2.3 离散型随机变量的分布列及其期望

2024年4月10日发(作者：2020高考数学试卷原题)

2.3 离散型随机变量的分布列及其期望

基础梳理

1．离散型随机变量的分布列

(1)随机变量

如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字

母X，Y，ξ，η等表示．

(2)离散型随机变量

对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．

(3)分布列

设离散型随机变量X可能取得值为x

1

，x

2

，„，x

i

，„x

n

，X取每一个值x

i

(i＝1,2，„，n)的概

率为P(X＝x

i

)＝p

i

，则称表

X

P

x

1

p

1

x

2

p

2

„

„

x

i

p

i

„

„

x

n

p

n

为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列．

(4)分布列的两个性质

①p

i

≥0，i＝1,2，„，n；②p

1

＋p

2

＋„＋p

n

＝_1_.

2．两点分布

如果随机变量X的分布列为

X

P

1

p

0

q

其中0

3．超几何分布列

在含有M件次品数的N件产品中，任取n件，其中含有X件次品数，则事件{X＝k}发生的概率

n

－

k

C

k

M

C

N

－

M

为：P(X＝k)＝

C

n

(k＝0,1,2，„，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n、M、N∈

N

N

*

，则称分布列

X

P

为超几何分布列．

0

n

－

0

C

0

C

N

－

MM

·

n

C

N

1

n

－

1

C

1

M

C

N

－

M

C

n

N

„

„

m

n

－

m

C

m

M

C

N

－

M

C

n

N

4.二项分布

在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为k，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么

kn

－

k

在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝C

k

(k＝0,1,2，„，

n

p(1－p)

n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．

5.离散型随机变量的均值与方差

若离散型随机变量X的分布列为

X

P

(1)均值

称E(X)＝x

1

p

1

＋x

2

p

2

＋„＋x

i

p

i

＋„＋x

n

p

n

为随机变量X的均值

或

数

学

期

，它反映了离散型随机变量取值的

平均水平

．

望

(2)方差

x

1

p

1

x

2

p

2

„

„

x

i

p

i

„

„

x

n

p

n

称D(X)＝



[x

i

－E(X)]

2

p

i

为随机变量X的方差，它刻画了随机变

i

＝

1

n

量X与其均值E(X)的平均

偏离程度

，其算术平方根DX为随

机变量X的标准差．

基础训练

1．抛掷均匀硬币一次，随机变量为( )．

A．出现正面的次数 B．出现正面或反面的次数

C．掷硬币的次数 D．出现正、反面次数之和

2．如果X是一个离散型随机变量，那么下列命题中假命题是( )．

A．X取每个可能值的概率是非负实数

B．X取所有可能值的概率之和为1

C．X取某2个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和

D．X在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和

1

3．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝

2

k

，k＝1,2，„，则P(2

3115

A.

16

B.

4

C.

16

D.

16

4．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码

之和为X，则X的所有可能取值个数为( )．

A．25 B．10 C．7 D．6

5．设某运动员投篮投中的概率为P＝0.3，则一次投篮时投中次数的分布列是________．

1

6.小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是

3

( )．

4242

A.

9

B.

9

C.

27

D.

27

由统计数据求离散型随机变量的分布列

【例1】某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，

一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：

投资成功 投资失败

192次

则该公司一年后估计可获收益的期望是________．

(1)可设出随机变量Y，并确定随机变量的所有可能取值作为第一行数据；(2)由统计数

据利用事件发生的频率近似地表示该事件的概率作为第二行数据．由统计数据得到分布列可帮

助我们更好理解分布列的作用和意义．

8次

3

【训练1】某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为

5

，且各次射击的结果互不影

响．

(1)求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率(用数字作答)；

(2)求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率(用数字作答)；

(3)设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列

【例2】►某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了

两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司

要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500

元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元．令X表示此人选对A

饮料的杯数．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．

(1)求X的分布列；

(2)求此员工月工资的期望．

求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、

组合与概率知识求出X取各个值的概率．而超几何分布就是此类问题中的一种．

【训练2】着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标

准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部

分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超

1111

过两小时还车的概率分别为

4

，

2

；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为

2

，

4

；两人租

车时间都不会超过四小时．

(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；

(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．

【例3】►(某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业

2

生得到甲公司面试的概率为

3

，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试

1

是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝

12

，则随机变量X的数学

期望E(X)＝________.

本题考查了相互独立事件同时发生的概率求法以及分布列，期望的相关知识，公式应

用，计算准确是解题的关键．

【训练3】 某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H

1

N

1

流感，其中只有A到过疫区．B肯

定是受A感染的．对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感

11

染的概率都是

2

.同样也假定D受A、B和C感染的概率都是

3

.在这种假定之下，B、C、D中直

接受A感染的人数X就是一个随机变量．写出X的分布列(不要求写出计算过程)，并求X的均

值(即数学期望)．

【例4】►一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇

1

到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.

3

(1)设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列；

(2)设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y的分布列；

(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．

独立重复试验是相互独立事件的特例(概率公式也是如此)，就像对立事件是互斥事件

的特例一样，只要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”

或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样．

【训练4】 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每

名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有

60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选

择相互之间没有影响．

(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；

(2)任选3名下岗人员，记X为3人中参加过培训的人数，求X的分布列．

巩固提升

1、设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为

0.6,0.5,0.5,0.4,

各人是否需使用设

备相互独立.，则同一工作日至少3人需使用设备的概率为______________；

2、 甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合

格者将成为该高校的预录取生(可在高考中加分录取)，两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三个同学的

平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6、0.5、0.4，能通过面试的概率分别是0.6、

0.6、0.75.

(1)求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；

(2)求经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率．

3.某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学

来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活

动（每位同学被选到的可能性相同）．

（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；

（Ⅱ）设

X

为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量

X

的分布列和数学期望．

4.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白

球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获

一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．

(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；

(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列、数学期望和方差．