2024年4月10日发(作者：2023年重庆高考数学试卷)
高三第一轮复习
离散型随机变量及其概率分布
知识归纳
1．随机变量
(1)如果随机试验的结果可以用一个变量X来表示，并且X随试验结果的不同而
变化，那么变量X叫做随机变量．
(2)如果随机变量所有可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量
叫做离散型随机变量．如果随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变
量叫做连续型
随机变量．
2．离散型随机变量的分布列
(1)设离散型随机变量X所有可能取的不同值为x
1
、x
2
、…、x
i
、…、x
n
，X
取每个值x
i
(i＝1,2，…n)的概率P(X＝x
i
)＝p
i
，则称表
X
P
x
1
p
1
x
2
p
2
…
…
x
i
p
i
…
…
x
n
p
n
为随机变量X的分布列(或概率分布)．
X的分布列也可简记为：
P(X＝x
i
)＝p
i
，i＝1、2、…、n.
(2)离散型随机变量的分布列的性质：
①p
i
≥0，i＝1,2，…n； ②p
1
＋p
2
＋p
3
＋…p
n
＝1.
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之
和。
（3）
E
(
X
)＝
x
1
p
1
+
x
2
p
2
+…+
x
n
p
n
为随机变量
X
的均值或数学期望．它反映了
离散型随机变量取值的平均水平
（4）D(X)＝
[x
i
－E(X)]
2
p
i
＝
(
x
1
E
)
i
＝
1
n
2
p
1
+(
x
2
E
)
2
p
2
+…+(
x
n
E
)
2
p
n
为随机变量X的方差．它反映了随机变量取值相对于均值的平均波动大小．
方差D(X)的算术平方根DX叫做随机变量X的标准差，记作σ(X)．
（5）设
a
，
b
是常数，随机变量
X
，
Y
满足
Y
＝
aX
＋
b
，
则
E
(
Y
)＝
E
(
aX
＋
b
)＝
aE
(
X
)＋
b
，
D
(
Y
)＝
D
(
aX
＋
b
)＝
a
2
D
(
X
)
3．二点分布
如果随机变量X的分布列为
X
P
1
p
0
1－p
其中0 E ( X )＝ p ， D ( X )＝ p (1－ p ) 4．超几何分布 设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件 (n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时 knk C M C NM 的概率P(X＝m)＝ (0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)， n C N 称这种离散型随机变量的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N、M、 n的超几何分布． 5．条件概率 设A、B为两个事件，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件 概率，公式：P(B|A)＝ PA∩B . PA 任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1 如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． 6．事件的独立性 如果事件A的发生与否不影响事件B发生的概率，则P(B|A)＝P(B)，这时称 事件A与B相互独立． 如果事件A与B相互独立，则P(A∩B)＝P(A)P(B)， 对于n个事件A 1 、A 2 、…、A n ，如果其中任何一个事件发生的概率不受其它 事件是否发生的影响，则称这n个事件A 1 、A 2 、…、A n 相互独立． 如果事件A与B相互独立，那么事件A与B，A与B，A与B也都相互独立 7．独立重复试验与二项分布 (1)一般地，在相同条件下重复做n次试验，各次试验的结果相互独立，称 为n次独立重复试验． (2)二项分布 一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中 事件A发生的概率都为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的 概率为 kn － k P(X＝k)＝C k ，k＝0,1,2，…，n. n p(1－p) 此时称随机变量X服从参数为n、p的二项分布，记作X～B(n，p)． E ( X )＝ np ， D ( X )＝ np (1－ p ) 解决概率问题的步骤 第一步，确定事件的性质：古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验， 然后把所给问题归结为某一种． 第二步，判断事件的运算(和事件、积事件)，确定事件至少有一个发生还是 同时发生，分别运用相加或相乘事件公式． 第三步，运用公式求概率 m 古典概型P(A)＝ n ； 互斥事件P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； 条件概率P(B|A)＝ PAB ； PA 独立事件P(AB)＝P(A)P(B)； kn － k n次独立重复试验：P(X＝k)＝C k . n p(1－p) 基础训练： 1．下列四个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的一个是( ) A B C D 1 i 2．设随机变量 ξ 的分布列为 P ( ξ ＝ i )＝ a ， i ＝1,2,3， 则 a 的值为( ) 3 A．1 B. 91127 C. D. 131313 3．袋中有大小相同的 5 个球，分别标有 1,2,3,4,5 五个号码，现在在有放回 抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量 x ，则 x 所有可 能取值的个数是（ ） A.5 B.9 C.10 D.25 4．某一射手射击所得的环数 ξ 的分布列如下 ξ 6 7 8 9 10 P 0.1 0.2 0.25 x 0.15 此射手“射击一次命中环数≥8”的概率为_____. 1 5．某篮运动员在三分线投球的命中率是，他投球5次，恰好投进 3 个球的概 2 率____ (用数值作答) 6．已知随机变量 ξ 的分布列是：则 D ( ξ )＝( ) ξ 1 P 2 3 0.4 0.2 0.4 A．0.6 B．0.8 C．1 D．1.2 7．已知随机变量 ξ ～ B ( n ， p )，且 E ( ξ )＝2.4， D ( ξ )＝1.44，则 n , p 的值为 ( ) A． n ＝4， p ＝0.6 B． n ＝6， p ＝0.4 C． n ＝8， p ＝0.3 D． n ＝24， p ＝0.1 8．已知 X 的分布列如下表，设 Y ＝2 X ＋1，则 Y 的数学期望 X P A. －1 1 2 0 1 6 1 a 229 1 B. C.1 D 336 6 9．(2011 年上海)马老师从课本上抄录一个随机变量 ξ 的概率分布律如下表．请 小牛同学计算 ξ 的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹 模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案 E ( ξ ) ＝_____. x 1 2 3 P ( ξ ＝ x ) ？ ！ ？ 10.已知离散型随机变量 X 的分布列如下表．若 E ( X )＝0， D ( X )＝1，则 a ＝___， b ＝____. X P －1 0 1 2 1 12 a b c 典型例题 例1：从集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集中，等可能地取出一个． (1)记性质 r ：集合中的所有元素之和为 10，求所取出的非空子集满足性质 r 的 概率；(2)记所取出的非空子集的元素个数为 ξ ，求 ξ 的分布列和数学 期望 E ( ξ ) 变式1．某次选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下 一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率 432 分别为，，，且各轮问题能否正确回答互不影响． 555 (1)求该选手被淘汰的概率； (2)该选手在选拔中回答问题的个数记为 ξ ，求随机变量 ξ 的分 布列与数学期望(注：本小题结果可用分数表示)． （超几何分布）例2：从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人去参加辩论比赛． (1)求参加辩论比赛的 4 人中有 2 名女生的概率； (2)设 ξ 为参加辩论比赛的女生人数，求 ξ 的分布列及数学期望． 变式2．(2011 年广东广州调研)某商店储存的 50 个灯泡中，甲厂生产的灯泡 占 60%，乙厂生产的灯泡占 40%，甲厂生产的灯泡的一等品率是 90%，乙厂生产 的灯泡的一等品率是 80%. (1)若从这 50 个灯泡中随机抽取出一个灯泡(每个灯泡被取出的机会均等)，则 它是甲厂生产的一等品的概率是多少？ (2)若从这 50 个灯泡中随机抽取出两个灯泡(每个灯泡被取出的机会均等)，这 两个灯泡中是甲厂生产的一等品的个数记为 ξ .求 E ( ξ )的值． （二项分布）例3：已知某种从太空飞船中带回的植物种子每粒成功发芽的 概率都为—，某植物研究所分2个小组分别独立开展该种子的发芽 实验，每次实验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次实验是失败的． (1)第一小组做了 3 次实验，记该小组实验成功的次数为 X ， 求 X 的概率分布列及数学期望； (2)第二小组进行实验，到成功了 4 次为止，求在第 4 次成功 之前共有 3 次失败的概率． 变式3．某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样， 1 购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙 6 三位同学每人购买了一瓶该饮料． (1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； (2)求中奖人数 ξ 的分布列及数学期望 E ( ξ )． 例4：一个袋中装有 6 个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为 1,2,3,4,5,6. (1)若从袋中每次随机抽取 1 个球，有放回的抽取 2 次，求取出的两个球编号 之和为 6 的概率； (2)若从袋中每次随机抽取 2 个球，有放回的抽取 3 次，求恰有 2 次抽到 6 号 球的概率； (3)若一次从袋中随机抽取 3 个球，记球的最大编号为 X ，求随机变量 X 的分 布列． 例5：某商店试销某种商品20 天，获得如下数据： 日销售量(件) 频数 0 1 1 5 2 9 3 5 试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商 品 3 件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于 2 件，则当天进货补充至 3 件，否则不进货，将频率视为概率． (1)求当天商品不进货的概率； (2)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数，求 X 的分布列和数学期望及方差． 变式5．(2011 年广东惠州调研)某工厂在试验阶段大量生产一种零件．这种零 件有 A 、 B 两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若 A 8 项技术指标达标的概率为—， B 项技术指标达标的概率为.按质量检验规定： 9 两项技术指标都达标的零件为合格品． (1)一个零件经过检测至少一项技术指标达标的概率； (2)任意依次抽取该种零件 4 个，设 ξ 表示其中合格品的个数，求 ξ 分布列及 E ( ξ )， D ( ξ )． 例 6：(2011 届广东韶关摸底) A 、 B 两个投资项目的利润率分别为随机变量 x 1 和 x 2 .根据市场分析， x 1 和 x 2 的分布列分别为： x 1 P 5% 0.8 10% 0.2 x 2 2% P 8% 12% 0.2 0.5 0.3 (1)在 A 、 B 两个项目上各投资 100 万元， y 1 和 y 2 分别表示投资项目 A 和 B 所获得的利润，求方差 Dy 1 、 Dy 2 ； (2)将 x (0≤ x ≤100)万元投资 A 项目，100－ x 万元投资 B 项目， f ( x )表示投 资 A 项目所得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和. 求 f ( x )的最 小值，并指出 x 为何值时， f ( x )取到最小值[注： D ( ax ＋ b )＝ a 2 Dx ]． 变式6．(2011 年广东揭阳模拟)某单位甲乙两个科室人数及男女工作人员分布 情况见下表．现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两个 科室中共抽取 3 名工作人员进行一项关于“低碳生活”的调查. 男 性别人数科别 甲科室 乙科室 6 3 女 4 2 (1)求从甲、乙两科室各抽取的人数； (2)求从甲科室抽取的工作人员中至少有 1 名女性的概率； (3)记 ξ 表示抽取的 3 名工作人员中男性的人数，求 ξ 的分布列 及数学期望． 参考答案 基础训练： 1．下列四个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的一个是( C ) A B C D 1 i 2．设随机变量 ξ 的分布列为 P ( ξ ＝ i )＝ a ， i ＝1,2,3，则 a 的值为( D ) 3 A．1 B. 91127 C. D. 131313 3．袋中有大小相同的 5 个球，分别标有 1,2,3,4,5 五个号码，现在在有放回 抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量 x ，则 x 所有可 能取值的个数是（ B ） A.5 B.9 C.10 D.25 4．某一射手射击所得的环数 ξ 的分布列如下 ξ 6 7 8 9 10 P 0.1 0.2 0.25 x 0.15 此射手“射击一次命中环数≥8”的概率为__0.7___. 1 5．某篮运动员在三分线投球的命中率是，他投球5次，恰好投进 3 个球的概 2 率____ (用数值作答) 1 5 3 5 解析：C 5 ＝. 2 16 6．已知随机变量 ξ 的分布列是：则 D ( ξ )＝( B ) ξ 1 P 2 3 0.4 0.2 0.4 A．0.6 B．0.8 C．1 D．1.2 7．已知随机变量 ξ ～ B ( n ， p )，且 E ( ξ )＝2.4， D ( ξ )＝1.44，则 n , p 的值为 ( ) A． n ＝4， p ＝0.6 B． n ＝6， p ＝0.4 C． n ＝8， p ＝0.3 D． n ＝24， p ＝0.1 8．已知 X 的分布列如下表，设 Y ＝2 X ＋1，则 Y 的数学期望 X P A. －1 1 2 0 1 6 1 a 229 1 B. C.1 D 336 6 9．(2011 年上海)马老师从课本上抄录一个随机变量 ξ 的概率 分布律如下表．请小牛同学计算 ξ 的数学期望，尽管“！”处无法 完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的 数值相同．据此，小牛给出了正确答案 E ( ξ )＝__2___. x 1 2 3 P ( ξ ＝ x ) ？ ！ ？ 10.已知离散型随机变量 X 的分布列如下表．若 E ( X )＝0， D ( X )＝1，则 a ＝___， b ＝____. X P 解析：由题知 a ＋ b ＋ c ＝ 51 a ＝， b ＝. 124 －1 0 1 2 1 12 a b c 1111 ，－ a ＋ c ＋＝0,1 2 × a ＋1 2 × c ＋2 2 ×＝1，解得 12612 典型例题 例1：从集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集中，等可能地取出一个． (1)记性质 r ：集合中的所有元素之和为 10，求所取出的非空子集满足性质 r 的 概率； (2)记所取出的非空子集的元素个数为 ξ ，求 ξ 的分布列和数学 期望 E ( ξ ) 解析：(1)记“所取出的非空子集满足性质 r ”为事件 A ， 2345 基本事件总数 n ＝C 1 5 ＋C 5 ＋C 5 ＋C 5 ＋C 5 ＝31. 事件 A 包含的基本事件是{1,4,5}，{2,3,5}，{1,2,3,4}． 事件 A 包含的基本事件数 m ＝3，所以 p ( A )＝＝ (2)依题意， ξ 的所有可能取值为1,2,3,4,5. m 3 . n 31 C 1 5C 2 10C 3 10 555 又 p ( ξ ＝1)＝＝， p ( ξ ＝2)＝＝， p ( ξ ＝3)＝＝， 3 C 4 5C 5 1 55 p ( ξ ＝4)＝＝， p ( ξ ＝5)＝＝. 31313131 故 ξ 的分布列为： ξ P 从而 E ( ξ )＝1× 1 5 31 2 10 31 3 10 31 4 5 31 5 1 31 510105180 ＋2×＋3×＋4×＋5×＝. 3 变式1．某次选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下 一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率 432 分别为，，，且各轮问题能否正确回答互不影响． 555 (1)求该选手被淘汰的概率； (2)该选手在选拔中回答问题的个数记为 ξ ，求随机变量 ξ 的分 布列与数学期望(注：本小题结果可用分数表示)． 解：方法一：(1)记“该选手能正确回答第 i 轮的问题”的事件为 A i ( i ＝ 432 1,2,3)，则 P ( A 1 )＝， P ( A 2 )＝， P ( A 3 )＝， 555 ∴该选手被淘汰的概率 p ＝ P ( A 1 ＋ A 1 A 2 ＋ A 1 A 2 A 3 ) ＝ P ( A 1 )＋ P ( A 1 ) P ( A 2 )＋ P ( A 1 ) P ( A 2 ) P ( A 3 ) 142433101 ＝＋×＋××＝. 555555125 1 (2) ξ 的可能值为1,2,3， P ( ξ ＝1)＝ P ( A 1 )＝； 5 P ( ξ ＝2)＝ P ( A 1 A 2 )＝ P ( A 1 ) P ( A 2 )＝×＝； 4312 P ( ξ ＝3)＝ P ( A 1 A 2 )＝ P ( A 1 ) P ( A 2 )＝×＝. 5525 ∴ ξ 的分布列为 4 5 2 5 8 25 ξ P 1 1 5 2 8 25 3 12 25 181257 ∴ E (ξ)＝1×＋2×＋3×＝ 5252525 （超几何分布）例2：从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人去参加辩论比赛． (1)求参加辩论比赛的 4 人中有 2 名女生的概率； (2)设 ξ 为参加辩论比赛的女生人数，求 ξ 的分布列及数学期望． 2 C 2 10 5 ·C 4 解析：(1) P ＝ 4 ＝. C 9 21 (2) ξ 可能取值为0,1,2,3,4， C 4 5 5 P ( ξ ＝0)＝ 4 ＝， C 9 126 1 C 3 20 5 ·C 4 P ( ξ ＝1)＝ 4 ＝， C 9 63 2 C 2 10 5 ·C 4 P ( ξ ＝2)＝ 4 ＝， C 9 21 3 C 1 10 5 ·C 4 P ( ξ ＝3)＝ 4 ＝， C 9 63 C 4 1 4 P ( ξ ＝4)＝ 4 ＝. C 9 126 所求的分布列为： ξ 0 5 126 1 20 63 2 10 21 3 10 63 4 1 126 P ∴ E ( ξ )＝0× 52010101112 ＋1×＋2×＋3×＋4×＝. 663 变式2．(2011 年广东广州调研)某商店储存的 50 个灯泡中，甲厂生产的灯泡 占 60%，乙厂生产的灯泡占 40%，甲厂生产的灯泡的一等品率是 90%，乙厂生产 的灯泡的一等品率是 80%. (1)若从这 50 个灯泡中随机抽取出一个灯泡(每个灯泡被取出的机会均等)，则 它是甲厂生产的一等品的概率是多少？ (2)若从这 50 个灯泡中随机抽取出两个灯泡(每个灯泡被取出的机会均等)，这 两个灯泡中是甲厂生产的一等品的个数记为 ξ .求 E ( ξ )的值． 解：(1)方法一：设事件 A 表示“甲厂生产的灯泡”，事件 B 表示“灯泡为一等品”， 依题意有 P ( A )＝0.6， P ( B | A )＝0.9，根据条件概率计算公式得 P ( AB )＝ P ( A )· P ( B | A )＝0.6×0.9＝0.54. 方法二：该商店储存的 50 个灯泡中是甲厂生产的灯泡有 50×60%＝30(个)， 乙厂生产的灯泡有 50×40%＝20(个)， 其中是甲厂生产的一等品有 30×90%＝27(个)， 乙厂生产的一等品有 20×80%＝16(个)， 故从这 50 个灯泡中随机抽取出一个灯泡， 27 它是甲厂生产的一等品的概率是 P ＝＝0.54. 50 (2) ξ 的取值为0,1,2， C 2 253 23 P ( ξ ＝0)＝ 2 ＝， C 50 1 225 1 C 1 621 27 C 23 P ( ξ ＝1)＝ 2 ＝， C 50 1 225 C 2 351 27 P ( ξ ＝2)＝ 2 ＝. C 50 1 225 ∴ ξ 的分布列为： ξ 0 253 1 225 1 621 1 225 2 351 1 225 P ∴ E ( ξ )＝0× 2536213511 323 ＋1×＋2×＝＝1.08. 1 2251 2251 2251 225 （二项分布）例3：已知某种从太空飞船中带回的植物种子每粒成功发芽的 概率都为—，某植物研究所分2个小组分别独立开展该种子的发芽 实验，每次实验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次实验是失败的． (1)第一小组做了 3 次实验，记该小组实验成功的次数为 X ， 求 X 的概率分布列及数学期望； (2)第二小组进行实验，到成功了 4 次为止，求在第 4 次成功 之前共有 3 次失败的概率． 解析：(1)由题意，随机变量 X 可能取值为0,1,2,3， 1 1 3 8 0 3，1－ ＝， 则 X ～ B ，即 P ( X ＝0)＝C 3 · 33 27 12 P ( X ＝1)＝C 1 3 · · 1－ ＝， 1 3 1 3 1 3 1 3 4 9 2 9 21 P ( X ＝2)＝C 2 3 · · 1－ ＝， 1 3 1 P ( X ＝3)＝C· ＝. 3 27 3 3 ∴ X 的概率分布列为： X P 0 8 27 1 4 9 2 2 9 3 1 27 ∴ X 的数学期望 E ( X )＝0× 8421 ＋1×＋2×＋3×＝1. 279927 (2)第二小组第7次实验成功，前面6次实验中有3次失败，每次试验又是 相互独立的，因此所求概率为 1 3 1160 1 3 1－ ·＝ P ＝C· · . 3 32 187 3 3 6 变式3．某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样， 1 购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙 6 三位同学每人购买了一瓶该饮料． (1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； (2)求中奖人数 ξ 的分布列及数学期望 E ( ξ )． 解：(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为 A 、 B 、 C ，那么 P ( A )＝ P ( B )＝ P ( C )＝. P ( A · B · C )＝ P ( A ) P ( B ) P ( C )＝· 2 ＝ (2) ξ 的可能值为0,1,2,3， k 3－ k P ( ξ ＝ k )＝C k ( k ＝0,1,2,3)． 3 1 6 1 6 5 6 25 . 216 1 5 6 6 所以中奖人数 ξ 的分布列为： ξ 0 1 2 3 P 125 216 25 72 5 72 1 216 12525511 E ( ξ )＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 21672722162 例4：一个袋中装有 6 个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为 1,2,3,4,5,6. (1)若从袋中每次随机抽取 1 个球，有放回的抽取 2 次，求取出的两个球编号 之和为 6 的概率； (2)若从袋中每次随机抽取 2 个球，有放回的抽取 3 次，求恰有 2 次抽到 6 号 球的概率； (3)若一次从袋中随机抽取 3 个球，记球的最大编号为 X ，求随机变量 X 的分 布列． 正解：(1)设先后两次从袋中取出球的编号为 m ， n ，则两次取 球的编号的一切可能结果( m ， n )有6×6＝36 种， 其中和为6 的结果有(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，共5种， 6 则所求概率为. 35 (2)每次从袋中随机抽取2个球，抽到编号为6的球的概率 C 1 1 5 p ＝ 2 ＝. C 6 3 所以，3次抽取中，恰有2次抽到6号球的概率为 1 2 2 2 C p (1－ p )＝3× ＝. 3 3 9 2 3 2 (3)随机变量 X 所有可能的取值为3,4,5,6. C 3 1 3 P ( X ＝3)＝ 3 ＝， C 6 20 C 2 3 3 P ( X ＝4)＝ 3 ＝， C 6 20 C 2 63 4 P ( X ＝5)＝ 3 ＝＝， C 6 2010 C 2 101 5 P ( X ＝6)＝ 3 ＝＝. C 6 202 所以，随机变量 X 的分布列为： X P 3 1 20 0 1 1 5 4 3 20 2 9 3 5 5 3 10 6 1 2 例5：某商店试销某种商品20 天，获得如下数据： 日销售量(件) 频数 试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商 品 3 件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于 2 件，则当天进货补充至 3 件，否则不进货，将频率视为概率． (1)求当天商品不进货的概率； (2)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数，求 X 的分布列和数学期望及方差． 解析：(1) P (“当天商品不进货”)＝ P (“当天商品销售量为0件”)＋ P (“当天商品销售量为1件”)＝＋＝. (2)由题意知， X 的可能取值为2,3. 51 P ( X ＝2)＝ P (“当天商品销售量为1件”)＝＝， 204 1 20 5 20 3 10 P ( X ＝3)＝ P (“当天商品销售量为0件”)＋ P (“当天商品销售量为2件”) ＋ P (“当天商品销售量为3件”) ＝ 故 X 的分布列为： 1953 ＋＋＝. 2020204 2 1 4 1 4 3 4 11 4 3 3 4 X P X 的数学期望为 EX ＝2×＋3×＝， 11 2 3 11 2 31 方差 DX ＝× 2－ ＋× 3－ ＝. 4 4 4 164 变式5．(2011 年广东惠州调研)某工厂在试验阶段大量生产一种零件．这种零 件有 A 、 B 两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若 A 8 项技术指标达标的概率为—， B 项技术指标达标的概率为.按质量检验规定： 9 两项技术指标都达标的零件为合格品． (1)一个零件经过检测至少一项技术指标达标的概率； (2)任意依次抽取该种零件 4 个，设 ξ 表示其中合格品的个数，求 ξ 分布列及 E ( ξ )， D ( ξ )． 解：(1)设 M ：一个零件经过检测至少一项技术指标达标，则 M ： A ， B 都不 达标； 3 8 35 1－1－ ＝. 故 P ( M )＝1－ P ( M )＝1－· 49 36 2 1 1 (2)依题意知 ξ ～ B 4， ， P ( ξ ＝0)＝ 4 ＝， 3 3 81 2 1 1 3 8 P ( ξ ＝1)＝C ＝， 3 3 81 1 4 － － 2 2 1 2 248 P ( ξ ＝2)＝C ＝＝， 3 3 8127 2 4 3 P ( ξ ＝3)＝C 3 ， 4 ＝ 2 1 3 3 16 81 32 81 P ( ξ ＝4)＝ 4 ＝. ξ 的分布列为： P 28 33 2 3 0 1 81 2 3 1 8 81 2 2 8 27 8 9 3 32 81 4 16 81 E (ξ)＝4·＝， D (ξ)＝4· · 1－ ＝. 3 例 6：(2011 届广东韶关摸底) A 、 B 两个投资项目的利润率分别为随机变量 x 1 和 x 2 .根据市场分析， x 1 和 x 2 的分布列分别为： x 1 P 5% 0.8 10% 0.2 8% 12% x 2 2% P 0.2 0.5 0.3 (1)在 A 、 B 两个项目上各投资 100 万元， y 1 和 y 2 分别表示投资项目 A 和 B 所获得的利润，求方差 Dy 1、 Dy 2； (2)将 x (0≤ x ≤100)万元投资 A 项目，100－ x 万元投资 B 项目， f ( x )表示投 资 A 项目所得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和. 求 f ( x )的最 小值，并指出 x 为何值时， f ( x )取到最小值[注： D ( ax ＋ b )＝ a 2 Dx ]． 解析：(1)由题设可知y 1 和 y 2 的分布列分别为： E( y 1 )＝5×0.8＋10×0.2＝6， D( y 1 )＝(5－6) 2 ×0.8＋(10－6) 2 ×0.2＝4. x 100－ x x 2 100－ x 2 yy Dy 2 (2) f ( x )＝ D ＋ D ＝ Dy ＋ 12 E(y 2 )＝2×0.2＋8×0.5＋ 12× 0.3＝8， 100 1 100 100 100 44 2222 ＝ 2 [ x ＋3(100－ x )]＝ 2 (4 x －600 x ＋3×100)， 100100 当 x ＝ 600 ＝75时， f ( x )＝3为最小值． 2×4 y 1 P 5 10 0.8 0.2 y 2 2 8 12 P 0.2 0.5 0.3 变式6．(2011 年广东揭阳模拟)某单位甲乙两个科室人数及男女工作人员分布 情况见下表．现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两个 科室中共抽取 3 名工作人员进行一项关于“低碳生活”的调查. 性别 人数 科别 甲科室 乙科室 6 3 4 2 男 女 (1)求从甲、乙两科室各抽取的人数； (2)求从甲科室抽取的工作人员中至少有 1 名女性的概率； (3)记 ξ 表示抽取的 3 名工作人员中男性的人数，求 ξ 的分布列 及数学期望． 3 解：(1)从甲组应抽取的人数为×10＝2， 15 从乙组中应抽取的人数为 3 ×5＝1. 15 (2)从甲组抽取的工作人员中至少有1名女性的概率 12 C 1 2 C 2 2 4 C 6 ＋C 4 6 ＝ . P ＝1－ 2 ＝ 或 P ＝ 2 C 10 3 C 10 3 (3) ξ 的可能取值为0,1,2,3， C 2 C 1 4 42 P ( ξ ＝0)＝ 2 · 1 ＝， C 10 C 5 75 1 C 1 C 1 C 2 C 1 22 4 C 6243 P ( ξ ＝1)＝ 2 · 1 ＋ 2 · 1 ＝， C 10 C 5 C 10 C 5 75 1 C 2 C 1 C 1 C 1 34 626 C 43 P ( ξ ＝2)＝ 2 · 1 ＋ 2 · 1 ＝， C 10 C 5 C 10 C 5 75 C 2 C 1 1 63 P ( ξ ＝3)＝ 2 · 1 ＝， C 10 C 5 5 ∴ ξ 的分布列为： ξ P ( ξ ) 0 4 75 1 22 75 2 34 75 3 1 5 4223419 E ( ξ )＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 75757555
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概率,事件,分布,抽取
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