1随机系统的数学模型

2024年4月10日发(作者：数学试卷反思怎么写初三)

1 随机系统的数学模型

本部分的主要内容主要是关于具有随机输入或随机干扰时系统的数学模型,并且在此基础上分析了系统

的基本性质。随机系统的数学模型类似于确定性情形，主要采用输入输出模型和状态空间模型。相应的随机

系统的性质如稳定性，能控性，能观测性可以直接使用线性系统的理论和方法，随机系统中涉及的变量（向

量）往往是随机的，对于这些随机变量，求得其分布函数往往比较困难，但是求得这些随机量的少量统计特

性如均值，协方差等是必要得。本部分得主要内容有，输入输出模型，状态空间模型，非线性随机系统模型，

具有随机输入量得随机系统分析。

1．1 输入输出模型

确定性系统中对于离散时间得线性系统得输入输出模型一般用一差分方程来描述，如：

y(k)a

1

y(k1)......a

n

y(kn)b

0

u(kd).....b

m

u(kdm)

（1.1）

系统输出受到噪声得污染，那么模型中应该增加一个随机量用来描述随机扰动引起得作用，则系统模型变成：

y(k)a

1

y(k1)......a

n

y(kn)b

0

u(kd).....b

m

u(kdm)



[e(k)c

1

e(k1)....c

l

e(kl)]

(1.2)

如果不考虑输入

u(k)

，则系统的模型就是我们熟悉的ARMA模型，因此此模型叫做CARMA模型。如果定

义移位算子

q



1

，则系统可以表述为：

A(q



1

)y(k)



B(q



1

)u(k



d)





C(q



1

)e(k)

（1.3）

相应的算子多项式得定义这里不再特殊说明（可以参照课本上），

e(k)

是一个高斯白噪声序列。同时也要注

意在此模型中，算子多项式得阶数，系数，以及系统延时

d

都是建立模型所必须确定得量，方法在系统辨识

理论中有所阐述。可以看出，由于随机干扰的存在，系统输出成为一个随机序列。如同线性系统，如果要保

证系统稳定那么三个算子多项式

A(q



1

),B(q



1

),C(q



1

)

的零点必须在单位圆内。

如同确定性线性系统，对于定常线性系统随机系统可用一个高阶的线性微分方程，或者脉冲响应函数，

或者传递函数来表示输入输出关系。如：如果一系统得输入响应函数为

h(t)

则输出可以为：

y(t)



h(t



)w(



)d



这里得

w(



)

为一随机量，所以这里得积分为均方积分。对于用传递函数

G(s)

表示

0

t

得系统在随机系统当然要转化成谱密度来进行。随机时变系统由于其傅立叶变换相当麻烦，甚至是不可能的

因此很少用以上方法来表示。

1．2 状态空间模型

状态空间模型得引入，是古典控制发展到现代控制论的一个重要标志。状态空间法通过定义一组状态变量，

来描述系统得内部结构和状态，使其可以用来描述更一般意义下得系统。 下面是一个离散时间状态空间模型：

x(k



1)



(k



1,k)x(k)



(k



1,k)u(k)





(k



1,k)



(k)

y(k)



C(k)x(k)



D(k)u(k)





(k)

这里各项系数不再详细描述。为了讨论问题得方便我们对模型做一些简化性得假设。

x(k



1)



(k



1,k)x(k)



u(k)





(k)

（1.4）

y(k)



Cx(k)



Du(k)





(k)

这里状态噪声



(k)

是服从

N(0,R

1

(k))

的高斯白噪声，输出噪声



(k)

是服从

N(0,R

2

(k))

的高斯白噪声。并

且它们是相互独立得，同时还要假设它们与系统的初始状态

x(k

0

)

＝

x

0

是独立的。

对于模型(1.4)得分析，不妨假设

u(k)0

,这是因为其只是影响系统状态和输出的均值大小，对系统的

统计特性本质上没有影响。因此可以得到系统的状态变量的均值和协方差为：

m

x

(k1)(k1,k)m

x

(k)

根据状态转移矩阵

(k1,k)

得性质可以得到

m

x

(k1)(k1,k

0

)m

x

(k

0

)Ex

0

R(l,k)



(l,k)P(k)

P(k)



E((x(k)



m

x

)(x(k)



m

x

)



(k,k



1)P(k



1)



(k,k



1)



R

1

(k



1)

P

0

R

0

TT

另外还可以证明状态变量是一马尔可夫列，当然如果



(k)

如果与

x(0)

不独立则无法保证

x(k)

得马尔可

夫性。如果进一步假设

(k1,k)

为一常数阵，则系统为一定常系统。对上面得讨论稍加修改就可以了。

对于连续时间系统得状态空间模型一般可以表示为：

dx



A(t)x(t)



B(t)u(t)





(t)

（1.5）

dt

y(t)



H(t)x(t)



D(t)u(t)





(t)

注意：这里得状态变量的导数已经不是一般意义上的导数，而是均方导数。其实由于白噪声得加入，

x(t)

不一定是均方可导，所以对于系统可以做如下得修改：

dx(t)



A(t)x(t)dt



B(t)u(t)dt



dw(t)

（1.6）

dy(t)



H(t)x(t)dt



D(t)u(t)dt



dv(t)

这里对输出变量

y(t)

做了重新定义为：



t

t

0

y(



)d



这里由于



(t),



(t)

是高斯白噪声所以

w(t),v(t)

为

维纳过程，这样上面得状态方程和输出方程就成为两个随机微分方程。设

(t,t

1

)

为状态转移函数，则：

t

x(t)(t,t

0

)x(t

0

)



(t,s)dw(s)

,显然式中的积分项为一伊藤积分。于是,状态变量得均值和协方差为：

t

0

m(t)(t,t

0

)m(t

0

),R(s,t)(s,t)P(t)

这里

P(t)

满足黎卡提方程：

dP(t)



A(t)P(t)



P(t)A

T

(t)



R

1

(t),P(t

0

)



R

0

dt

1．3 非线性随机系统

非线性系统一直是控制理论研究得一个热点，但是非线性系统研究比较困难，因此下面给出一类相对简

单得连续时间非线性系统模型。