2024年1月10日发(作者：初二数学试卷集锦电子版)

北京航空航天大学

2021 学年概率论与数理统计第一学期期末

一、单项选择题〔每题3分，总分值18分〕

1、设随机变量Xi~N(0,i2),i1,2,则以下说法中正确的选项是〔 〕。

〔A〕(X1,X2)必服从二维正态分布； 〔B〕E(X1X2)0；

〔C〕(X11)2(X22)2服从2(2)分布； 〔D〕E(X1X2)0 。

0,则对任意正数, 2、设随机变量X存在数学期望EX和方差DX以下不等式成立的是〔 〕。

〔A〕P{|XEX|}DX2； 〔B〕P{|XEX|}1X|}DX2

〔C〕P{|XEX|DX}12； 〔D〕P{|E|XEX|kk,(k1)。

3、设X1,,Xn是来自正态总体N(,2)的样本，

2222ˆXcˆ是的无偏估计， 当c〔 〕时，1n1n2ˆ(XiX)2 。 其中XXi，ni1n1i1〔A〕1111 ， 〔B〕 ， 〔 C〕

 ， 〔 D 〕 。

n1n1nn24、设随机变量X~N(,),则E|44X|4〔 〕.

44(A)

； (B)

2； (C)

6； (D)

3 。

5、设A,B为任意两事件,则以下关系成立的有( )

(A)

(AB)BA ;(B)

(AB)BAB ;

BAB. (C)

(AB)BA ;(D)

(AB)6、从0~9这十个数码中任意取出4个排成一串数码,则数码恰成四位偶数的概率为：

〔A〕1414032 ;〔B〕；〔C〕；〔D〕 。

2909090

二、填空题〔每题3分，总分值18分〕

1、设有n个球,每个球都能以同样的概率1落到N个格子(Nn)的每一个格子中,

N则恰有n个格子中各有一个球的概率为 。

2、一盒子内装有5个红球,15个白球,从中不放回取10次,每次取一个球,

则第5次取到的是红球的概率为 。

3、袋中装有编号1~8的八个球,从中任取3个,则最小号码为偶数的概率为 。

4、对目标进行射击,直到击中目标为止, 假设每次击中目标的概率为p(0p1),

记X为所需射击次数, 则X取奇数的概率为 。

5、设随机变量X在(,)上服从均匀分布,则YtanX的概率密度为

22fY(y) 。

6、设总体X~N(,),X1,X2,,Xn是来自于X的一个样本，令21nXXini1，1nS(XiX)2，则DS2 。

n1i12三、〔总分值12分〕

将红、白、黑三只球随机地逐个放入编号为1，2，3的三个盒内〔每盒容纳球的个数不限〕，以X表示有球盒子的最小号码，求：〔1〕随机变量X的分布律；〔2〕X的分布函数。

四、〔总分值12分〕

设随机变量X的概率密度为f(x)a,

x ,

exex(1)确定常数a; (2)求X的分布函数F(x) ; (3)求P{0Xln3} .

2,0x1,0yx五、〔总分值8分〕设随机变量X,Y的概率密度为f(x,y),

0,其它求EXY及EXY。

六、〔总分值12分〕

设总体X~N(1,)，Y~N(2,)，且X与Y相互独立；

22X1,X2,,Xn;Y1,Y2,,Ym别是来自X和Y的样本，

1n1n1m22S(XX)令XXi，Y ，，

Y1iin1i1ni1mi1XY(12)试求：〔1〕X 服从的分布，Y服从的分布； 〔2〕服从的分布；

11nm〔3〕统计量TXY(12)服从的的分布。

11S1nm

七、〔总分值8分〕〔此题学过1-9章和11-13章的学生做，仅学过1至9章的学生不做〕

设随机过程X(t)acos(t),式中a和是常数,是在[0,2]上服从均匀分布的随机变量. 试求:

〔1〕的概率密度f() ； 〔2〕E[X(t)]，E[X(t)X(t)]，E[(X(t))2]；

〔3〕问X(t)是否为广义平稳过程？

[七]、〔总分值8分〕〔此题仅学过1至9章的学生做；学过1至9章和11-13章的学生不做〕

设随机变量X,Y的二阶矩EX

2,EY2存在，

2证明：成立不等式

|E[XY]|[EX][EY]21212。

八、〔总分值12分〕〔此题学过1至9章和11-13章的学生作，仅学过1至9章的学生不做〕

在一串贝努利试验中,事件A在每次试验中发生的概率为p,设q1p，

令

Xn0,第n次试验A不发生1,第n次试验A发生 ,n1,2,3, ；

试求：(1) 证明{Xn,n1,2,}是齐次马尔可夫链；

(2) 写出{Xn,n1,2,}的状态空间和转移概率矩阵;

(3) 求二步转移概率矩阵P(2),求n步转移概率矩阵P(n).

6.75[八]、〔总分值12分〕〔此题仅学过1至9章学生做，学过1-9章和11-13章学生不做〕

根据大量调查得知，我国健康成年男子的脉搏平均为72次/分，标准差为次/分，现从某体院男生中，随机抽出25人，测得平均脉搏为次/分。根据经验脉搏X服从正态分布.如果标准差不变，试问该体院男生的脉搏与一般健康成年男子的脉搏有无差异？〔检验水平0.05.〕

1.645；z0.9751.96；t0.975(24)2.0639， 〔z0.95t0.975(25)2.0595；t0.95(24)1.7109；t0.95(25)1.7081〕

A卷答案：

一、单项选择题〔每题3分，总分值18分〕

1、D；2、C；3、C； 4、D；5、B；6、A 。

二、填空题〔每题3分，总分值18分〕

nnCNn!ANN!511、P(B) ；2、 ；

nnnNNN(Nn)!51543、P(A)2211 。

56281111；

5、 ,

y

f(y)Y21(1p)22p1y4、P{X取奇数}

p246、DS .

(n1)2

B卷 ：1、P{X取奇数}

p一、单项选择题〔每题3分，总分值18分〕

1、D；2、B；3、A 。 4、D；5、C；6、C；

二、填空题〔每题3分，总分值18分

1111f(y)；2、 ,

y

Y222p1(1p)1y4223、DS .

(n1)nnCNn!ANN!5122114、P(B) ；5、 ；6、P(A)

nnnNNN(Nn)!51545628

三、〔总分值12分〕

解 〔1〕根据题意知，随机变量X可能取的值为：1，2，3;

23137131332319P{X3}3,P{X2} ,

P{X1},……6分

33327327327即随机变量X的分布律为

X

P

1 2 3

19

277

271

27 …………8分

0,x119,1x227〔2〕X的分布函数为F(x)P{Xxk} ………………………12分

xkx26,2x3271,x3

四、〔总分值12分〕

解 (1) 由1xeaf(x)dxxdxa2xdx

eexe1

aarctane|a(2)

X的分布函数为F(x)

x2x,得a2;...................................4分

xa2xetf(t)dttdx2tdt

eete12xarctanet|2arctanex,x;……………8分

(3)

P{0Xln3}F(ln3)F(0)21() ……………………………12分

346

五、〔总分值8分〕

解

EXY(xy)f(x,y)dxdy………………………………………………2分

10((xy)2dy)dx(2x2x2)dxx3|101,………………………4分

00x1EXY1x00xyf(x,y)dxdy……………………………………………………6分

10((xy)2dy)dxxx2dx1411x|0 …………………………………………8分

44六、〔总分值12分〕

解 由正态总体样本函数的分布知，

1212〔1〕X~N(1,),Y~N(2,)，……………………………………4分

nm〔2〕X11Y~N(12,2())，………………………………………6分

nmXY(12)~N(0,1)；……………………………………8分

11nm(n1)S12经标准化得到〔3〕又由定理三知

2~2(n1)，…………………………………………10分

再由t分布定义知

XY(12)XY(12)(n1)S12/~t(n1)，

T2(n1)1/n1/m11S1nm即

TXY(12)~t(n1)。…………………………………12分

11S1nm

1,02七、〔总分值8分〕解〔1〕的概率密度f()2；……………2分

0,其它

〔2〕

E[X(t)]E[acos(t)]acos(t)f()d

acos(t)021d0;

2E[X(t)X(t)]E[acos(t)acos((t))]

1E[a2(cos(t(t)2)cos)]

2a2a2[E(cos(t(t)2))E(cos)]cos222；

a2a2E[(X(t))]cos|0是常数,………………………………………………6分

22〔3〕因为，E[(X(t))2]存在，E[X(t)]是常数，E[X(t)X(t)]仅依赖于;

所以X(t)acos(t)是广义平稳过程…………………………………………………8分

八、〔总分值12分〕〔此题学过1至9章和11-13章的学生作，仅学过1至9章的学生不做〕

解 (1) 根据题设条件，知道X1,X2,,Xn,是相互独立的,所以

{Xn,n1,2,}是马尔可夫链,又转移概率P{Xn1j|Xni}P{Xn1j}q,j0与n无关,

p,j1故{Xn,n1,2,}是齐次马尔可夫链;………………………………………………………4分

(2) 状态空间S{0,1},一步转移概率矩阵P(pij)qp,

qpq,j0 ………………………8分

pijP{Xn1j|Xni}P{Xn1j}p,j1(3) 二步转移概率矩阵

P(2)qPq2pqpq(n)(n)ijpq(qp)p(qp)qn(qp)pq(qp)pqp

pn步移概率矩阵Pq(p)PPqp 。…………………………12分

p[七]、〔总分值8分〕证明 对任意实数t,恒有

E(YtX)2t2EX22tEXYEY20,……………………4分

当EX2，代入上式，………………………………6分

0时，取tEXY2EX(EXY)2则有EY0；

2EX2

(EXY)2[EX2][EY2],

2即得

|E[XY]|[EX〔或直接由判别式][EY]21212 ；……………………………………8分

b24ac0，得

(2EXY)24[EX2][EY2]0，

即得(EXY)2[EX2][EY2],

2于是

|E[XY]|[EX当EX2][EY]21212。〕

20时，对任意实数t,恒有2tEXYEY0，

必有EXY0，于是自然有

|E[XY]|[EX][EY]221212，

结论得证。

[八]、〔总分值12分〕〔此题仅学过1至9章学生做，学过1-9章和11-13章学生不做〕

解：此题是在6.75的情况下，

〔1〕检验假设H0:72,………………………………………………………………2分

〔2〕选检验用的统计量Ux0~N(0,1),…………………………………………4分

n69.372||2.00,………………6分 〔3〕现在n25,x68.6,u06.755n〔4〕对于0.05，查标准正态分布表得z〔5〕因为1x02z0.9751.96,………………………8分

u02.001.96z12，…………………………………………………10分

〔6〕故拒绝H0，说明该体院男生的脉搏与一般健康成年男子的脉搏存在差异。………12分


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