数学建模椅子平衡问题 蜗牛爬行问题 船渡河问题

2024年4月10日发(作者：2022宣城中考数学试卷分析)

1 椅子能在不平的地面上放稳得问题的拓展.

模型假设 对椅子和地面应该作一些必要的假设:

1.椅子的四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点。四脚的连线呈长方

形。

2.地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断，即地面可视为数学上

连续曲面。

3.对于脚的间距和椅腿的长度而言，地面时相对平坦的，使椅子在任何位置至

少有三个脚同时着地。

模型构成 中心问题是用数学语言把椅子的四只脚同时着地的条件和结论表示出

来。

首先要用变量把椅子的位置，注意到椅脚连线呈长方形。以中心为对称点，

长方形绕中心的旋转正好代表了椅子位置的改变，于是因此可以用旋转角度这

一变量表示椅子的位置。在图中

椅脚连线为长方形的对角线。对

y

B

角线B’D’与X轴重合，椅子

绕中心点O轴旋转角度



后。长

A

方形A’B’C’D’转至ABCD位

置。用



(对角线与

x

轴的夹

A

角)表示椅子位置，椅脚与地面

B’A’

距离为

的函数.A,C 两脚与地



面距离之和 ~ f (,),B,D 两脚

与地面距离之和 ~ g ()

地面为连续曲面F ( ) , g

( )是连续数.椅子在任意位置

至少三只脚着地.

对任意, f

( ), g ( )至少一个为0.

O

C’

D’‘

c

D

已知： f ( ) , g ( )是

连续函数 ;

对任意， f ( )

• g ( )=0 ;

且 g (0)=0， f (0) > 0.

证明：存在0，使 f (0) = g (0) = 0.

模型求解

证明 ；设长方形的长为a ,宽为b。

将椅子旋转=2arctanb/a，对角线AC取代BD的位置。

由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(2arctanb/a)=0 ,g（2arctanb/a )>0.或,

g（2arctanb/a )=0

（1）f(2arctanb/a)=0 ,g（2arctanb/a )=0

,桌子能放平衡。

（2）f(2arctanb/a)=0 ,g（2arctanb/a )>0

令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(2arctanb/a)<0.

由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性质, 必存在0 , 使

h(0)=0, 即f(0) = g(0) .

因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.

第一题

一根1米长的水平弹性绳子，存在A端和B端。A端固定，B端

每秒钟10cm的速度水平向前延伸。假设绳子永远不会断。 一只蜗

牛从绳的A端开始向B端爬，蜗牛相对绳子的速度为每秒钟1cm。

假设蜗牛不知疲倦，生命永恒；现在，蜗牛爬的同时，绳子开始变

长，请问：

1）蜗牛是否可以爬到B端，要多久？

2）是否蜗牛只要速度大于0，不论绳子多快，都可以爬到头？

①

B点的位置随时间变化的函数

S

B

= 100 + 10t

②虫子的速度v

w

与其初始速度v

0

,自身的位置

S

w

以及时间t的关系函数

③对②式两边依时间t从0到∞积分

即

化简得