初中数学一题多解题

2024年3月27日发(作者：联考理科数学试卷答案江苏)

初中数学一题多解题

例题一、两个连续奇数的积是323，求出这两个数

方法一、

设较小的奇数为x,另外一个就是x+2

x(x+2)=323

解方程得：x1=17,x2=-19

所以，这两个奇数分别是：

17、19，或者-17，-19

方法二、

设较大的奇数x,则较小的奇数为323/x

则有：x-323/x=2

解方程得：x1=19,x2=-17

同样可以得出这两个奇数分别是：

17、19，或者-17，-19

方法三、

设x为任意整数，则这两个连续奇数分别为：

2x-1,2x+1

(2x-1)(2x+1)=323

即4x^2-1=323

x^2=81

x1=9,x2=-9

2x1-1=17,2x1+1=19

2x2-1=-19,2x2+1=-17

所以，这两个奇数分别是：

17、19，或者-17，-19

方法四、

设两个连续奇数为x-1,x+1

则有x^2-1=323

x^2=324=4*81

x1=18,x2=-18

x1-1=17,x1+1=19

x2-1=-19,x2+1=-17

所以，这两个奇数分别是：

17、19，或者-17，-19

例题二、某人买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹌鹑蛋，共用去9.25元；如果买2个鸡蛋，4

个鸭蛋，3个鹌鹑蛋，则共用去3.20元，试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需多少钱？

解：设鸡、鸭、鹌鹑三种蛋的单价分别为x、y、z元，则根据题意，得





13x5y9z9.25

.



2x4y3z320

1

2

分析：此方程组是三元一次方程组，由于只有两个三元一次方程，因而要分别求出x、

y、z的值是不可能的，但注意到所求的是

xyz

的代数和，因此，我们可通过变形变换

得到多种解法。

1. 凑整法

12

，得

5x3y4z415.

3

23

，得

7(xyz)7.35

xyz105.

解1：

3

答：只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需1.05元（下面解法后的答均省略）

解2：原方程组可变形为





13(xyz)4(2yz)9.25

.



2(xyz)(2yz)320

解之得：

xyz105.

2. 主元法

解3：视x、y为主元，视z为常数，解<1>、<2>

得

x05

.05.z

.05.z

，

y055

xyz055.05.zz105.

解4：视y、z为主元，视x为常数，解<1>、<2>

得

y0.05x，z12x

xyz105.x2xx105.

解5：视z、x为主元，视y为常数，解<1>、<2>

.2y

得

xy0.05，z11

xyzy0.05y11.2y105.

3. “消元”法

解6：令

x0

，则原方程组可化为



5y9z9.25



y0.05







4y3z32.z1



xyz105.

解7：令

y0

，则原方程组可化为



13x9z9.25



x0.05







2x3z320.z11.



xyz105.

解8：令

z0

，则原方程组可化为

.



13x5y9.25



x05







2x4y320.y055.



xyz105.

4. 参数法

解9：设

xyzk

，则



13x5y9z9.25





2x4y3z320.



xyzk



1

2

3

123

，得

xy0.054

332

，得

xy3k32.



由<4>、<5>得

3k32.005.

k105.

即

xyz105.

5. 待定系数法

解10. 设

5

xyza(13x5y9z)b(2x4y3z)

(13a2b)x(5a4b)y(9a3b)z1

则比较两边对应项系数，得



13a2b1



a

1





21



5a4b1



4



9a3b1



b





21



将其代入<1>中，得

xyz

141

9.2532.22.05105.

212121

附练习题

1. 有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨；5辆大车与6辆小车一次

可以运货35吨。求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？（答案：24.5吨）

2. 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件共需3.15元；若购甲4件、乙

10件、丙1件共需4.20元。问若购甲、乙、丙各1件共需多少元？（答案：1.05元）

平面几何

在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的内容、形式、条件、结论，做进一

步的探讨，以真正掌握该题所反映的问题的实质。如果能对一个普通的数学题进

行一题多变，从变中总结解题方法；从变中发现解题规律，从变中发现“不变”，

必将使人受益匪浅。

“一题多变”的常用方法有：

1

、变换命题的条件与结论；

2

、保留条件，深化结

论；

3

、减弱条件，加强结论；

4

、探讨命题的推广；

5

、考查命题的特例；

6

、生根伸枝，图形变换；

7

、接力赛，一变再变；

8

、解法的多变等。

19、（增加题1的条件）AE平分∠BAC交BC于E，

求证：CE：EB=CD：CB

20、（增加题1的条件）CE平分∠BCD，AF平分∠BAC交BC于F

求证：（1）BF·CE= BE·DF

（2）AE⊥CF

（3）设AE与CD交于Q，则FQ‖BC

21、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，以CD为直径的圆交AC、BC

于E、F，

求证： CE：BC=CF：AC（注意本题和16题有无联系）

22、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，以AD为直径的圆交AC于E，

以BD为直径的圆交BC于F，

求证： EF是⊙O1和⊙O2的一条外公切线

23、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，作以AC为直径的圆O1，和

以CD为弦的圆O2，

求证：点A到圆O2的切线长和AC相等（AT=AC）

24、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，

E为ACD的中点，连ED并延长交CB的延长线于F，

求证：DF：CF=BC：AC

25、如图，⊙O1与⊙O2外切与点D， 内公切线DO交外公切线EF于点O，

求证：OD是两圆半径的比例中项。

题14解答：

因为CD^2=AD·DB

AC^2=AD·AB

BC^2=BD·AB

所以1/AC^2+1/BC^2

=1/（AD·AB）+1/（BD·AB）

=（AD+DB）/（AD·BD·AB）

=AB/AD·BD·AB

=1/AD·BD

=1/CD^2

15题解答：

因为M为AB的中点，所以AM=MB，AD-DB=AM+DM-(MB-DM)=2DM

AC^2-BC^2=AD*AB-DB*AB

=(AD-DB)AB

=2DM*AB

26、（在19题基础上增加一条平行线）

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BAC交BC于E、交CD

于F，FG‖AB交BC于点G，

求证：CE=BG

27、（在19题基础上增加一条平行线）

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BAC交BC于E、交CD

于F，FG‖BC交AB于点G，连结EG，

求证：四边形CEGF是菱形

28、（对19题增加一个结论）

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BAC交BC于E、交CD

于F，

求证：CE=CF

29、（在23题中去掉一个圆）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，作以

AC为直径的圆O1，

求证：过点D的圆O1的切线平分BC

30、（在19题中增加一个圆）

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BAC交BC于E，交CD

于F，

求证：⊙CED平分线段AF

31、（在题1中增加一个条件）

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，∠A=30度，

求证：BD=AB/4

（沪科版八年级数学第117页第3题）

32、（在18题基础上增加一条直线）

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，作∠BCE=∠BCD

P为AC上任意一点，直线PQ交CD于Q，交CB于M，交CE于N

求证：PQ/PN=QM/MN

32题证明：

作NS‖CD交直线AC与点S，

则PQ/PN=CQ/SN

又∠BCE=∠BCD

∴QM/MN=CQ/CN（三角形内角平分线性质定理）

∠BCE+∠NCS=∠BCD +∠ACD

NS‖CD，∴∠NSC=∠ACD

∴∠NSC=∠NCS

∴SN=CN

∴PQ/PN=QM/MN

题33

在“题一中”，延长CB到E，使EB=CB，连结AE、DE，

求证：DE·AB= AE·BE

题33证明

CB^2= BD·AB

因EB=CB

∴EB^2= BD·AB

∴EB：BD=AB：BE

又∠EBD=∠ABE

∴△EBD∽△ABE

∴EB：AB=DE：AE

∴DE·AB= AE·BE

题34

（在19题基础上增加一条垂线）

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，

AE平分CD于F，EG⊥AB交AB于点G，

求证：EG^2= BE·EC

证明：延长AC、GE，设交点为H，

∴△EBG∽△EHC

∴EB：EH=EG：EC

∴EH·EG= BE·EC

又HG‖CD，CF=FD

∴EH=EG

∴EG^2= BE·EC

题35（在题19中增加点F）

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，

AE平分∠BCA交BC于点E，交CD于F，

求证：2CF·FD = AF·EF

题36、（在题16中，减弱条件，删除∠ACB=90度这个条件）

已知，△ABC中， CD⊥AB，D为垂足，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，

求证：CE/BC=CF/AC

题37

（在题17中，删除∠ACB=90度和CD⊥AB，D为垂足这两个条件，增加D是AB上一点，

满足∠ACD=∠ABC）

已知，△ABC中，D是AB上一点，满足∠ACD=∠ABC，又CE平分∠BCD

求证：AE^2= AD·AB

题38

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，PC为⊙ABC的切线

求证：PA/AD=PB/BD

题39

（在题19中点E“该为E为BC上任意一点”）

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，

E为BC上任意一点，连结AE，CF⊥AE，F为垂足，连结DF，

求证：△ADF∽△AEB

题40：

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足

求证：S⊙ADC：S⊙BDC=AD：DB

题41

已知，如图，△ABC中， CD⊥AB，D为垂足，且AD/CD=CD/BD，

求∠ACB的度数。

题42

已知，CD是△ABC的AB边上的高， D为垂足，且AD/CD=CD/BD，

则∠ACB一定是90度吗？为什么？

题43：

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，△ADC的内切圆⊙O1，

△BDC的内切圆⊙O2，

求证：S⊙O1：S⊙O2=AD：DB

题44：

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，△ADC的内切圆⊙O1的半径R1，

△BDC的内切圆⊙O2的半径R2，△ABC的内切圆⊙O的半径R，求证：R1+R2+R=CD

题45、

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，作以AC为直径的圆O1，和以BD

为直径的圆O2，设O1和O2在△ABC内交于P

求证： △PAD的面积和△PBC的面积相等

题45解：

∠CAP=∠CDP=∠DBP（圆周角、弦切角）

∴Rt△APC∽Rt△BPD

∴AP·PD= BP·PC

又∠APD和∠CPB互补（∠APC+∠BPD=180度）

S △PAD=1/2·AP·PD·sin∠APD

S △PBD=1/2·BP·PC·sin∠CPB

∴S △PAD= S △PBD

题46（在题38的基础上变一下）

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，PC为⊙ABC的切线，又CE平分

∠ACB交⊙ABC与E，交AB与D ， 若PA=5，PC=10，

求 CD·CE的值

题47

在题46中，求sin∠PCA

题48（由题19而变）

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，

AE平分∠ACB交BC于E，EG⊥AB交AB于点G，

求证：（1）AC=AG

（2）、AG^2= AD·AB

（3）、G在∠DCB的平分线上

（4）、FG‖BC

（5）、四边形CEFG是菱形

题49

题49解答：

题目50（题33再变）

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，延长CB到E，使EB=CB，连结

AE交CD的延长线于F，如果此时AC=EC，

求证： AF= 2FE

题50解：

过点E作EM⊥CF，M为垂足，则AD：DB=AC^2：CB^2=4：1

又DB：EM=1：2

所以，AD：EM=2：1

△ADF∽△EMF

∴AF：EF=AD：EM=2：1

∴AF=2EF

题目51（题50中连一线）

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，延长CB到E，使EB=CB，连结

AE交CD的延长线于F，连结FB，如果此时AC=EC，

求证： ∠ABC=∠EBF

（题51的几种解法）

解法1、

作∠ACB的平分线交AB于点G，易证△ACG≌△CEF

∴CG=EF

∴证△CBG≌△EBF

∴∠ABC=∠EBF

题51解法2

作∠ACB的平分线交AB于点G，交AE于点P，

则点G 为△ACE的垂心，∴GF‖CE

又∠AEC=∠GCE，

∴四边形CGFE为等腰梯形

∴CG=EF

∴再证△CBG≌△EBF

∴∠ABC=∠EBF

题51解法3

作∠ACB的平分线交AB于点G，交AE于点P，

则点G 为△ACE的垂心，

易证△APG≌△CPF（AAS）

∴PG=PF

又∠GPB=∠FPB，

PB=PB

∴△PBG≌△FBP（SAS）

∴∠PBG=∠FBP

∴∠ABC=∠EBF

题51解法4（原题图）

由题50得，AF=2EF

∴AF：EF=AC：BE=2

又∠CAF=∠BEF=45度

∴△ACF∽△EBF

∴∠ACF=∠EBF

又∠ACF=∠CBA

∴∠ABC=∠EBF

题51解法5

作ME⊥CE交CD的延长线于M，

证△ABC≌△CME（ASA）

∴∠ABC=∠M

再证△MEF≌△BEF（SAS）

∴∠EBM=∠M

∴∠ABC=∠EBF

题51解法6

作点B关于点C的对称点N，连结AN，

则NB=2BE，又由题50，AF=2EF，

∴BF‖AN

∴∠EBM=∠N

又∠ABC=∠N（对称点）

∴∠ABC=∠EBF

题51解法7

过点C作CH‖BF交AB于M，

∵B为CE的中点，

∴ F为HE的中点

又由题50，AF=2EF，

∴H为AF的中点

又CH‖BF

∴M为AB的中点

∴∠MCB=∠MBC

又∠EBM=∠MCB

∴∠ABC=∠EBF

题目52（题50、51结论的引伸）

已知，△ABE中，AC=EC，∠ACE=90度，

CD⊥AB交斜边AB于F，D为垂足，

B为CE的中点，连结FB，

求证：

（1）、AF=2EF

（2）、∠ABC=∠EBF

（3）、∠EBF= ∠E+∠BAE

（4）、∠ABF=2∠DAC

（5）、AB：BF=AE：EF

（6）、CD：DF=AE：AF

（7）、AD：DB=2AF：EF

（8）、CD/DF·FA/AE·EB/BC=1

题目53 （题52的一部分）

已知如图，

①、AC=CE

②、AC⊥CE

③、CB=BE

④、CF⊥AB

求证：

⑤、AF=2EF

⑥、∠ABC=∠EBF

（题53的14个逆命题中，是真命题的请给出证明）

题目54（题53的逆命题1）

已知如图，

⑤、AF=2EF

②、AC⊥CE

③、CB=BE

④、CF⊥AB

求证：

①、AC=CE

⑥、∠ABC=∠EBF

平面几何一题多变

题目55（题53的逆命题2）

已知如图，

①、AC=CE

⑤、AF=2EF

③、CB=BE

④、CF⊥AB

求证：

②、AC⊥CE

⑥、∠ABC=∠EBF

题目56（题53的逆命题3）

已知如图，

①、AC=CE

②、AC⊥CE

⑤、AF=2EF

④、CF⊥AB

求证：

③、CB=BE

⑥、∠ABC=∠EBF

题目57（题53的逆命题4）

已知如图，

①、AC=CE

②、AC⊥CE

⑤、AF=2EF

③、CB=BE

求证：

④、CF⊥AB

⑥、∠ABC=∠EBF

题目58（题53的逆命题5）

已知如图，

③、CB=BE

⑥、∠ABC=∠EBF

②、AC⊥CE

④、CF⊥AB

求证：

⑤、AF=2EF

①、AC=CE

题目59（题53的逆命题6）

已知如图，

①、AC=CE

④、CF⊥AB

③、CB=BE

⑥、∠ABC=∠EBF

求证：

⑤、AF=2EF

②、AC⊥CE

题目60（题53的逆命题7）

已知如图，

①、AC=CE

②、AC⊥CE

⑥、∠ABC=∠EBF

④、CF⊥AB

求证：

⑤、AF=2EF

③、CB=BE

题目61（题53的逆命题8）

已知如图，

①、AC=CE

②、AC⊥CE

③、CB=BE

⑥、∠ABC=∠EBF

求证：

⑤、AF=2EF

④、CF⊥AB

题目62（题53的逆命题9）

已知如图，

⑤、AF=2EF

④、CF⊥AB

③、CB=BE

⑥、∠ABC=∠EBF

求证：

①、AC=CE

②、AC⊥CE

题目63（题53的逆命题10）

已知如图，

②、AC⊥CE

⑤、AF=2EF

④、CF⊥AB

⑥、∠ABC=∠EBF

求证：

①、AC=CE

③、CB=BE

题目64（题53的逆命题11）

已知如图，

③、CB=BE

⑥、∠ABC=∠EBF

②、AC⊥CE

⑤、AF=2EF

求证：

①、AC=CE

④、CF⊥AB

题目65（题53的逆命题12）

已知如图，

①、AC=CE

⑤、AF=2EF

④、CF⊥AB

⑥、∠ABC=∠EBF

求证：

②、AC⊥CE

③、CB=BE

题目66（题53的逆命题13）

已知如图，

①、AC=CE

⑤、AF=2EF

③、CB=BE

⑥、∠ABC=∠EBF

求证：

②、AC⊥CE

④、CF⊥AB

题目67（题53的逆命题14）

已知如图，

①、AC=CE

②、AC⊥CE

⑤、AF=2EF

⑥、∠ABC=∠EBF

求证：

③、CB=BE

④、CF⊥AB

题目68

已知如图，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，

CM平分∠ACB，如果S△ACM=30，S△DCM=6，

求S△BCD=？

（题68解答）

解：

设S△BCD=x,则S△ACM/ S△CMB=30/（6+ x）=AM/MB

S△ACD/ S△CDB=36/ x=AD/DB

又AC^2= AD·AB

BC^2= BD·AB

∴AC^2/ BC^2=AD/BD

∵CM平分∠ACB

∴（AM/ BM）^2=AD/BD

∴[30/(6+x)]^2=36/x

解方程得x=4或x=9

∴S△BCD=4或S△BCD=9

题目69

已知如图，△ABC中，∠ACB=90度，D 为斜边AB上一点，满足AC^2= AD·AB

求证：CD⊥AB

题目70

已知如图，△ABC中，AC>BC,∠ACB=90度，

CM平分∠ACB，且CM+CB=AC，

求证：1/AC-1/BC=√2

题70证明：

过点M作MD⊥BC，D为垂足，作MD⊥AC，E为垂足，

设ME=x,AC=b,BC=a,则CM=√2 x，AE=b-x,

由AE/AC=ME/BC，得(b-x)/b=x/a,

∴x=ab/(a+b)

又CM+CB=AC

∴√2 x+a=b,

∴ab/(a+b)=(b-a)/ √2

整理得：b^2-a^2=√2ab

两边都除以ab,

∴1/AC-1/BC=√2

题目71(依题68变)

已知如图，△ABC中（AC>BC），∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，

CM平分∠ACB,且BC、AC是方程x^2-14x+48=0的两个根，

求AD、MD的长。

题目71解：

显然，方程x^2-14x+48=0的两根为6和8，

又AC>BC

∴AC=8，BC=6

由勾股定理AB=10

△ACD∽△ABC，得AC^2= AD·AB

∴AD=6.4

∵CM平分∠ACB

∴AM/MB=AC/CB

解得，AM=40/7

∴MD=AD-AM=24/35

题目72

已知如图，△ABC中，∠ACB=90度，AB=2AC，现在将它折成如右图的形状，这时顶点A

正好落在BC上，而且△A\'MN是正三角形，

求△A\'MN与△ABC的面积之比。

题72解：

∵∠ACB=90度，AB=2AC

∴∠B=30度

由题意，四边形AMA\'N是菱形，

∴△A\'BM∽△ABC

∴A\'M/AC=BM/AB

设AM=x, AB=2AC=2a

∴x/a=(2a-x)/2a

∴x=2a/3

由三角形面积公式，得

S△A\'MN：S△ABC=2：9

题目73

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足

求证：AB+CD>AC+BC

题73的证明：

由三角形面积公式，得AB·CD=AC·BC

2AB·CD=2AC·BC

又勾股定理，得AB^2=AC^2+BC^2

∴AB^2+2AB·CD =AC^2+BC^2+2AC·BC(等式性质)

∴AB^2+2AB·CD =（AC+BC）^2

∴AB^2+2AB·CD+CD^2 >（AC+BC）^2

∴(AB+CD)^2 >（AC+BC）^2

又AB、CD、AC、BC均大于零

∴AB+CD>AC+BC

题目74

已知，△ABC中，∠ACB>90度，CD⊥AB，D为垂足

求证：AB+CD>AC+BC

题74证明：如图，作CB’⊥AC交AB于B’,

于是有

AB’·CD=AC·B’C

2AB’·CD=2AC·B’C

又勾股定理，得AB’^2=AC^2+B’C^2

∴AB’^2+2AB’·CD =AC^2+B’C^2+2AC·B’C(等式性质)

∴AB’^2+2AB’·CD =（AC+B’C）^2

∴AB’^2+2AB’·CD+CD^2 >（AC+B’C）^2

∴(AB’+CD)^2 >（AC+B’C）^2

又AB’、CD、AC、B’C均大于零

∴AB’+CD>AC+B’C……①

在△ABB’中,BB’>CB-CB’……②

①+②得AB’ BB’+CD>AC+B’C CB-CB’

∴AB+CD>AC+BC

题目75

已知如图，△ABC中， CD⊥AB，D为垂足，

CT平分∠ACB，CM为AB边上的中线，

且∠ACD=∠DCT=∠TCM=∠MCB

求证：∠ACB=90度

题目75的证明：

延长CT交三角形ABC的外接圆于N，连结MN，

则N为弧AB的中点，所以MN⊥AB，

又CD⊥AB，

∴MN‖CD

∴∠DCT=∠TNM

又∠DCT=∠TCM

∴∠TCM=∠TNM

∴CM=NM

∴CN的垂直平分线必过点M，

又CM为AB边上的中线，MN⊥AB

∴AB的垂直平分线必过点M，

即M为两条弦的垂直平分线的交点，

∴M为三角形ABC的外接圆的圆心，

因此AB为△ABC的外接圆的直径。

∴∠ACB=90度

题目76

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，

∠ACB 的平分线CG交AB边上的中垂线于点G ，

求证：MC=MG

题目77

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，CM为AB边上的中线，CD是∠

ACB 的平分线，AC=75cm, BD=80cm,

求CD、CM、CE的长

题目78

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，E为⊙ABC上一点，

且弧AC=弧CE，又AE交CD于M，

求证：AM=CM

题目79（题78再变）

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，E为⊙ABC上一点，且弧AC=弧

CE，又BC交AE于G，连结BE

求证：BG^2= AB·BE- AG·GE

题目80

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，E为⊙ABC上一点，且直线DC于

直线BE交于P，

求证：CD^2= DM·DP

题目81

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，E为⊙ABC上一点，且直线DC于

直线BE交于P，如果CD平分AE，

求证： 2DM·DP= BE·EP

题目82

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，E为⊙ABC上一点，

且弧AC=弧CE，又直线AC与直线BE交于H，

求证： AB=BH

题目83(由题44变)

求证：直角三角形两条直角边的和等于斜边与内切圆直径的和。

题目84

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，MN切⊙ABC与C点

求证： BC平分∠DCN

题目85

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，MN切⊙ABC与C点，

AF⊥MN，F为垂足，AE⊥MN，E为垂足，

求证：CD=CE=CF

题目86

已知，△ABC中，∠ACB=90度， 以BC为直径的圆交AB于点D，以AC为半径的圆交

AB于点E，

求证：∠BCE=∠DCE

题目87（由题38图而变）

求证：和两定点距离之比等于定比（不为1）的点的轨迹是一个圆周。

（提示：从（1）完备性、（2）纯粹性 两方面来证明。）

题目88

作图题：

已知两线段之和及积，求作这两条线段。

已知：两线段m和n

求作：两线段x及y,使x+y=m，xy=n^2

补个图（题88作法参考）

AD、BD即为求作线段x、y

题目89（由题88变）

已知梯形ABCD如图，求作一直线平行于梯形的底边，且平分面积。

题目90

利用下图，证明：两个正数之和为定值，则这两个数相等时乘积最大。

题目89作法：

如图，作两腰的延长线交于点O，作PB⊥AB使PB=OA，连结OP，

以OP为直径作半圆M，由圆心M作MN⊥OP，交半圆于点N，再以O为圆心ON为半径

画弧交AB于点E，作EF‖BC交CD于F，则EF即为所求线段。

题91(题73变)

设a、b、c、d都是正数，满足a/b=c/d,且a最大，

求证：a+d>b+c

题92（人教版数学八年级下114页）

在Rt△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，∠ACD=3∠BCD，E是斜边AB的

中点，

∠ECB是多少度？

题93（题49变）已知，17cosA+13cosB=17,17sinA=13sinB,且∠A、∠B都是锐角，

求∠A/2+∠B的值。

题目93解：（构造法）

分别以17、13为边作△ABC，使AC=17，BC=13，CD为AB边上的高，

在Rt△ADC中，AD=17 cosA，在Rt△BDC中，BD=13 cosB，

CD=17sinA=13sinB

而AB=AD+DB=17cosA+13cosB=17，

∴AC=AB, ∠B=∠ACB,

∴∠A+2∠B=180度

∴∠A/2+∠B=90度。

题94

已知如图，△ABC的∠C的平分线交AB于D，交△ABC的外接圆于E，

若CD·CE等于△ABC面积的2倍

求证：∠ACB=90度

题目95

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，CM平分∠ACB 交AB于M，若

AC>BC

求证：∠DCM=1/2·（∠B-∠A）

题目96

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，CE为AB边上的中线，且DE=DC，

求△ABC中较小的锐角的度数。

题目97

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CE平分∠ACB 交AB于E，且EC+BC=AC，

求AC/BC

题97解：

设BC=a,AC=b,过点E作EH‖BC交AC于点H，作EF‖BC交BC于点F，

则四边形CHEF为正方形，设EH=x.则CE=√2x,

由AH/EH=AC/BC，得(b-x)/x=b/a, x=(ab)/(a+b)

由题意得，a+√2x=b

∴x=(b-a)/ √2a,

∴(ab)/(a+b)= (b-a)/ √2a,

得b^2-√2ab-a^2=0

b/a=(√2+√6)/2

即AC/BC=(√2+√6)/2

题目98

已知，△ABC中，∠ACB=90度，两直角边的差为2√2，

CD⊥AB，D为垂足，BD-AD=2√3，

求△ABC中的三边长。

题目99

圆内接三角形ABC中，直径AB=4，AB边上的高CD=2√3，

求∠A的度数。

题目100

已知，△ABC中， CD⊥AB，D为垂足，∠B=2∠A

求证：CB=AD-BD

题目101

已知，AB是⊙的直径，AB=4， D是OB的中点，过点D的弦CE⊥AB，

求弦CE的长。

（题54的解答）

已知如图，

⑤、AF=2EF

②、AC⊥CE

③、CB=BE

④、CF⊥AB

求证：

①、AC=CE

⑥、∠ABC=∠EBF

证明：

过点E作EM⊥CF如图，由△ADF∽△EMF得AD：EM=AF：FM=2

又BD为△CEM的中位线，则BD：EM=1：2

∴AD：DB=4：1=AC^2:CB^2

∴AC：CB=2：1

又CB=BE

∴AC=CE (再由51的解答即有∠ABC=∠EBF成立)

题55的解答

已知如图，

①、AC=CE

⑤、AF=2EF

③、CB=BE

④、CF⊥AB

求证：

②、AC⊥CE

⑥、∠ABC=∠EBF

证明：过点E作EM⊥CF，如图

由△ADF∽△EMF得AD：EM=AF：FM=2

又BD为△CEM的中位线，则BD：EM=1：2

∴AD：DB=4：1

不妨设DB=x，CD=y,则AD=4x，

由勾股定理得AC=√[（4x）^2+y^2],BC=√（x^2+y^2）

又AC=2BC，得y^2=4x^2

即CD^2=AD·DB

CD：AD=DB：CD，∠ADC=∠CDB=90度

∴ Rt△ADC∽Rt△CDB

∴∠ACD=∠CBD

又∴∠BCD+∠CBD=90度

∴∠BCD+∠ACD=90度，

即∠ACB=90度(再证∠ABC=∠EBF成立)

题目102

初中三年级中考复习平面几何证明题一题多解

如图：已知青AB=AC，E是AC延长线上一点，且有BF=CE，连接FE交BC于D。求证：

FD=DE。

分析：本题有好多种证明方法，由于新课标主

A

要用对称、旋转方法证明，但平行四边形的性

质、平行线性质等都是证题的好方法，我在这

里向初中三年级同学面对中考需对平面几何

证明题的证明方法有一个系统的复习和提高。

F

下边我将自己证明这道题的方法给各位爱好

者作以介绍，希望各位有所收获，仔细体会每

中方法的异同和要点，从中能得到提高。我是

C

M

B

一位数学业余爱好者，不是学生，也不是老师，

D

如有错误，请批评指证。信箱：

E

证法一 ∧≌∠⊥∥△□°

证明：过E点作EM ∥AB交DC延长线于M点，则∠M=∠B，又因为∠ACB=∠B

∠ACB=∠ECM=∠M，所以CE=EM， 又EC=BF 从而EM=BF，∠BFD=∠DEM

则△DBF≌△DME，故 FD=DE；

A

证法二

证明：过F点作

A

FM∥AE，交BD于点M，

则∠1=∠2 = ∠B 所以BF=FM，

又 ∠4=∠3 ∠5=∠E

F

所以△DMF≌△DCE，故 FD=DE。

5

F

1

4

2

C

3

BMD

C

E

A

F

C

BD

E

N

A

证法三

以BC为对称轴作△BDF的对称△BDN，连

接NE，则△DBF≌△DBN，DF=DN，BN=BF，

NF⊥BD，∠FBD=∠NBD，又因为∠C=∠FBD

所以∠NBD=∠C。 BN∥CE，CE=BF=BN，

所以四边形BNCE为平行四边形。故NF∥BC，

所以NF⊥NE，因FN衩BD垂直平分，故D

是FE的中点，所以FD=DE。（也可证明D是

直角△NEF斜边的中点）。

证法四：

证明：在CA上取CG=CE，则CG=BF，

AF=AG，所以FG∥DC，又因为∠1=∠2，所

以FBCG为等腰梯形，所以

FG∥DC，故DC是△EGF的中位线。所以

FD=DE。

F

1

G

C

F

E

A

2

BD

1

G

C

B

证法五

证明：把△EDC绕C点旋转180°，

得△GMC，则△EDC≌△GMC

CE=GC=BF

连接FG，由于GC=BF，从而AF=AG，∠1=∠AFG

FG∥BC，所以FBMG为等腰梯形，所以

FG∥DC，故DC是△EGF的中位线。所以

FD=DE。

证法六

2

D

E

M

A

F

G

4

N

证明：以BC为对称轴作△DCE的对称△

DCN，则和△DCE≌△DCN；CN=CE=BF

∠2=∠3；又∠1=∠3，∠B=∠1所以

∠2=∠B，BF∥CN，所以四边形BCNF为平

行四边形，DC ∥FG，∠1=∠4，所以

∠2=∠4=∠CNG，所以 CG=CN=CE；

故DC是DC是△EGF的中位线。所以

FD=DE。

1

2

BD

C

3

E

证法七

证明：延长AB至G，使BG=CE，又因

AB=AC， BF=CE则AG=AE

ABAC

AG



AE

所以BC∥GE，则BD是△FGE

的中位线。所以FD=DE。

A

F

B

C

D

G

E