2024年3月25日发(作者：考数学试卷的技巧初二上册)

第1课时

学习目标

函数的单调性

1.了解函数的单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.

会用定义证明函数的单调性．

导语

我们知道，“记忆”在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直

都是人们研究的课题．德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，并

给出了类似如图所示的记忆规律．

如果我们以x表示时间间隔(单位：h)，y表示记忆保持量(单位：%)，则不难看出，图中，y

是x的函数，记这个函数为y＝f(x)．

这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？

一、函数的单调性的判定与证明

问题1观察下面三个函数图象，他们的图象有什么变化规律？这反映了相应函数值的哪些

变化规律？

提示函数y＝x的图象从左向右看是上升的；函数y＝x

2

的图象在y轴左侧是下降的，在y

轴右侧是上升的；函数y＝－x

2

的图象在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的．

问题2

提示

如何理解函数图象是上升的？

从左向右的方向看函数的图象，当图象上点的横坐标逐渐增大时，点的纵坐标也逐渐

变大，即函数的自变量逐渐增大时，对应的函数值逐渐增大．

知识梳理

增函数与减函数的定义

前提条件

条件

设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A

如果对于区间I内的任意两个值x

1

，x

2

，当x

1

2

时

都有f(x

1

)

2

)都有f(x

1

)>f(x

2

)

图示

结论

y＝f(x)在区间I上是增函数(也称在I

上单调递增)，I称为y＝f(x)的增区间

y＝f(x)在区间I上是减函数(也称在I

上单调递减)，I称为y＝f(x)的减区间

注意点：

(1)区间I是定义域的子集，即应在函数的定义域内研究单调性．

(2)单调性应注意“三特性”：①同区间性，即x

1

，x

2

∈I；②任意性，即不可以用区间I上的

特殊值代替；③有序性，即要规定x

1

，x

2

的大小．

(3)“单调递增(递减)”“x

1

，x

2

的大小”“f(x

1

)与f(x

2

)的大小”知二求一．

例1已知函数f(x)＝

1

.

x

2

－1

(1)求f(x)的定义域；

(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并用定义加以证明．

解(1)由x

2

－1≠0，得x≠±1，

1

的定义域为{x|x∈R，且x≠±1}．

x

2

－1

所以函数f(x)＝

(2)函数f(x)＝

1

在(1，＋∞)上是减函数．

x

2

－1

证明：∀x

1

，x

2

∈(1，＋∞)，

设x

1

2

，

x

1

－x

2

x

1

＋x

2

11

有f(x

2

)－f(x

1

)＝

2

－

2

＝，

2

x

2

－1

x

1

－1

x

2

1

－1x

2

－1

由x

1

，x

2

∈(1，＋∞)，得x

1

>1，x

2

>1，

2

所以x

2

1

－1>0，x

2

－1>0，x

1

＋x

2

>0.

又x

1

2

，所以x

1

－x

2

<0，

于是

x

1

－x

2

x

1

＋x

2

<0，

2

x

2

－1x－1

12


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