2024年3月23日发(作者：2017新疆考数学试卷)
2023
年上海市春季高考数学试卷
一、填空题（本大题共有
12
题，满分
54
分，第
1-6
题每题
4
分，第
7-12
题每题
5
分）考
生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．（4分）已知集合A＝{1，2}，B＝{1，a}，且A＝B，则a＝ ．
2．（4分）已知向量＝（3，4），＝（1，2），则﹣2＝ ．
3．（4分）不等式|x﹣1|≤2的解集为： ．（结果用集合或区间表示）
4．（4分）已知圆C的一般方程为x
2
+2x+y
2
＝0，则圆C的半径为 ．
5．（4分）已知事件A的对立事件为，若P（A）＝0.5，则P（）＝ ．
6．（4分）已知正实数a、b满足a+4b＝1，则ab的最大值为 ．
7．（5分）某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为186cm，最小值为154cm，根据
身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为 ．
8．（5分）设（1﹣2x）
4
＝a
0
+a
1
x+a
2
x
2
+a
3
x
3
+a
4
x
4
，则a
0
+a
4
＝ ．
9．（5分）已知函数f（x）＝2
x
+1，且g（x）＝
2的解为 ．
10．（5分）为了学习宣传党的二十大精神，某校学生理论宣讲团赴社区宣讲，已知有4名
男生，6名女生，从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为 ．
11．（5分）已知z
1
，z
2
∈C且z
1
＝i
围为 ．
12．（5分）已知、、为空间中三组单位向量，且
|＝1，满足|•
⊥
|≤|•
、⊥
|≤|•
，与
|，则|
夹角
•|
（i为虚数单位），满足|z
1
﹣1|＝1，则|z
1
﹣z
2
|的取值范
﹣
，则方程g（x）＝
为60°，点P为空间任意一点，且|
最大值为 ．
二、选择题（本大题共有
4
题，满分
18
分，
13
−
14
题每题
4
分，第
15
−
16
题每题
5
分）
每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸相应的位置，将代表正确选项的小方格涂黑
.
13．（4分）下列函数是偶函数的是（ ）
A．y＝sinx B．y＝cosx C．y＝x
3
D．y＝2
x
14．（4分）如图为2017﹣2021年上海市货物进出口总额的条形统计图，则下列对于进出口
贸易额描述错误的是（ ）
第1页（共17页）
A．从2018年开始，2021年的进出口总额增长率最大
B．从2018年开始，进出口总额逐年增大
C．从2018年开始，进口总额逐年增大
D．从2018年开始，2020年的进出口总额增长率最小
15．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，点P为边A
1
C
1
上的动点，则下列直
线中，始终与直线BP异面的是（ ）
A．DD
1
B．AC C．AD
1
D．B
1
C
16．（5分）已知无穷数列{a
n
}的各项均为实数，S
n
为其前n项和，若对任意正整数k＞2022
都有|S
k
|＞|S
k+1
|，则下列各项中可能成立的是（ ）
A．a
1
，a
3
，a
5
，⋯，a
2n
﹣
1
，⋯为等差数到，a
2
，a
4
，a
6
，⋯，a
2n
，⋯为等比数列
B．a
1
，a
3
，a
5
，⋯，a
2n
﹣
1
，⋯为等比数列，a
2
，a
4
，a
6
，⋯，a
2n
，⋯为等差数列
C．a
1
，a
2
，a
3
，⋯，a
2022
为等差数列，a
2022
，a
2023
，⋯，a
n
，⋯为等比数列
D．a
1
，a
2
，a
3
，⋯，a
2022
为等比数列，a
2022
，a
2023
，⋯，a
n
，⋯为等差数列
三、解答题（本大题共有
5
题，满分
78
分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出
必要的步骤。
17．（14分）已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AB＝3，AC＝4，M
为BC中点，过点M分别作平行于平面PAB的直线交AC、PC于点E，F．
第2页（共17页）
（1）求直线PM与平面ABC所成角的大小；
（2）求直线ME到平面PAB的距离．
18．（14分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，其中b＝2．
（1）若A+C＝120°，a＝2c，求边长c；
（2）若A﹣C＝15°，a＝csinA，求△ABC的面积．
，其中F
0
为建19．（14分）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数”S＝
筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），V
0
为建筑物的体积（单位：立方米）．
（1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为R，高度为H，暴露在空气中的部分为上底面和
侧面，试求该建筑体的“体形系数”S；（结果用含R、H的代数式表示）
（2）定义建筑物的“形状因子”为f＝，其中A为建筑物底面面积，L为建筑物底面
周长，又定义T为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面
面积）．设n为某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为
S＝+．当f＝18，T＝10000时，试求当该宿舍楼的层数n为多少时，“体形系
数”S最小．
20．（18分）已知椭圆Γ：+＝1（m＞0且m≠）．
（1）若m＝2，求椭圆Γ的离心率；
（2）设A
1
、A
2
为椭圆Γ的左右顶点，椭圆Γ上一点E的纵坐标为1，且
2，求实数m的值；
（3）过椭圆Γ上一点P作斜率为的直线l，若直线l与双曲线
第3页（共17页）
•＝﹣
﹣＝1有且仅
有一个公共点，求实数m的取值范围．
21．（18分）已知函数f（x）＝ax
3
﹣（a+1）x
2
+x，g（x）＝kx+m（其中a≥0，k，m∈R），
若任意x∈[0，1]均有f（x）≤g（x），则称函数y＝g（x）是函数y＝f（x）的“控制函数”，
且对所有满足条件的函数y＝g（x）在x处取得的最小值记为（x）．
（1）若a＝2，g（x）＝x，试判断函数y＝g（x）是否为函数y＝f（x）的“控制函数”，
并说明理由；
（2）若a＝0，曲线y＝f（x）在x＝处的切线为直线y＝h（x），证明：函数y＝h（x）
为函数y＝f（x）的“控制函数”，并求（）的值；
（3）若曲线y＝f（x）在x＝x
0
，x
0
∈（0，1）处的切线过点（1，0），且c∈[x
0
，1]，证明：
当且仅当c＝x
0
或c＝1时，（c）＝f（c）．
第4页（共17页）
2023
年上海市春季高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有
12
题，满分
54
分，第
1-6
题每题
4
分，第
7-12
题每题
5
分）考
生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．（4分）已知集合A＝{1，2}，B＝{1，a}，且A＝B，则a＝ 2 ．
【分析】根据已知条件，结合集合相等的定义，即可求解．
【解答】解：集合A＝{1，2}，B＝{1，a}，且A＝B，
则a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查集合相等的定义，属于基础题．
2．（4分）已知向量＝（3，4），＝（1，2），则﹣2＝ （1，0） ．
【分析】根据平面向量的坐标运算法则，计算即可．
【解答】解：因为向量＝（3，4），＝（1，2），
所以﹣2＝（3﹣2×1，4﹣2×2）＝（1，0）．
故答案为：（1，0）．
【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题．
3．（4分）不等式|x﹣1|≤2的解集为： [﹣1，3] ．（结果用集合或区间表示）
【分析】运用|x|≤a⇔﹣a≤x≤a，不等式|x﹣1|≤2即为﹣2≤x﹣1≤2，解出即可．
【解答】解：不等式|x﹣1|≤2即为﹣2≤x﹣1≤2，
即为﹣1≤x≤3，
则解集为[﹣1，3]，
故答案为：[﹣1，3]．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查运算能力，属于基础题．
4．（4分）已知圆C的一般方程为x
2
+2x+y
2
＝0，则圆C的半径为 1 ．
【分析】把圆C的一般方程化为标准方程，可得圆C的圆心和半径．
【解答】解：根据圆C的一般方程为x
2
+2x+y
2
＝0，可得圆C的标准方程为（x+1）
2
+y
2
＝1，
故圆C的圆心为（﹣1，0），半径为1，
第5页（共17页）
故答案为：1．
【点评】本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属基础题．
5．（4分）已知事件A的对立事件为，若P（A）＝0.5，则P（）＝ 0.5 ．
【分析】利用对立事件概率计算公式直接求解．
【解答】解：事件A的对立事件为，
若P（A）＝0.5，则P（）＝1﹣0.5＝0.5．
故答案为：0.5．
【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解
能力，是基础题．
6．（4分）已知正实数a、b满足a+4b＝1，则ab的最大值为
【分析】直接利用基本不等式求出结果．
【解答】解：正实数a、b满足a+4b＝1，则ab＝
且仅当a＝，
故答案为：．
时等号成立．
，当
．
【点评】本题考查的知识要点：基本不等式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属
于基础题和易错题．
7．（5分）某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为186cm，最小值为154cm，根据
身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为 7 ．
【分析】计算极差，根据组距求解组数即可．
【解答】解：极差为186﹣154＝32，组距为5，且第一组下限为153.5，
＝6.4，故组数为7组，
故答案为：7．
【点评】本题考查频率分布直方图，属于基础题．
8．（5分）设（1﹣2x）
4
＝a
0
+a
1
x+a
2
x
2
+a
3
x
3
+a
4
x
4
，则a
0
+a
4
＝ 17 ．
【分析】根据二项式定理及组合数公式，即可求解．
【解答】解：根据题意及二项式定理可得：
a
0
+a
4
＝＝17．
第6页（共17页）
故答案为：17．
【点评】本题考查二项式定理及组合数公式的应用，属基础题．
9．（5分）已知函数f（x）＝2
x
+1，且g（x）＝
2的解为 x＝3 ．
【分析】分x≥0和x＜0分别求解即可．
【解答】解：当x≥0时，g（x）＝2⇔log
2
（x+1）＝2，解得x＝3；
当x＜0时，g（x）＝f（﹣x）＝2
x
+1＝2，解得x＝0（舍）；
所以g（x）＝2的解为：x＝3．
故答案为：x＝3．
【点评】本题考查了分段函数的性质、对数的基本运算、指数的基本运算，属于基础题．
10．（5分）为了学习宣传党的二十大精神，某校学生理论宣讲团赴社区宣讲，已知有4名
男生，6名女生，从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为 0.5 ．
【分析】根据古典概型求解即可．
【解答】解：从10人中任选3人的事件个数为
恰有1名男生2名女生的事件个数为
则恰有1名男生2名女生的概率为
故答案为：0.5．
【点评】略
11．（5分）已知z
1
，z
2
∈C且z
1
＝i
围为 [0，] ．
（i为虚数单位），满足|z
1
﹣1|＝1，则|z
1
﹣z
2
|的取值范
．
，
，
﹣
，则方程g（x）＝
【分析】引入复数的三角形式，将问题转化为三角函数的值域问题求解．
【解答】解：设z
1
﹣1＝cosθ+isinθ，则z
1
＝1+cosθ+isinθ，
因为z
1
＝i•
所以|z
1
﹣z
2
|＝
＝＝
，所以z
2
＝sinθ+i（cosθ+1），
，
第7页（共17页）
显然当
当
＝
时，原式取最小值0，
， ＝﹣1时，原式取最大值2
]．
故|z
1
﹣z
2
|的取值范围为[0，
故答案为：[0，]．
【点评】本题考查复数的三角形式以及三角恒等变换，同时考查了复数的模长公式，属
于中档题．
12．（5分）已知、、为空间中三组单位向量，且
|＝1，满足|•
⊥
|≤|•
、⊥
|≤|•
，与
|，则|
夹角
•|为60°，点P为空间任意一点，且|
最大值为 ．
【分析】将问题坐标化，表示出
件，结合不等式的性质求解．
【解答】解：设，
，不妨设x，y，z＞0，则|
因为|
所以
所以
故＝y
．
．
•|≤|•|≤|•|，
的坐标，再设，代入条
，
|＝x
2
+y
2
+z
2
＝1，
，
，可得，z≥y，
，解得，
故答案为：
【点评】本题考查空间向量的坐标运算以及不等式的性质，属于中档题．
二、选择题（本大题共有
4
题，满分
18
分，
13
−
14
题每题
4
分，第
15
−
16
题每题
5
分）
每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸相应的位置，将代表正确选项的小方格涂黑
.
13．（4分）下列函数是偶函数的是（ ）
A．y＝sinx B．y＝cosx C．y＝x
3
D．y＝2
x
【分析】根据偶函数的定义逐项分析判断即可．
【解答】解：对于A，由正弦函数的性质可知，y＝sinx为奇函数；
第8页（共17页）
对于B，由正弦函数的性质可知，y＝cosx为偶函数；
对于C，由幂函数的性质可知，y＝x
3
为奇函数；
对于D，由指数函数的性质可知，y＝2
x
为非奇非偶函数．
故选：B．
【点评】本题考查常见函数的奇偶性，属于基础题．
14．（4分）如图为2017﹣2021年上海市货物进出口总额的条形统计图，则下列对于进出口
贸易额描述错误的是（ ）
A．从2018年开始，2021年的进出口总额增长率最大
B．从2018年开始，进出口总额逐年增大
C．从2018年开始，进口总额逐年增大
D．从2018年开始，2020年的进出口总额增长率最小
【分析】结合统计图中条形图的高度、增量的变化，以及增长率的计算方法，逐项判断
即可．
【解答】解：显然2021年相对于2020年进出口额增量增加特别明显，故最后一年的增
长率最大，A对；
统计图中的每一年条形图的高度逐年增加，故B对；
2020年相对于2019的进口总额是减少的，故C错；
显然进出口总额2021年的增长率最大，而2020年相对于2019年的增量比2019年相对
于2018年的增量小，
且计算增长率时前者的分母还大，故2020年的增长率一定最小，D正确．
故选：C．
【点评】本题考查统计图的识图问题，以及增长率的计算，属于中档题．
第9页（共17页）
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