4乘4数字华容道题目

2024年3月31日发(作者：新领程数学试卷二年级上册)

4乘4数字华容道题目

首先，以4阶数字推盘为例，复原分为3个阶段第一阶段：复原前两行，n阶推盘为

前n-2行，第二阶段：将后两行排列为形式，第三阶段：全部复原将推盘各位置命名。第

一阶段：依照数字由小到大顺序依次复原1-8一、复原1234数字123的复原比较简单，

按照数字大小顺序从1开始，依次复原。在保持已复原较小数字位置不变的情况下，很容

易把较大数字移到相应位置，没有什么技术含量。数字4分为两种情况：数字3复原后4

恰巧移入相应位置，十分走运。事实上在移动1、2、3过程中稍加留意，可以人为制造

直接移入机会，省去下步笨办法。

然后，大多数情况下4无法直接移入，在D1处有其他数字占位。这时很容易把4排

列在D3的位置，依次移动D1→D2；C1→D1；C2→C1；D2→C2；D3→D2，推盘变

为，这时通过使C1、C2、C3依次挪位，可把3、4逆时针转入C1、D1，完成。二、复

原5678，与1234同理。第二阶段：保持前两行不动，复原后两行1、将9移动至A3，

并使A4不为空格，没有技术含量。2、分两种情况一、A4数字不是10：保持A3、A4

不动，很容易将10移至B3二、A4数字是10：保持9、10不动，将空格移至B4。

然后，依次移动A4→B4，A3→A4，B3→A3，保持A3、A4不动，将10移至C3，

依次移动A3→B3，A4→A3，B4→A4，B3→B4，C3→B3两种情况最后均得到，之后将

9、10依次逆时针转入A4、A3，完成。3、将11、12移动至B4、B3注意到移动9、

10过程中只用到了A3：C4六格区域。所以保持9、10不变，利用B3：D4六格区域同

理可以完成11、12的移动。第三阶段：复原在第二阶段基础上，移动C3：D4四格数字，

依次移动9-12与13-15，很容易复原（12→C3，11→B3，13→B4，14→C4，15→D4，

如此依次）。

然后，以上为四阶数字推盘通法，同理可推广至n阶推盘。数字推盘这种解法主要利

用的是四格（3数字+1空格）、六格（5数字+1空格）的小区域旋转循环。注意到循环

的*小区域为2*2四格，所以边角地区，如3和4需两列一起解决。最后两行通过将较小

数字如9、10并列放置在*左侧一列，为之后复原提供空间。n阶最后两行即需要依次把

较小数字并列放在*左侧，腾出右侧空间。以上方法为考虑各种情况，适用n阶的*常规解

法，略显繁琐。按照此法普通人一分钟内可以完成4阶复原。练熟后有些步骤可以省去。

玩了两小时发现的个人解法，可能有更优解。好多评论问到了无解的情况，补充一下相关

讨论。

然后，复原最后一步131415时会遇到两种情况，不妨设空位为数字0（所设数字并

不影响最终结论）：把推盘变为一阶排列Ⅰ:（123…121314150）与Ⅱ:

（123…121315140）这时每次移动可看作数字0与其它某一数字x的对换（设0所在序

数为n，事实上是0与n±1、n±4位置上元素的对换）Ⅰ为正常情况，现考虑如何复原

Ⅱ：复原排列Ⅱ等价于对排列Ⅱ进行对换（14，15），问题转化为对换（14，15）能否

写成若干个（0，x）对换的乘积。由于一次对换（14，15）改变原排列奇偶性，所以（0，

x）对换个数必为奇数。而要将D4处数字0最终移回D4，移动次数必为偶数（上移次数

等于下移次数，左移次数等于右移次数），所以排列Ⅱ无法还原为（123…121314150）。

也就是说，在保证其它数字位置不变的情况下，无法实现两个数字的位置互换。@高世奇

的回答里有更普遍的证明。