2024年4月10日发(作者：第二次月考初二数学试卷)
课时考点19 统计-----随机变量的分布列和期望
高考考纲透析：
等可能性的事件的概率,互斥事件有一个发生的概率,相互独立事件同时发生的概
率,独立重复试验、离散型随机变量的分布列、期望和方差
高考风向标：
离散型随机变量的分布列、期望和方差
热点题型1 n次独立重复试验的分布列和期望
[样题1]
(2005年高考·全国卷II·理19)
甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比
赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛互间没有影响.令
为本场
比赛的局数,求
的概率分布和数学期望.（精确到0.0001）
本题考查离散型随机变量分布和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力。
解：单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1－0.6＝0.4
比赛3局结束有两种情况：甲队胜3局或乙队胜3局，因而P（
＝3）＝
0.60.40.28
比赛4局结束有两种情况：前3局中甲队胜2局，第4局甲队胜；或前3局中乙队胜2局，
第4局乙队胜。因而
2222
P（
＝4）＝
C
3
0.60.40.6
＋
C
3
0.40.60.40.3744
33
比赛5局结束有两种情况：前4局中甲队胜2局、乙队胜2局，第5局甲胜或乙胜。因而
222222
P（
＝5）＝
C
4
0.60.40.6
＋
C
4
0.40.60.40.3456
所以
的概率分布为
P
3 4 5
0.28 0.3744 0.3456
的期望
E
＝3×P（
＝3）＋4×P（
＝4）＋5×P（
＝5）＝4.0656
变式新题型1.
(2005年高考·浙江卷·理19)袋子
A
中装有若干个均匀的红球和白球，从
A
1
中摸出一个红球的概率是．
3
(Ⅰ) 从
A
中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次，求恰好有3次摸到红球的概率．
(Ⅱ) 从
A
中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．
(i)
求恰好摸5次停止的概率；
(
ii
)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为
，求随机变量
的分布列及数学期望
E
．
1
2
140
解：(Ⅰ)
C
3
3
3243
3
5
33
2
18
2
1
(Ⅱ)（i）
C
4
3
3
381
(ii)随机变量
的取值为0，1，2，3，；
由n次独立重复试验概率公式
P
n
k
C
n
p
1p
kk
nk
22
，得
1
32
0
；
P
0
C
5
1
3
243
1
80
1
1
P
1
C
5
1
3
3
243
80
1
1
P
2
C
1
3
3
243
2
5
23
4
5
3280217
17
1
3
1
（或
P
3
1
）
P
3
C
5
1
243243
33243
随机变量
的分布列是
32
P
0 1 2 3
32808017
243243243243
的数学期望是
E
32808017131
0123
24324324324381
热点题型2 随机变量
的取值范围及分布列
[样题2]
在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；
有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽
2张，求：
（Ⅰ）该顾客中奖的概率；
（Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值
（元）的概率分布列和期望
E
.
解法一：
2
C
6
2
152
（Ⅰ）
PI
2
1
，即该顾客中奖的概率为.
3
453
C
10
（Ⅱ）
的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）.
11
C
6
2
1
C
3
C
6
2
且P(
0)
2
,P(
10),
2
35
C
10
C
10
11
C
3
2
C
1
C
6
12
,P(
50),
P(
20)
2
2
1515
C
10
C
10
11
C
1
C
3
1
P(
60).
2
15
C
10
故
有分布
P
0 10 20 50 60
1
3
2
5
1
15
2
15
1
15
列：
从而期望
E
0
解法二：
12121
1020506016.
35151515
112
(C
4
C
6
C
4
)
302
（Ⅰ）
P,
2
453
C
10
（Ⅱ）
的分布列求法同解法一
由于10张券总价值为80元，即每张的平均奖品价值为8元，从而抽2张的平均奖品价
值
E
=2×8=16（元）.
变式新题型2.
假设一种机器在一个工作日内发生故障的概率为0 2，若一周5个工作
日内无故障，可获利润10万元；仅有一个工作日发生故障可获利润5万元；仅有两个工作
日发生故障不获利也不亏损；有三个或三个以上工作日发生故障就要亏损2万元 求：
（Ⅰ）一周5个工作日内恰有两个工作日发生故障的概率（保留两位有效数字）；
（Ⅱ）一周5个工作日内利润的期望（保留两位有效数字）
解：以
表示一周5个工作日内机器发生故障的天数，则
~B（5，0 2）
P(
k)C
5
k
0.2
k
0.8
5k
(k0,1,2,3,4,5).
（Ⅰ）
P(
2)C
5
2
0.2
2
0.8
3
0.21.
（Ⅱ）以
表示利润，则
的所有可能取值为10，5，0，－2
P(
10)P(
0)0.80.328.
114
P(
5)P(
1)C
5
0.20.80.410.
223
P(
0)P(
2)C
5
0.20.80.205.
5
P(
2)P(
3)1P(
0)P(
1)P(
2)0.057.
10 5 0
－2
的概率分布为
0 0 0 0
P
328 410 205 057
利润的期望=10×0 328+5×0 410+0×0 205－2×0 057≈5 2（万元）
[样题3]
(2005年高考·江西卷·理19)
A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时
A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片.规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已
赢得所有卡片时游戏终止.设
表示游戏终止时掷硬币的次数.
（1）求
的取值范围；
（2）求
的数学期望E
.
|mn|5
解：（1）设正面出现的次数为m，反面出现的次数为n，则
mn
，可得：
1
9
当m5,n0或m0,n5时,
5;当m6,n1或m1,n6时,
7;
当m7,n2或m2,n7时,
9;所以
的所有可能取值为:5,7,9.
（2）
P(
5)2()
1
2
5
215
1
1
7
;P(
7)2C
5
();
3216264
1555
;
166464
1555275
E
579.
16646432
P(
9)1
变式新题型3.
某射手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，
并进行下一组练习，否则一直打完5发子弹后才能进入下一组练习．若该射手在某组练习中
射击命中一次，并且他射击一次命中率为0．8，（1）求在这一组练习中耗用子弹ξ的分布
列．（2）求在完成连续两组练习后，恰好共耗用了4发子弹的概率。
分析：该组练习耗用的子弹数ξ为随机变量，ξ可取值为1，2，3，4，5ξ＝1，表示
第一发击中(练习停止)，故P(ξ＝1)＝0．8
ξ＝2，表示第一发未中，第二发命中，故P(ξ＝2)＝(1－0．8)×0．8＝0．16ξ＝3，
表示第一、二发未中，第三发命中，故P(ξ＝3)＝(1－0．8)
2
×0．8＝0．032以下类推
解：（1）ξ的分布列为
1 2 3 4 5
ξ
P
0．8 0．16 0．032 0．0064 0．0016
补充备例：有
n
把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开．用
它们去试开门上的锁．设抽取钥匙是相互独立且等可能的．每把钥匙试开后不能
放回．求试开次数 的数学期望和方差．
分析：求 时，由题知前 次没打开，恰第
k
次打开．不过，一
，发现规律后，推广到一般． 般我们应从简单的地方入手，如
解： 的可能取值为1，2，3，…，
n
．
；所以 的分布列为：
k
…
1 2 …
n
… …
；
说明：复杂问题的简化处理，即从个数较小的看起，找出规律所在，
进而推广到一般，方差的公式正确使用后，涉及一个数列求和问题，合理拆项，
转化成熟悉的公式，是解决的关键．
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