2024年3月23日发(作者：2016北京数学试卷理科)

专题

2.2

基本不等式及其应用（真题测试）

一、单选题

12

1

．（

2015·

湖南

·

高考真题（文））若实数

a,b

满足

ab

，则

ab

的最小值为

ab

A

．

2

B

．

2 C

．

22

D

．

4

2

．（

2019·

浙江

·

高考真题）若

a0,b0

，则

“

ab4

”

是

“

ab4

”

的

A

．充分不必要条件

C

．充分必要条件

B

．必要不充分条件

D

．既不充分也不必要条件

3

．（

2017·

山东

·

高考真题（理））若

a>b>0

，且

ab=1

，则下列不等式成立的是

A

．

a

1b

log

2

(ab)

b2

a

B

．

b1

log(ab)a

2

2

a

b

1b

b2

a

C

．

a

1b

log

2

(ab)

a

b2

D

．

log

2

(ab)a

4

．（

2015·

四川

·

高考真题（理））如果函数

f

x

减，则

mn

的最大值为

A

．

16 B

．

18

1

1

2

上单调递

n0

在区间

，

m2

x

2

n8

x1

m0，

2

2



C

．

25 D

．

81

2

5

．（

2014·

福建

·

高考真题（文））要制作一个容积为

4 m

3

，高为

1 m

的无盖长方体容器．已知该容器的底面

造价是每平方米

20

元，侧面造价是每平方米

10

元，则该容器的最低总造价是

(

)

A

．

80

元

C

．

160

元

B

．

120

元

D

．

240

元

11

，给出以下不等式：①

bc2

；②

a

；③

acb1

，

bc

6.

（

2022·

全国

·

模拟预测（文））已知

ab1c

则其中正确的个数为（

）

A

．

0 B

．

1 C

．

2 D

．

3

7

．（

2022·

江苏

·

泰州中学高二阶段练习）已知实数

a

，

b

，

c

满足

abc1

，

a

2

b

2

c

2

1

，则

ab

的取值

范围是（

）

A

．

[1,1]

1

B

．

,0

3

4

C

．

0,

3

D

．

[0,2]

2b

9

b

8

．（

2022·

浙江湖州

·

模拟预测）已知

a0,b0

，定义

H(a,b)max

a2,2

，则

H(a,b)

的最小值是

a



（

）

A

．

5 B

．

6 C

．

8 D

．

1

二、多选题

9

．（

2021·

上海金山

·

高一期末）已知

a0，b0

，则下列不等式恒成立的是（

）

ab

A

．

ab

4

2

；

B

．

ab

ab

；

2

C

．

abab2a

；

D

．

abab2b

.

10

．（

2020·

海南

·

高考真题）已知

a>0

，

b>0

，且

a+b=1

，则（

）

A

．

a

2

b

2

1

2

B

．

2

ab

D

．

ab2

1

2

C

．

log

2

alog

2

b2

11

．（

2022·

海南

·

海口一中高一期中）已知

a0,b0

，且

ab2

，则（

）

A

．

2

ab

4

C

．

lgalgb

≤0

B

．

11

a

2

b

2

2

b2

D

．

3

ab

11

12

．

（

2022·

福建

·

三明一中模拟预测）已知

x,yR

，且

0,xy2

，则下列不等式中一定成立的是（

）

xy

A

．

xy

11

B

．

2

xy

1

13

D

．

x

y

2

2

4

2

C

．

xy2x2y2

三、填空题

22

t

2

4t1

13.

（

2010·

重庆

·

高考真题（文））已知

t0

，则函数

y

的最小值为

____________ .

t

a

4

4b

4

1

14

．（

2017·

天津

·

高考真题（文））若

a,bR

，

ab0

，则的最小值为

___________.

ab

x

2

y

2

15

．（

2015·

山东

·

高考真题（文））定义运算

“

”

：

xy

（

x，yR,xy0

）

.

当

x0，y0

时，

xy

xy(2y)x

的最小值是

_______ .

16

．（

2020·

天津

·

高考真题）已知

a0,b0

，且

ab1

，则

四、解答题

118



的最小值为

_________

．

2a2bab

17

．（

2022·

河北保定

·

高二阶段练习）已知

a10b1

a0,b0

.

(1)

求

ab

的最大值；

(2)

求

11

的最小值

.

ab

18

．（

2021·

云南德宏

·

高一期末）运货卡车以

x

千米

/

时的速度匀速行驶

300

千米，按交通法规限制

50x100

x

2

(

单位千米

/

时

)

，假设汽车每小时耗油费用为

(24)

元，司机的工资是每小时

46

元．（不考虑其他因所素产

70

生的费用）

(1)

求这次行车总费用

y

(

元

)

关于

x

(

千米

/

时

)

的表达式；

(2)

当

x

为何值时，这次行车的总费用

y

最低？求出最低费用的值．

19

．（

2022·

新疆喀什

·

高一期末）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以

“

节能减排，绿色生态

”

为

主题

.

某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工

产品

.

已知该单位每月的处理量最少为

400

吨，最多为

600

吨，月处理成本

y

(

元

)

与月处理量

x

(

吨

)

之间的

函数关系可近似的表示为

y

元

.

(1)

该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

(2)

该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位

不亏损？

20

．（

2022·

湖北

·

洪湖市第一中学高一阶段练习）已知关于

x

的不等式

bx

2

5x40

的解集为

{x|x1

或

xa}

（

a1

）

.

1

2

x200x80000

，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为

100

2

(1)

求

a

，

b

的值；

ab

(2)

当

x0

，

y0

，且满足

1

时，有

xyk

2

2k6

恒成立，求

k

的取值范围

.

xy

2

21

．（

2022·

全国

·

哈师大附中模拟预测（文））已知不等式

ax

a2

xb0

的解集为

A

，

a

，

bR

．

(1)

若

A{x|x1

或

x2}

，求

|xa||xb|

的最小值；

3a

3

(2)

若

b2

，且

2A

，求

的最小值．

2

3a

22

．（

2022·

河南

·

开封市东信学校模拟预测（理））已知函数

f(x)|x1||x2|

.

(1)

求不等式

f(x)5

的解集；

11

(2)设

xR

时，

f(x)

的最小值为M.若正实数a，b，满足

abM

，求

a1b2

的最小值.

专题

2.2

基本不等式及其应用（真题测试）

一、单选题

12

1

．（

2015·

湖南

·

高考真题（文））若实数

a,b

满足

ab

，则

ab

的最小值为

ab

A

．

2

【答案】

C

【解析】

【详解】

B

．

2 C

．

22

D

．

4

12

ab，a＞0，b＞0，

ab

ab

12122

22,ab22

，（当且仅当

b2a

时取等号），所以

ababab

ab

的最小值为

22

，故选

C.

2

．（

2019·

浙江

·

高考真题）若

a0,b0

，则

“

ab4

”

是

“

ab4

”

的

A

．充分不必要条件

C

．充分必要条件

【答案】

A

【解析】

本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用

“

特殊值法

”

，通过特取

a,b

的值，推出矛盾，

确定必要性不成立

.

题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查

.

【详解】

当

a>0, b>0

时，

ab2ab

，则当

ab4

时，有

2abab4

，解得

ab4

，充分性成立；当

a=1, b=4

时，满足

ab4

，但此时

a+b=5>4

，必要性不成立，综上所述，

“

ab4

”

是

“

ab4

”

的充分不必要条件

.

3

．（

2017·

山东

·

高考真题（理））若

a>b>0

，且

ab=1

，则下列不等式成立的是

A

．

a

1b

log

2

(ab)

b2

a

B

．必要不充分条件

D

．既不充分也不必要条件

B

．

b1

log(ab)a

2

2

a

b

1b

b2

a

C

．

a

1b

log

2

(ab)

a

b2

D

．

log

2

(ab)a

【答案】

B

【解析】

【详解】

因为

ab0

，且

ab1

，所以

a1,0b1,

2

a

1

b

b

1,log

2

(ab)log

2

2ab1,

2

a

a

11

（

2015·

四川

·

高考真题（理））如果函数

abalog

2

(ab)

，所以选

B.4

．

bb

f

x

1

1

2

上单调递减，则

mn

的最大值为

n0

在区间

，

m2

x

2

n8

x1

m0，

2

2

A

．

16

【答案】

B

【解析】

【详解】

B

．

18 C

．

25 D

．

81

2

m2

时，抛物线的对称轴为

x

2mn

n8n8

2

即

2mn12

.

.

据题意，当

m2

时，

m2m2

2mn

6,mn18

.

由

2mn

且

2mn12

得

m3,n6

.

当

m2

时，抛物线开口向下，据题意

2

2nm

2nm81

9,mn

.

由

2nm

且

m2n18

得

m92

，故应舍

22

得，

n81

即

m2n18

.

m22

去

.

要使得

mn

取得最大值，应有

m2n18

(m2,n8)

.

所以

mn(182n)n(1828)816

，所以最大值

为

18.

选

B..

5

．（

2014·

福建

·

高考真题（文））要制作一个容积为

4 m

3

，高为

1 m

的无盖长方体容器．已知该容器的底面

造价是每平方米

20

元，侧面造价是每平方米

10

元，则该容器的最低总造价是

(

)

A

．

80

元

C

．

160

元

【答案】

C

【解析】

【详解】

设长方体底面边长分别为

x,y

，则

y

4

，

x

B

．

120

元

D

．

240

元

4

所以容器总造价为

z2(xy)1020xy20(x)80

，

x

4

由基本不等式得，

z20(x)80160

，

x

当且仅当底面为边长为

2

的正方形时，总造价最低，选

C.

6.

（

2022·

全国

·

模拟预测（文））已知

ab1c

则其中正确的个数为（

）

A

．

0

【答案】

B

【解析】

【分析】

B

．

1 C

．

2 D

．

3

11

，给出以下不等式：①

bc2

；②

a

；③

acb1

，

bc

对于①：利用基本不等式证明；对于②、③：取特殊值否定结论

.

【详解】

1

1

11

对于①：因为

b1c

，所以

0

，所以

bcb2b2

，即

bc2

.

故①正确；

b

b

bb

11

1

1

对于②：取

a2,c

满足

ab1c

，但是

a2

，所以

a

不一定成立

.

2

bc

c

故②错误；

1

73311

711

b11

，对于③：取

a2,b,c

满足

ab1c

，但是

ac2

，此时

acb1

，

44

b

4444

所以

acb1

不一定成立

.

故③错误

.

故选：

B

7

．（

2022·

江苏

·

泰州中学高二阶段练习）已知实数

a

，

b

，

c

满足

abc1

，

a

2

b

2

c

2

1

，则

ab

的取值

范围是（

）

A

．

[1,1]

【答案】

C

【解析】

【分析】

1

B

．

,0

3

4

C

．

0,

3

D

．

[0,2]

1

2

ab[

ab

a

2

b

2

]c

2

c

，根据题意可得

ab1c

，结合基本不等式，求出

c

的范围，即可求出

ab

2



的取值范围．

【详解】

∵

abc1

，

a

2

b

2

c

2

1

，

1

2

222

∴

ab1c

，

ab[

ab

ab]cc

，

2



ab

∵

ab



，

2

2

1c

∴

c

2

c

4

2

，

14

∴

c1

，∴

01c

，

33

∴

0ab

4

，故选：

C.

3

2b

9

b

8

．（

2022·

浙江湖州

·

模拟预测）已知

a0,b0

，定义

H(a,b)max

a2,2

，则

H(a,b)

的最小值是

a



（

）

A

．

5

【答案】

A

【解析】

【分析】

B

．

6 C

．

8 D

．

1

H(a,b)a2

2b

利用定义得到

9

b

，两个不等式相加后利用基本不等式可求出结果

.

H(a,b)2

a

【详解】

H(a,b)a2

2b

2b

9

b

由定义

H(a,b)max

a2,2

，得

9

b

，

a

H(a,b)2



a

9

b

9

2bb

9

2b

所以

2H(a,b)a22a22

2a22

2b

2

b

6410

，

aa

a

9

a3

a

a

当且仅当

，即

时，取等号

.

b1

2bb

22

所以

H(a,b)5

，即

H(a,b)

的最小值为

5

.

故选：

A

二、多选题

9

．（

2021·

上海金山

·

高一期末）已知

a0，b0

，则下列不等式恒成立的是（

）

ab

A

．

ab

4

2

；

B

．

ab

ab

；

2

C

．

abab2a

；

【答案】

AB

【解析】

【分析】

D

．

abab2b

.

利用基本不等式、绝对值三角不等式，判断出正确结论

.

【详解】

ab

ab

ab

，当且仅当

ab

时等号成立，

B

选项正确，两边平方得

ab

由基本不等式可知，当且

2

4

2

仅当

ab

时等号成立，

A

选项正确

.

根据绝对值三角不等式

abababab2a

，

C

选项错误

.

根据绝对值三角不等式

abababbaabba2b

，

D

选项错误

.

故选：

AB

10

．（

2020·

海南

·

高考真题）已知

a>0

，

b>0

，且

a+b=1

，则（

）

A

．

a

2

b

2

1

2

B

．

2

ab

D

．

ab2

1

2

C

．

log

2

alog

2

b2

【答案】

ABD

【解析】

【分析】

根据

ab1

，结合基本不等式及二次函数知识进行求解

.

【详解】

对于

A

，

aba

1a

222

2

1

11

2a2a1

2

a



，

2

22

2

2

当且仅当

ab

1

时，等号成立，故

A

正确；

2

ab

对于

B

，

ab2a11

，所以

2

1

2

1

，故

B

正确；

2

2

1

ab

对于

C

，

log

2

alog

2

blog

2

ablog

2



log

2

2

，

4

2

当且仅当

ab

对于

D

，因为

1

时，等号成立，故

C

不正确；

2

ab

2

12ab1ab2

，

1

时，等号成立，故

D

正确；

2

所以

ab2

，当且仅当

ab

故选：

ABD

11

．（

2022·

海南

·

海口一中高一期中）已知

a0,b0

，且

ab2

，则（

）

A

．

2

ab

4

C

．

lgalgb

≤0

【答案】

ACD

【解析】

【分析】

对于

A

选项，由不等式的性质运算可得，对于

B

选项，取特殊值可判断错误，对于

C

选项，运用基本不等

式即可，对于

D

选项，注意将

2

转化为

ab

，即可用基本不等式运算

.

【详解】

A

选项，∵

a0,b0

，∴

abab

，∴

2

ab

2

ab

4

，

A

正确

B

．

11

a

2

b

2

2

b2

D

．

3

ab


更多推荐

基本,利用,已知