏｔｈ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｂｉｐｏｌａｒ　Ｅｕｌｅｒ－Ｍａｘｗｅｌｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｔｏｗａｒｄｓ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｓｍｏｏｔｈ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｂｉｐｏｌａｒ　ｄｒｉｆｔ．ｄｉｆｌｕｓｉｏｎ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｉＳ　ｐｒｏｖｅｄ．ａｓ　ｔｈｅ　ｒｅｌａｘａｔｉｏｎ　ｔｉｍｅ　ｔｅｎｄｓ　ｔｏ　ｚｅｒｏ．Ｍｅａｎｗｈｉｌｅ．ｔｈｅ　ｆｏｒｍａｌ　ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｌａｔｔｅｒ　ｆｒｏｍ　ｔｈｅ　ｆｏｒｍｅｒ　ｉｓ　ｊｕｓｔｉｉｆｅｄ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｅｕｌｅｒ—Ｍａｘｗｅｌｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；Ｒｅｌａｘａｔｉｏｎ　ｌｉｍｉｔ；Ｄｒｉｆｔ．ｄｉｆｌｕｓｉｏｎ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．　ＭＲ（２０００）Ｓｕｂｊｅｃｔ　Ｃｌａｓｓｉｉｆｃａｔｉｏｎ：３５Ｂ４０；３５Ｃ２０；３５Ｌ６０