2024年3月31日发(作者：2011丽水中考数学试卷)
A级:“四基”巩固训练
一、选择题
1．已知|a|＝1,b＝( 0,2),且a·b＝1,则向量a与b夹角的大小为( )
π
A．
6
π
C．
3
答案 C
详细解析 ∵|a|＝1,b＝( 0,2),且a·b＝1,∴cos〈a,b〉＝
π
向量a与b夹角的大小为
3
.故选C．
2．已知平面向量a＝( 2,4),b＝( －1,2),若c＝a－( a·b)b,则|c|等于( )
A．42
C．8
答案 D
详细解析 易得a·b＝2×( －1)＋4×2＝6,所以c＝( 2,4)－6( －1,2)＝( 8,－
8),所以|c|＝8
2
＋－8
2
＝82.
B．25
D．82
a·b11
＝＝
.∴
|a||b|
1×0＋2
2
2
π
B．
4
π
D．
2
3．已知向量a＝( 3,1),b是不平行于x轴的单位向量,且a·b＝3,则b＝
( )
31
A．
，
22
133
C．
，
4
4
答案 B
详细解析 设b＝( x,y),其中y≠0,则a·b＝3x＋y＝3.
x
2
＋y
2
＝1，
由
3x＋y＝3，
y≠0，
13
B．
，
22
D．( 1,0)
1
x＝
2
，
解得
3
y＝
2
，
13
即b＝
，
.故选B．
22
4．已知A( －2,1),B( 6,－3),C( 0,5),则△ABC的形状是( )
A．直角三角形
C．钝角三角形
B．锐角三角形
D．等边三角形
答案 A
→
＝( 8,－4),AC
→
＝( 2,4),BC
→
＝( －6,8),因为AB
→
·
→
＝
详细解析 根据已知,有ABAC
→
⊥AC
→
,即∠BAC＝90°8×2＋( －4)×4＝0,所以AB.故△ABC为直角三角形．
ππ
5．若函数f( x)＝2sin
6
x＋
3
( －2 → ＋OC → )· → ＝( ) 线l与函数的图象交于B,C两点( 除点A外),则( OBOA A．－32 C．16 答案 D πxπ ππ 详细解析 由函数f( x)＝2sin 6 x＋ 3 ＝0可得 6 ＋ 3 ＝kπ,k∈Z,即x＝6k－2,k ∈Z.因为－2 1 ,y 1 ),C( x 2 ,y 2 )．由题意知B,C两点 → ＝( 4,0),OB → ＝( x ,y),OC → ＝( x ,y),所 关于点A对称,所以x 1 ＋x 2 ＝8,y 1 ＋y 2 ＝0.又OA 1122 → ＋OC → )· → ＝( x ＋x,y＋y)· 以( OB OA 1212 ( 4,0)＝4( x 1 ＋x 2 )＝32. 二、填空题 5 6．已知向量a＝( 1,2),b＝( －2,－4),|c|＝5,若( a＋b)·c＝ 2 ,则a与c的夹角 为________． 2π 答案 3 详细解析 设c＝( x,y),∵a＋b＝( －1,－2), 5 且|a|＝5,|c|＝5,( a＋b)·c＝ 2 , 55 ∴( －1,－2)·( x,y)＝ 2 .∴－x－2y＝ 2 , 5 ∴x＋2y＝－ 2 . 设a与c的夹角为θ, a·c x＋2y 1 ∴cosθ＝ |a||c| ＝＝－ 2 . 5·5 2π ∵0≤θ≤π,∴θ＝ 3 . 7．已知|a|＝3,|b|＝4,且( a＋2b)·( 2a－b)≥4,则a与b夹角θ的范围是________． B．－16 D．32 π 答案 0， 3 详细解析 ∵( a＋2b)·( 2a－b)＝2a 2 －a·b＋4a·b－2b 2 ＝2×9＋3|a||b|cos〈a,b〉 1 －2×16＝－14＋3×3×4cos〈a,b〉≥4,∴cos〈a,b〉≥ 2 ,又θ＝〈a,b〉∈[0,π],∴θ π ＝〈a,b〉∈ 0， 3 . 8．已知a＝( 1,3),b＝( 2＋λ,1),且a与b的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是 ________． 5 答案 λ>－5且λ≠－ 3 详细解析 因a与b的夹角为锐角,则cos〈a,b〉>0,且cos〈a,b〉≠1,即a·b 5 ＝2＋λ＋3>0,且b≠ka,则λ>－5且λ≠－ 3 . 三、解答题 13 9．设平面向量a＝( cosα,sinα)( 0≤α<2π),b＝ －， ,且a与b不共线． 22 ( 1)求证:向量a＋b与a－b垂直; ( 2)若两个向量3a＋b与a－3b的模相等,求角α. 13 解 ( 1)证明:由题意,知a＋b＝ cosα－ ，sinα＋ ,a－b＝ 22 13 cosα＋ ，sinα－ , 22 13 2 ∵( a＋b)·( a－b)＝cos α－ 4 ＋sin α－ 4 ＝0, 2 ∴( a＋b)⊥( a－b)． ( 2)|a|＝1,|b|＝1, 由题意知( 3a＋b) 2 ＝( a－3b) 2 , 13 化简得a·b＝0,∴－ 2 cosα＋ 2 sinα＝0, 3 ∴tanα＝ 3 . π7π 又0≤α<2π,∴α＝ 6 或α＝ 6 . B级:“四能”提升训练 1．如图,在矩形ABCD中,AB＝2,BC＝2,点E为BC的中点,点F在边CD上, →→→→ 若AB·AF＝2,则AE·BF的值是________． 答案 2 详细解析 以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直 角坐标系, → ＝( 2,1),AF → ＝( x,2),AB → ＝( 2,0)． 设F( x,2),则AE → · → ＝2x＝2, 所以AB AF 所以x＝1,所以F( 1,2)． → ＝( 1,2)－( 2,0)＝( 1－2,2)．所以AE → · → ＝2. 所以BF BF → ＝( 4,0),OB → ＝( 2,23),OC → ＝( 1－λ)OA → ＋λOB → ( λ 2 ≠λ)． 2．已知OA → · → 及OA → 在OB → 上的投影; ( 1)求OAOB → ＝BC → 时,求λ的值; ( 2)证明:A,B,C三点共线,并在AB → |的最小值． ( 3)求|OC → · → ＝8,设OA → 与OB → 的夹角为θ, 解 ( 1)OAOB → · → OAOB81 则cosθ＝＝＝ 2 , → ||OB → | 4×4 |OA → 在OB → 上的投影为|OA → |cosθ＝4× 1 ＝2. 所以OA 2 →→→ ( 2)证明:AB ＝OB－OA＝( －2,23), → ＝OC → －OB → ＝( 1－λ)OA → －( 1－λ)OB → ＝( λ－1)AB → , BC → 与BC → 有公共点B, 因为AB 所以A,B,C三点共线． → ＝BC → 时,λ－1＝1,所以λ＝2. 当AB →→→→→ ( 3)|OC| 2 ＝( 1－λ) 2 OA 2 ＋2λ( 1－λ)OA ·OB ＋λ 2 OB 2 1 ＝16λ 2 －16λ＋16＝16 λ－ 2 2 ＋12. 1 → |取到最小值23. 所以当λ＝ 2 时,|OC
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