2024年3月31日发(作者：雷州中考考几科数学试卷)
2022年中考复习数学一轮复习：圆的综合 选择+填
空+解答 专项练习题汇编
圆的综合 选择专项练习题
1．如图，⊙
O
中，点
C
为弦
AB
中点，连接
OC
，
OB
，∠
COB
＝56°，点
D
是
意一点，则∠
ADB
度数为（ ）
上任
A．112° B．124° C．122° D．134°
上任意一点，2．如图，点
C
，
D
在以
AB
为直径的半圆上，且∠
ADC
＝120°，点
E
是
连接
BE
、
CE
．则∠
BEC
的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．60°
3．如图，
AB
是⊙
O
的直径，点
C
、
D
都在⊙
O
上，若∠
ABD
＝63°、∠
DCO
＝24°，
则∠
BDC
的度数是（ ）
A．15° B．24° C．39° D．63°
4．如图，点
A
的坐标为（﹣3，2），⊙
A
的半径为1，
P
为坐标轴上一动点，
PQ
切⊙
A
于点
Q
，在所有
P
点中，使得
PQ
长最小时，点
P
的坐标为（ ）
第 1 页 共 79 页
A．（0，2） B．（0，3） C．（﹣2，0） D．（﹣3，0）
5．如图，△
ABC
的顶点
A
、
B
、
C
均在⊙
O
上，若∠
ABC
＝25°，则∠
AOC
的大小是（ ）
A．25° B．50° C．65° D．75°
，sin6．如图，
AB
为⊙
O
的直径，将
∠
ABC
＝
沿
BC
翻折，翻折后的弧交
AB
于
D
．若
BC
＝
，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．8 D．10
7．如图，
BC
是⊙
O
的直径，
AB
是⊙
O
的弦，若∠
AOC
＝60°，则∠
OAB
的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
8．如图，
AB
是⊙
O
的直径，
D
为半圆的中点，
C
为另一半圆上一点，连接
OD
、
CD
、
BC
则∠
C
的度数为（ ）
第 2 页 共 79 页
A．30° B．45° C．46° D．50°
9．如图，点
A
、
B
、
C
在⊙
O
上，∠
ACB
＝43°，则∠
AOB
的度数是（ ）
A．83° B．84° C．86° D．87°
10．如图，点
A
，
B
，
C
均在⊙
O
上，若∠
ACB
＝70°，则∠
OAB
的度数是（ ）
A．10° B．20° C．25° D．30°
11．如图，
AB
是⊙
O
的切线，
A
为切点，
BO
交⊙
O
于点
C
，点
D
在⊙
O
上，连接
CD
，
AD
，若∠
ADC
＝27°，则∠
B
的度数等于（ ）
A．28° B．36° C．44° D．56°
12．如图，△
ABC
内接于⊙
O
，∠
A
＝50°．
OD
⊥
BC
，垂足为
E
，连接
BD
，则∠
CBD
的
大小为（ ）
第 3 页 共 79 页
A．50° B．60° C．25° D．30°
的中点，点
D
关于
AB
13．如图，点
A
，
B
，
C
，
D
均在⊙
O
上，直径
AB
＝4，点
C
是
对称的点为
E
，若∠
DCE
＝100°，则弦
CE
的长是（ ）
A．2 B．2 C． D．1
14．如图，四边形
ABCD
为⊙
O
的内接四边形，若四边形
OBCD
为菱形，则∠
BAD
的度
数为（ ）
A．45° B．60° C．72° D．36°
15．如图，
AB
是⊙
O
的直径，点
C
，
D
，
E
在⊙
O
上，若∠
ACE
＝20°，则∠
BDE
的度数
为（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
第 4 页 共 79 页
16．如图，
A
、
B
是⊙
O
上的两点，∠
AOB
＝60°，
OF
⊥
AB
交⊙
O
于点
F
，则∠
BAF
等于
（ ）
A．20° B．22.5° C．15° D．12.5°
17．如图，正方形
ABCD
的边长为2，
O
为对角线的交点，点
E
，
F
分别为
BC
，
AD
的中
点．以
C
为圆心，2为半径作圆弧
BD
，再分别以
E
，
F
为圆心，1为半径作圆弧
BO
，
OD
，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣1 B．π﹣3 C．π﹣2 D．4﹣π
18．如图，在Rt△
ABC
中，∠
ACB
＝90°，
AB
＝，
BC
＝2，以点
A
为圆心，
AC
的长
为半径画弧，交
AB
于点
D
，交
AC
于点
C
，以点
B
为圆心，
AC
的长为半径画弧，交
AB
于点
E
，交
BC
于点
F
，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．8﹣π B．4﹣π C．2﹣ D．1﹣
19．如图，Rt△
ABC
中，∠
ACB
＝90°，
AC
＝2，
BC
＝3．点
P
为△
ABC
内一点，且
满足
PA
2
+
PC
2
＝
AC
2
．当
PB
的长度最小时，△
ACP
的面积是（ ）
第 5 页 共 79 页
A．3 B．3 C． D．
20．如图，△
ABC
中，∠
ACB
＝90°，
AC
＝3，
BC
＝4，以
AB
上的一点
O
为圆心的圆与
AC
相切于点
G
，与
BC
交于
D
，
E
两点，连接
DF
，
EF
．若∠
DFE
＝∠
B
，则弦
DE
的长
是（ ）
A． B． C． D．
21．如图，△
ABC
中，∠
C
＝90°，
AC
＝10，
BC
＝8，线段
DE
的两个端点
D
、
E
分别在
边
AC
，
BC
上滑动，且
DE
＝6，若点
M
、
N
分别是
DE
、
AB
的中点，则
MN
的最小值
为（ ）
A．10﹣ B．﹣3 C．2﹣6 D．3
22．如图，正方形
ABCD
内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和
白色部分关于正方形的中心成中心对称，设正方形
ABCD
的面积为
S
，黑色部分面积为
S
1
，则
S
1
：
S
的比值为（ ）
第 6 页 共 79 页
A． B． C． D．
23．如图，在Rt△
ABC
中，∠
C
＝90°，
AB
＝5，点
O
在
AB
上，
OB
＝2，以
OB
为半径
的⊙
O
与
AC
相切于点
D
，交
BC
于点
E
，则
CE
的长为（ ）
A． B． C． D．1
24．如图，梯形
ABCD
中，
AD
∥
BC
，有一圆
O
通过
A
、
B
、
C
三点，且
AD
与圆
O
相切
于
A
点．若∠
B
＝58°，则的度数为何？（ ）
A．116 B．120 C．122 D．128
25．如图，四边形
ABCD
内接于⊙
O
，点
P
为边
AD
上任意一点（点
P
不与点
A
，
D
重合）
连接
CP
．若∠
B
＝120°，则∠
APC
的度数可能为（ ）
A．30°
B．45° C．50°
第 7 页 共 79 页
D．65°
第 8 页 共 79 页
参考答案
1．解：作所对的圆周角∠
APB
，如图，
∵
OC
⊥
AB
，
OA
＝
OB
，
∴
OC
平分∠
AOB
，
∴∠
AOC
＝∠
BOC
＝56°，
∴∠
APB
＝∠
AOB
＝56°，
∵∠
APB
+∠
ADB
＝180°，
∴∠
ADB
＝180°﹣56°＝124°．
故选：
B
．
2．解：连接
AC
，如图，
∵四边形
ABCD
为⊙
O
的内接四边形，
∴∠
ADC
+∠
ABC
＝180°，
∴∠
ABC
＝180°﹣120°＝60°，
∵
AB
为直径，
∴∠
ACB
＝90°，
∴∠
BAC
＝90°﹣60°＝30°，
∴∠
BEC
＝∠
BAC
＝30°．
故选：
B
．
3．解：连接
AC
，如图，
∵∠
ACD
＝∠
ABD
＝63°，∠
DCO
＝24°，
第 9 页 共 79 页
∴∠
ACO
＝∠
ACD
﹣∠
DCO
＝63°﹣24°＝39°，
∵
OA
＝
OC
，
∴∠
A
＝∠
ACO
＝39°，
∴∠
BDC
＝∠
A
＝39°．
故选：
C
．
4．解：连接
AQ
、
PA
，如图，
∵
PQ
切⊙
A
于点
Q
，
∴
AQ
⊥
PQ
，
∴∠
AQP
＝90°，
∴
PQ
＝＝，
当
AP
的长度最小时，
PQ
的长度最小，
∵
AP
⊥
x
轴时，
AP
的长度最小，
∴
AP
⊥
x
轴时，
PQ
的长度最小，
∵
Q
（﹣3，2），
∴此时
P
点坐标为（﹣3，0）．
故选：
D
．
5．解：∵∠
AOC
＝2∠
ABC
，∠
ABC
＝25°，
∴∠
AOC
＝50°，
故选：
B
．
6．解：如图，连接
AC
，
CD
，过点
C
作
CH
⊥
AB
于
H
．
第 10 页 共 79 页
∵∠
ABC
＝∠
DBC
，
∴＝，
∴
AC
＝
CD
，
∵
CH
⊥
AD
，
∴
AH
＝
HD
，
∵
BC
＝，sin∠
ABC
＝，
∴
CH
＝
BC
•sin∠
ABC
＝4，
∵
AB
为⊙
O
的直径，
∴∠
ACB
＝90°，
∵sin∠
ABC
＝
∴设
AC
＝
＝，
m
．
AB
＝5
m
，
根据勾股定理，
AC
2
+
BC
2
＝
AB
2
，
∴5
m
2
+80＝25
m
2
，
∴
m
＝2，
∴
AC
＝
CD
＝2
∴
AH
＝
∴
AD
＝2
AH
＝4，
∴
S
阴影
＝
S
△
ACD
＝
故选：
C
．
＝＝8，
，
＝＝2，
7．解：∵∠
AOC
＝60°，
∴∠
B
＝∠
AOC
＝30°，
∵
OA
＝
OB
，
∴∠
OAB
＝∠
B
＝30°，
第 11 页 共 79 页
故选：
C
．
8．解：∵
AB
是⊙
O
的直径，
D
为半圆的中点，
∴∠
AOD
＝∠
BOD
＝90°，
∴∠
C
＝∠
BOD
＝45°．
故选：
B
．
9．解：∵∠
ACB
＝43°，
∴∠
AOB
＝2∠
ACB
＝86°，
故选：
C
．
10．解：∵∠
ACB
＝70°，
∴∠
AOB
＝2∠
ACB
＝140°．
∵
OA
＝
OB
，
∴∠
OAB
＝∠
OBA
＝
故选：
B
．
11．解：连接
OA
，
∵＝，
＝20°，
∴∠
AOC
＝2∠
ADC
＝2×27°＝54°，
∵
AB
是⊙
O
的切线，
∴
OA
⊥
AB
，
∴∠
OAB
＝90°，
∴∠
AOB
+
B
＝90°，
∴∠
B
＝90°﹣∠
AOB
＝90°﹣54°＝36°，
故选：
B
．
12．解：连接
CD
，
∵四边形
ABDC
是圆内接四边形，∠
A
＝50°，
第 12 页 共 79 页
∴∠
CDB
+∠
A
＝180°，
∴∠
CDB
＝180°﹣∠
A
＝130°，
∵
OD
⊥
BC
，
∴
E
是边
BC
的中点，
∴
BD
＝
CD
，
∴∠
CBD
＝∠
BCD
＝（180°﹣∠
CDB
）＝（180°﹣130°）＝25°，
故选：
C
．
13．解：连接
AD
、
AE
、
OD
、
OC
、
OE
，过点
O
作
OH
⊥
CE
于点
H
，
∵∠
DCE
＝100°，
∴∠
DAE
＝180°﹣∠
DCE
＝80°，
∵点
D
关于
AB
对称的点为
E
，
∴∠
BAD
＝∠
BAE
＝40°，
∴∠
BOD
＝∠
BOE
＝80°，
∵点
C
是的中点，
∴∠
BOC
＝∠
COD
＝40°，
∴∠
COE
＝∠
BOC
+∠
BOE
＝120°，
∵
OE
＝
OC
，
OH
⊥
CE
，
∴
EH
＝
CH
，∠
OEC
＝∠
OCE
＝30°，
∵直径
AB
＝4，
∴
OE
＝
OC
＝2，
第 13 页 共 79 页
∴
EH
＝
CH
＝
∴
CE
＝2
故选：
A
．
．
，
14．解：∵四边形
ABCD
为⊙
O
的内接四边形，
∴∠
BAD
+∠
BCD
＝180°，
由圆周角定理得：∠
BOD
＝2∠
BAD
，
∵四边形
OBCD
为菱形，
∴∠
BOD
＝∠
BCD
，
∴∠
BAD
+2∠
BAD
＝180°，
解得：∠
BAD
＝60°，
故选：
B
．
15．解：连接
AD
，
∵
AB
为⊙
O
的直径，
∴∠
ADB
＝90°，
∵∠
ACE
＝20°，
∴∠
ADE
＝∠
ACE
＝20°，
∴∠
BDE
＝∠
ADB
+∠
ADE
＝110°，
故选：
C
．
16．解：∵
OF
⊥
AB
，
∴＝，
∴∠
AOF
＝∠
BOF
＝∠
AOB
＝×60°＝30°，
∴∠
BAF
＝∠
BOF
＝×30°＝15°．
故选：
C
．
17．解：连接
BD
，
EF
，如图，
第 14 页 共 79 页
∵正方形
ABCD
的边长为2，
O
为对角线的交点，
由题意可得：
EF
，
BD
经过点
O
，且
EF
⊥
AD
，
EF
⊥
CB
．
∵点
E
，
F
分别为
BC
，
AD
的中点，
∴
FD
＝
FO
＝
EO
＝
EB
＝1，
∴，
OB
＝
OD
．
∴弓形
OB
＝弓形
OD
．
∴阴影部分的面积等于弓形
BD
的面积．
∴
S
阴影
＝
S
扇形
CBD
﹣
S
△
CBD
＝
故选：
C
．
18．解：根据题意可知
AC
＝
设∠
B
＝
n
°，∠
A
＝
m
°，
∵∠
ACB
＝90°，
∴∠
B
+∠
A
＝90°，即
n
+
m
＝90，
∴
S
阴影部分
＝
S
△
ABC
﹣（
S
扇形
EBF
+
S
扇形
DAC
）＝
﹣
故选：
D
．
19．解：取
AC
中点
O
，连接
OP
，
BO
，
＝1﹣，
﹣（）＝1
＝＝1，则
BE
＝
BE
＝
AD
＝
AC
＝1，
＝π﹣2．
∵
PA
2
+
PC
2
＝
AC
2
，
∴∠
APC
＝90°，
∴点
P
在以
AC
为直径的圆上运动，
第 15 页 共 79 页
在△
BPO
中，
BP
≥
BO
﹣
OP
，
∴当点
P
在线段
BO
上时，
BP
有最小值，
∵点
O
是
AC
的中点，∠
APC
＝90°，
∴
PO
＝
AO
＝
CO
＝
∵tan∠
BOC
＝＝
，
，
∴∠
BOC
＝60°，
∴△
COP
是等边三角形，
∴
S
△
COP
＝
OC
2
＝×3＝，
∵
OA
＝
OC
，
∴△
ACP
的面积＝2
S
△
COP
＝
故选：
D
．
20．解：连接
OG
、
OD
，作
OH
⊥
CB
于
H
，
，
∵∠
DOE
＝2∠
DFE
，∠
DFE
＝∠
B
，
∴∠
DOE
＝2∠
B
，
∵
OD
＝
OE
，
OH
⊥
DE
，
∴∠
DOH
＝∠
EOH
＝∠
DOE
＝∠
B
，
∵
AC
切圆
O
于
G
，
∴
OG
⊥
AC
，即∠
OGC
＝90°，
∵∠
C
＝90°＝∠
OHC
＝90°，
∴四边形
GCHO
为矩形，
∴
OH
＝
GC
，
Rt△
ABC
中，
AC
＝3，
BC
＝4，
∴
AB
＝5，
∴sin
A
＝
，tan
A
＝，sin
B
＝，cos
B
＝，
第 16 页 共 79 页
设
OG
＝
OD
＝
OE
＝
r
，则
AG
＝
OG
，
∴
CG
＝
OH
＝
OD
cos
B
＝
r
，
∴
AC
＝
AG
+
GC
＝
∴
r
＝，
＝，
，
∴
DH
＝
OD
sin
B
＝
∵
OH
⊥
OE
，
OD
＝
OE
，
∴
OE
＝2
DH
＝
故选：
D
．
．
21．解：△
ABC
中，∠
C
＝90°，
AC
＝10，
BC
＝8，
∴
AB
＝＝2，
∵
DE
＝6，点
M
、
N
分别是
DE
、
AB
的中点，
∴
CN
＝＝，
CM
＝＝3，
当
C
、
M
、
N
在同一直线上时，
MN
取最小值，
∴
MN
的最小值为：
故选：
B
．
﹣3，
22．解：不妨设正方形面积
S
＝1，则正方形边长为1，
∴内切圆直径
d
＝1，
r
＝，
∴
S
圆
＝π
r
2
＝π，
根据圆的对称性得：黑色部分面积
S
1
＝
S
圆
＝π，
∴
S
1
：
S
＝
故选：
A
．
＝，
第 17 页 共 79 页
23．解：连接
OD
，过点
O
作
OF
⊥
BC
于
F
，
则
BF
＝
EF
，
∵
AC
是⊙
O
的切线，
∴
OD
⊥
AC
，
∵∠
C
＝90°，
OF
⊥
BC
，
∴
OD
∥
BC
，四边形
ODCF
为矩形，
∴△
AOD
∽△
ABC
，
CF
＝
OD
＝2，
∴＝，即
，
﹣2＝，
＝，
解得：
BC
＝
∴
BF
＝
BC
﹣
CF
＝
∴
BE
＝2
BF
＝，
∴
CE
＝
BC
﹣
BE
＝
故选：
B
．
﹣＝，
24．解：连接
AO
，并延长
AO
与
BC
交于点
M
，连接
AC
，
∵
AD
与圆
O
相切于
A
点，
∴
MA
⊥
AD
，
∵
AD
∥
BC
，
∴
AM
⊥
BC
，
第 18 页 共 79 页
∴
BM
＝
MC
，
∴
AM
垂直平分
BC
，
∴
AB
＝
AC
，
∴∠
ACB
＝∠
B
＝58°，
∴∠
BAC
＝180°﹣2×58°＝64°，
∴的度数为128°，
故选：
D
．
25．解：∵四边形
ABCD
内接于⊙
O
，
∴∠
B
+∠
D
＝180°，
∵∠
B
＝120°，
∴∠
D
＝180°﹣∠
B
＝60°，
∵∠
APC
为△
PCD
的外角，
∴∠
APC
＞∠
D
，只有
D
满足题意．
故选：
D
．
圆的综合 填空专项练习题
1．如图，四边形
ABCD
是⊙
O
的内接四边形，若∠
A
＝90°，∠
B
＝60°，
BC
＝3，
AD
＝2．则
AB
的长为 ．
第 19 页 共 79 页
2．如图，在拧开一个边长为
a
的正六角形螺帽时，扳手张开的开口
b
＝20
mm
，则边长
a
＝
mm
．
3．如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．以点
O
为圆心、2为半径画
弧，交图中网格线于点
A
、
B
，则扇形
OAB
围成圆锥的底面半径为 ．
4．如图，已知圆锥底面半径是2，母线长是6．如果
A
是底面圆周上一点，从点
A
拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到
A
点，则这根绳子的最短长度是 ．
5．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△
OAB
的顶点
A
，
B
，
O
均落在格点上，
第 20 页 共 79 页
以点
O
为圆心
OA
长为半径的圆交
OB
于点
C
．
（Ⅰ）线段
BC
的长等于 ；
（Ⅱ）若
BD
切⊙
O
于点
D
，
P
为
OA
上的动点，当
BP
+
DP
取得最小值时，请用无刻度
的直尺，在如图所示的网格中，画出点
D
，
P
，并简要说明点
D
，
P
的位置是如何找到的
（不要求证明） ．
6．如图，
AC
，
BD
都是⊙
O
的直径，过点
A
作
O
的切线，与
BD
的延长线相交于点
E
．若
⊙
O
的半径为1，
DE
＝
x
，
CE
＝
y
，则
y
关于
x
的函数关系式为 ．
7．如图，在平面直角坐标系中，⊙
M
与
x
轴相切于点
A
，与
y
轴分别交点为
B
，
C
，圆心
M
的坐标是（4，5），则弦
BC
的长度为 ．
8．在平行四边形
ABCD
中，
P
为
AD
上一点，
AP
＝4，
AB
＝4，∠
D
＝60°，以
A
为圆心，
AP
为半径画弧，与
BC
交于点
E
，并刚好经过
B
点，则阴影部分面积
第 21 页 共 79 页
为 ．（结果保留π）
9．如图，点
D
在⊙
O
的直径
AB
的延长线上，点
C
在⊙
O
上，
AC
＝
CD
，∠
ACD
＝120°，
若⊙
O
的半径为2，则图中阴影部分的面积为 ．
10．如图，半径为4的扇形
AOB
的圆心角为90°，点
D
为半径
OA
的中点，
CD
⊥
OA
交
于点
C
，连接
AC
、
CO
，以点
O
为圆心
OD
为半径画弧分别交
OC
、
OB
于点
F
、
E
，则
图中阴影部分的面积为 ．
11．如图，将半径为2，圆心角为90°的扇形
BAC
绕点
A
逆时针旋转，在旋转过程中，点
B
落在扇形
BAC
的弧上的点
B
\'处，点
C
的对应点为点
C
\'，则阴影部分的面积
为 ．
第 22 页 共 79 页
12．如图，⊙
O
是△
ABC
的外接圆，
BC
＝2，∠
BAC
＝30°，则⊙
O
的直径长等于 ．
13．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，⊙
O
是△
ABC
的外接圆，点
A
，
B
，
O
在网格线的交点上，则sin∠
ACB
的值是 ．
14．如图，在菱形
ABCD
中，对角线
AC
、
BD
交于点
E
，
AC
＝6，
BD
＝6
径构造⊙
O
，则阴影部分的面积是 ．
；以
AD
为直
15．如图，正方形
ABCD
的边长为6，以点
D
为圆心，4为半径作圆弧于正方形的边相
交，则图中由圆弧和正方形的边围成的阴影部分的面积为 ．（结
果保留π）
16．如图，正五边形
ABCDE
的边长为4，两条对角线
AC
与
BD
相交于
F
点，以
C
点为圆
第 23 页 共 79 页
心，
CF
长为半径画弧交
BC
于
G
点，则图中阴影部分的面积
为 ．（结果保留π）
17．如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点
A
，
B
，
C
都在格点上，以
AB
为直径
的圆经过点
C
和点
D
，则tan∠
ADC
＝ ．
18．如图，在Rt△
ABC
中，∠
C
＝90°，∠
A
＝30°，
BC
＝2．以点
C
为圆心，
CB
长为半径画
弧，分别交
AC
，
AB
于点
D
，
E
，则图中阴影部分的面积为 （结
果保留π）．
19．如图，⊙
O
内切于正方形
ABCD
，边
AD
，
DC
上两点
E
，
F
，且
EF
是⊙
O
的切线，当
△
BEF
的面积为时，则⊙
O
的半径
r
是 ．
第 24 页 共 79 页
20．如图，在Rt△
ABC
中，点
D
为斜边
AC
上的一点（不与点
A
、
C
重合），
BD
＝4，过
点
A
，
B
，
D
作⊙
O
，当点
C
关于直线
BD
的对称点落在⊙
O
上时，则⊙
O
的半径等
于 ．
21．如图，△
ABC
内接于⊙
O
，∠
A
＝50°，点
D
是
BC
的中点，连接
OD
，
OB
，
OC
，则∠
BOD
＝ ．
22．如图，作⊙
O
的任意一条直径
FC
，分别以
F
、
C
为圆心，以
FO
的长为半径作弧，与
⊙
O
相交于点
E
、
A
和
D
、
B
，顺次连接
AB
、
BC
、
CD
、
DE
、
EF
、
FA
，得到六边形
ABCDEF
，
则⊙
O
的面积与阴影区域的面积的比值为 ．
第 25 页 共 79 页
23．如图，在
▱
ABCD
中，
AD
＝12，以
AD
为直径的⊙
O
与
BC
相切于点
E
，连接
OC
．若
OC
＝
AB
，则
▱
ABCD
的周长为 ．
24．如图1，⊙
O
的半径为
r
，若点
P
′在射线
OP
上，且
OP
′•
OP
＝
r
2
，则称点
P
′是点
P
关
于⊙
O
的“反演点”．如图2，⊙
O
的半径为2，点
B
在⊙
O
上，∠
BOA
＝60°，
OA
＝4，
若点
A
′是点
A
关于⊙
O
的反演点，点
B
′是点
B
关于⊙
O
的反演点，则
A
′
B
′的长
为 ．
25．已知，如图，
AB
是⊙
O
的直径，点
E
为⊙
O
上一点，
AE
＝
BE
，点
D
是上一动点（不
与
E
，
A
重合），连接
AE
并延长至点
C
，
ED
，
BA
的延长线相交于
M
，
AB
＝12，
BD
与
AE
交于点
F
．下列结论：
（1）若∠
CBE
＝∠
BDE
，则
BC
是⊙
O
的切线；
（2）若
BD
平分∠
ABE
，则
AD
2
＝
DF
•
DB
；
（3）在（2）的条件下，则
AD
的长为2π；
（4）无论
D
怎样移动，
ED
•
EM
为定值．
正确的是 ．（填序号）
第 26 页 共 79 页
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参考答案
1．解：延长
AD
、
BC
交于
E
，
∵四边形
ABCD
是⊙
O
的内接四边形，∠
A
＝90°，∠
B
＝60°，
∴∠
DCB
＝180°﹣∠
A
＝90°，∠
E
＝30°，
∴
BE
＝2
AB
，
DE
＝
在Rt△
ABE
中，sin
B
＝
解得：
CE
＝9﹣4，
，
CE
，
，即＝，
则
BE
＝
BC
+
CE
＝12﹣4
∴
AB
＝
BE
＝6﹣2
故答案为：6﹣2
，
．
2．解：如图，连接
OC
、
OD
，过
O
作
OH
⊥
CD
于
H
．
则∠
COD
＝＝60°，
∴∠
COH
＝90°﹣60°＝30°，△
OCD
是等边三角形，
∵
OH
⊥
CD
，
第 28 页 共 79 页
∴
CH
＝
DH
＝
CD
，
OH
＝
b
＝10（
mm
），
∴
CH
＝10×tan30°＝
∴
a
＝2
CH
＝
故答案为：
（
mm
），
（
mm
），
．
3．解：连接
OB
，如图，
∵
OA
＝
OB
＝2，
OC
＝1，
∴cos∠
BOC
＝
∴∠
BOC
＝60°，
设扇形
OAB
围成圆锥的底面半径为
r
，
∴2π
r
＝，解得
r
＝，
＝，
即扇形
OAB
围成圆锥的底面半径为．
故答案为．
4．解：设∠
ABC
＝
n
°，
∴底面圆的周长等于：2π×2
解得：
n
＝120°；
连接
AC
，过
B
作
BD
⊥
AC
于
D
，
则∠
ABD
＝60°．
∵
AB
＝6，
＝，
第 29 页 共 79 页
∴
BD
＝3
∴
AD
═3
，
×＝9，
∴
AC
＝2
AD
＝18，
即这根绳子的最短长度是18．
故答案为：18．
5．解：（Ⅰ）∵
OA
＝3，
AB
＝2，
OA
⊥
AB
，
∴
OB
＝
∴
BC
＝
OB
﹣
OC
＝
OB
﹣
OA
＝
故答案为﹣3；
，
﹣3，
（Ⅱ）如图，以
B
为圆心，
BA
为半径画弧交⊙
O
于
D
，以
A
为圆心，
AD
为半径画弧交
⊙
O
于
D
\'，连接
BD
\'交
OA
于
P
，点
D
，
P
即为所求．
在△
OBD
和△
OBA
中，
第 30 页 共 79 页
，
∴△
OBD
≌△
OBA
（
SSS
），
∴∠
ODB
＝∠
OAB
＝90°，
OD
⊥
OB
，
∴
BD
是⊙
O
的切线，
由垂径定理可知：
D
\'是
D
关于
OA
的对称点，
∴
DP
＝
D
\'
P
，
当
B
，
P
，
D
\'三点共线时，
BP
+
DP
＝
BP
+
D
\'
P
取得最小值，
∵
BA
是⊙
O
的切线，题中未指明
D
与
A
重合，
∴当
D
与
A
重合时，若
P
也与
A
重合，则
BP
+
DP
＝
BA
也取得最小值．
故答案为：以
B
为圆心，
BA
为半径画弧交⊙
O
于
D
，以
A
为圆心，
AD
为半径画弧交⊙
O
于
D
\'，连接
BD
\'交
OA
于
P
，点
D
，
P
即为所求．
6．解：∵⊙
O
的半径为1，
AC
，
BD
都是⊙
O
的直径，
∴
OD
＝
OA
＝1，
AC
＝2，
∵
DE
＝
x
，
∴
OE
＝
OD
+
DE
＝
x
+1，
∵
AE
是⊙
O
的切线，
∴
OA
⊥
AE
，
∴∠
OAE
＝90°，
在Rt△
AOE
中，
AE
2
＝
OE
2
﹣
OA
2
＝（
x
+1）
2
﹣1
2
＝
x
2
+2
x
，
在Rt△
ACE
中，
∵
AC
＝2，
CE
＝
y
，
CE
2
＝
AC
2
+
AE
2
＝2
2
+
x
2
+2
x
＝
x
2
+2
x
+4，
∴
y
＝
（
x
＞0），
第 31 页 共 79 页
故答案为：
y
＝（
x
＞0）．
7．解：如图，连接
BM
、
AM
，作
MH
⊥
BC
于
H
，
则
BH
＝
CH
，
∴
BC
＝2
BH
，
∵⊙
M
与
x
轴相切于点
A
，
∴
MA
⊥
OA
，
∵圆心
M
的坐标是（4，5），
∴
MA
＝5，
MH
＝4，
∴
MB
＝
MA
＝5，
在Rt△
MBH
中，
由勾股定理得：
BH
＝
∴
BC
＝2×3＝6，
故答案为：6．
＝＝3，
8．解：如图，作
AH
⊥
BC
于
H
，
在平行四边形
ABCD
中，∠
D
＝60°，
第 32 页 共 79 页
∴∠
BAD
＝120°，∠
ABC
＝∠
D
＝60°，
∵
AE
＝
AB
＝4，
∴△
ABE
是等边三角形，
∴
BE
＝
AB
＝
AE
＝4，
∴
AH
＝
AB
•sin∠
ABE
＝4×
∴图中阴影部分的面积＝
故答案为：π﹣4．
＝2，
﹣×4×2＝π﹣4，
9．解：连接
OC
，
∵
AC
＝
CD
，∠
ACD
＝120°，
∴∠
CAD
＝∠
D
＝30°，
∵
DC
切⊙
O
于
C
，
∴
OC
⊥
CD
，
∴∠
OCD
＝90°，
∴∠
COD
＝60°，
在Rt△
OCD
中，∠
OCD
＝90°，∠
D
＝30°，
OC
＝2，
∴
CD
＝2，
﹣＝2﹣π， ∴阴影部分的面积是
S
△
OCD
﹣
S
扇形
COB
＝×2×2
故答案为：2﹣π．
第 33 页 共 79 页
10．解：∵点
D
为半径
OA
的中点，
CD
⊥
OA
，
∴
OC
＝
CA
，
∵
OA
＝
OC
＝4，
∴△
AOC
为等边三角形，
∴∠
AOC
＝60°，
∴
CD
＝
OC
＝2，
∵∠
AOB
＝90°，
∴∠
BOC
＝30°，
∴图中阴影部分的面积＝
S
+
故答案为：3π﹣4．
＝3π﹣4
扇形
OAC
﹣
S
△
OAC
+
S
△
OEF
＝﹣
，
11．解：连接
BB
′，过
A
作
AF
⊥
BB
′于
F
，则∠
AFB
＝90°，如图，
第 34 页 共 79 页
∵将半径为2，圆心角为90°的扇形
BAC
绕
A
点逆时针旋转，使点
B
落在扇形
BAC
的弧
上的点
B
\'处，点
C
的对应点为点
C
\'，
∴扇形
ABC
和扇形
AB
′
C
′的面积相等，
AB
＝
AB
′＝
BC
＝
BB
′＝2，
∴△
ABB
′是等边三角形，
∴∠
ABF
＝60°，
∴∠
BAF
＝30°，
∴
BF
＝
AB
＝＝1，由勾股定理得：
AF
＝＝，
∴阴影部分的面积
S
＝
S
扇形
ABC
﹣（
S
扇形
ABB
′
﹣
S
△
ABB
′
）
＝
＝+
﹣（
，
+．
﹣）
故答案为：
12．解：连接
BO
并延长交⊙
O
于
D
，连接
CD
，
则∠
BCD
＝90°，
∵∠
BAC
＝30°，
∴∠
D
＝∠
BAC
＝30°，
∵
BC
＝2，
∴
BD
＝2
BC
＝4，
故答案为：4．
第 35 页 共 79 页
13．解：如图，连接
AO
并延长交⊙
O
于
D
，
由圆周角定理得：∠
ACB
＝∠
ADB
，
由勾股定理得：
AD
＝
∴sin∠
ACB
＝sin∠
ADB
＝
故答案为：．
＝
＝2，
＝，
14．解：∵四边形
ABCD
为菱形，
AC
＝6，
BD
＝6
∴
AE
＝3，
DE
＝3
∴
AD
＝
∴
S
△
ADE
＝＝
，
AC
⊥
BD
，
＝6，
，
，
∴图中的阴影部分的面积＝
S
半圆
﹣
S
△
ADE
＝
故答案为：﹣．
﹣＝﹣，
15．解：设圆弧与正方形的交点为
E
、
F
，连接
DE
、
DF
，
∵
AD
＝6，
DE
＝4
∴cos∠
ADE
＝
∴∠
ADE
＝30°，
∴
AE
＝
DE
＝2，
＝
，
，
第 36 页 共 79 页
同理，∠
CDF
＝30°，
∴∠
EDF
＝90°﹣30°﹣30°＝30°，
∴
S
12
阴影
＝
S
正方形
﹣2
S
△
ADE
﹣
S
扇形
DEF
＝6
2
﹣2××﹣＝36﹣
﹣4π，
﹣4π． 故答案为36﹣12
16．解：∵五边形
ABCDE
是正五边形，
∴∠
BCD
＝108°，
BC
＝
CD
，
∴∠
CBD
＝∠
CDB
＝36°，
∵∠
BCA
＝∠
BAC
＝36°，
∴∠
DCF
＝∠
DFC
＝72°，
∴
DF
＝
CD
＝4，
∵∠
BCF
＝∠
CBF
＝36°，
∴△
BCF
∽△
BDC
，
∴
∴
∴
∴
，
，解得（负值已舍去），
，
．
第 37 页 共 79 页
故答案为：
17．解：∵
AB
为直径，
∴∠
ACB
＝90°，
．
在Rt△
ABC
中，tan∠
ABC
＝＝，
∵∠
ADC
＝∠
ABC
，
∴tan∠
ADC
＝．
故答案为．
18．解：连接
CE
，
∵∠
A
＝30°，
∴∠
B
＝90°﹣∠
A
＝60°，
∵
CE
＝
CB
，
∴△
CBE
为等边三角形，
∴∠
ECB
＝60°，
BE
＝
BC
＝2，
∴
S
扇形
CBE
＝＝π
∵
S
△
BCE
＝
BC
2
＝，
∴阴影部分的面积为π﹣．
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故答案为：π﹣．
19．解：设⊙
O
与
AD
相切于
M
，与
EF
相切于
N
，与
CF
相切于
G
，
设正方形的边长为2
a
，
∴
AM
＝
DM
＝
DG
＝
CG
＝
a
，
设
ME
＝
NE
＝
x
，
NF
＝
FG
＝
y
，
在Rt△
DEF
中，
∵
DE
＝
a
﹣
x
，
DF
＝
a
﹣
y
，
EF
＝
x
+
y
，
∴（
x
+
y
）
2
＝（
a
﹣
x
）
2
+（
a
﹣
y
）
2
，
∴
ax
+
ay
+
xy
＝
a
2
，
∵
S
△
BEF
＝
S
正方形
ABCD
﹣
S
△
ABE
﹣
S
△
BCF
﹣
S
△
DEF
，
∴4
a
2
﹣
∴
∴，
，
＝，
∵
a
＞0，
∴
a
＝，
∴
AB
＝2
a
＝3，
∴⊙
O
的半径为，
故答案为：．
20．解：当点
C
关于直线
BD
的对称点落在⊙
O
上时，
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则
A
与
C
点重合，∠
ADB
＝∠
CDB
，
AD
＝
CD
，
∵∠
ADB
+∠
CDB
＝180°，
∴∠
ADB
＝90°，
∴
AD
是⊙
O
的直径，
∵∠
ABC
＝90°，
∴
BD
＝
AD
＝
AC
＝4，
在Rt△
ABD
中，
∵
AB
2
＝
AD
2
+
BD
2
＝4
2
+4
2
＝32，
∴
AB
＝4，
， ∴⊙
O
的半径等于2
故答案为：2．
21．解：∵∠
A
＝50°，
∴∠
BOC
＝100°．
∵
OB
＝
OC
，
∴△
OBC
为等腰三角形，
又∵
D
为
BC
中点，
∴
OD
为
BC
上中线，
根据等腰三角形三线合一性质可得
OD
为∠
BOC
的平分线，
∴∠
BOD
＝∠
BOC
＝50°．
故答案为：50°
22．解：连接
EB
，
AD
，
设⊙
O
的半径为
r
，
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