2024年3月25日发(作者：高年级数学试卷答案)

大成教育

高中数学必修一函数——单调性

滨湖区课外辅导教育专家

考纲解读： 了解单调函数及单调区间的意义，掌握判断函数单调性的方法；掌握增，减函数

的意义，理解函数单调函数的性质。

能力解读

：

函数单调性的判断和函数单调性的应用。利用函数单调性判断方法来判断函数的

单调性，利用函数的单调性求解函数的最值问题。掌握并熟悉抽象函数以及符合函数的单调

性判断方法。

知识要点：

1．函数单调性的定义，

2．证明函数单调性；

3．求函数的单调区间

4．利用函数单调性解决一些问题；

5．抽象函数与函数单调性结合运用

一、单调性的定义

（1）设函数

yf(x)

的定义域为

A

，区间

IA

如果对于区间

I

内的任意两个值

x

1

，

x

2

，当

x

1

x

2

时，都有

f(x

1

)f(x

2

)

，那么就说

yf(x)

在区间

I

上是单调增函数，

I

称为

yf(x)

的单调增区间

如果对于区间

I

内的任意两个值

x

1

，

x

2

，当

x

1

x

2

时，都有

f(x

1

)f(x

2

)

，那么就说

yf(x)

在区间

I

上是单调减函数，

I

称为

yf(x)

的单调减区间

（2）设函数

yf(x)

的定义域为

A

如果存在定值

x

0

A

，使得对于任意

xA

，有

f(x)f(x

0

)

恒成立，那么称

f(x

0

)

为

yf(x)

的最大值；

如果存在定值

x

0

A

，使得对于任意

xA

，有

f(x)f(x

0

)

恒成立，那么称

f(x

0

)

为

yf(x)

的最小值。

二、函数单调性的证明

重点：函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须

先求函数的定义域；

（1）定义法求单调性

函数单调性定义中的

x

1

，

x

2

有三个特征：一是任意性；二是大小，即

x

1

x

2

(x

1

x

2

)

；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；

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定义法判断单调性：如果用定义证明

yf(x)

在某区间

I

上的单

调性，那么就要用严格的四个步骤，即①取值；②作差；③判号（关键化成因式的乘积）；④

下结论。但是要注意，不能用区间

I

上的两个特殊值来代替。而要证明

yf(x)

在某区间

I

上

不是单调递增的，只要举出反例就可以了，即只要找到区间

I

上两个特殊的

x

1

，

x

2

，若

x

1

x

2

，

有

f(x

1

)f(x

2

)

即可。

例1. 求证：（1）函数

f(x)2x3x1

在区间

(,]

上是单调递增函数；

（2） 函数

f(x)2xx

在

R

上是单调递减函数；

（3）函数

f(x)

例题解析：（3）对于区间

(,1)

内的任意两个值

x

1

，

x

2

，且

x

1

x

2

，

因为

f(x

1

)f(x

2

)

3

2

3

4

2x1

在区间

(,1)

和

(1,)

上都是单调递增函数．

x1

2x

1

12x

2

13(x

1

x

2

)



，

x

1

1x

2

1(x

1

1)(x

2

1)

又

x

1

x

2

1

，则

x

1

x

2

0

，

(x

1

1)0

，

(x

2

1)0

得，

(x

1

1)(x

2

1)0

故

3(x

1

x

2

)

0

，即

f(x

1

)f(x

2

)0

，即

f(x

1

)f(x

2

)

．

(x

1

1)(x

2

1)

2x1

在区间

(,1)

上是单调增函数．

x1

2x1

同理，对于区间

(1,)

，函数

f(x)

是单调增函数；

x1

2x1

所以，函数

f(x)

在区间

(,1)

和

(1,)

上都是单调增函数．

x1

所以，函数

f(x)

例2.确定函数

f(x)

1

的单调性．

12x

特殊要点：函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数

y

1

分别在

x

(,0)

和

(0,)

内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即

(,0)(0,)

内是单调

递减的，只能说函数

y

1

的单调递减区间为

(,0)

和

(0,)

x

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三、复合函数及抽象函数的判定方法

①若

f(x)

与

g(x)

在定义域内都是增函数（减函数），那么

f(x)g(x)

在其公共定义域内是增

函数（减函数）。

②复合函数的单调性规则是“同增异减”——换元法

考查复合函数

yf(g(x))

的单调性.

设单调函数

yf(x)

为外层函数，

yg(x)

为内层函数

(1) 若

yf(x)

增，

yg(x)

增，则

yf(g(x))

增.

(2) 若

yf(x)

增，

yg(x)

减，则

yf(g(x))

减.

(3) 若

yf(x)

减，

yg(x)

减，则

yf(g(x))

增.

(4) 若

yf(x)

减，

yg(x)

增，则

yf(g(x))

减.

x

f(x)2

例1. 求函数

2

x2

的单调区间.

解题过程：

t

y2

外层函数：

内层函数：

txx2

2

y

1

x[,]

2

内层函数的单调增区间：

1

x[,]

2

内层函数的单调减区间：

由于外层函数为增函数

1

2

x

1

x[,]

2

所以，复合函数的增区间为：

1

x[,]

2

复合函数的减区间为：

例2.求函数

f(x)log

2

(xx2)

的单调区间.

解题过程：

外层函数：

ylog

2

t

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2

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内层函数：

txx2

2

滨湖区课外辅导教育专家

tx

2

x20

由图知：

内层函数的单调增区间：

x[1,]

内层函数的单调减区间：

x[,2]

由于外层函数为增函数

所以，复合函数的增区间为：

x[1,]

复合函数的减区间为：

x[,2]

y

2

o

1

x

检验：1．函数

f

x

log

2

4xx

2

的单调递减区间是（ ）

A．

(0,4)

; B．

(0,2)

; C．

(2,4)

; D．

(2,)

2．函数

ylog

1

(x

2

5x6)

的单调增区间为（ ）

2



；B．

(3，

A．

，

2)

)

；C．

，

；D．

(，

5

2

5

2

四、抽象函数单调性判断——定义法

关键：特殊值的使用

例题

.

设

f(x)

是定义在

R

上的函数，对

m

、

nR

恒有

f(mn)f(m)f(n)

，且当

x0

时，

0f(x)1

。

（

1

）求证：

f(0)1

；

（

2

）证明：

xR

时恒有

f(x)0

；

（

3

）求证：

f(x)

在

R

上是减函数；

（

4

）若

f(x)f(2x)1

，求

x

的范围。

1

111

解：

(1)

取

m=0

，

n=

则

f(0)f()f(0)

，因为

f()0

所以

f(0)1

2

222

(2)

设

x0

则

x0

由条件可知

f(x)o

又因为

1f(0)f(xx)f(x)f(x)0

，所以

f(x)0

∴

xR

时，恒有

f(x)0

（

3

）设

x

1

x

2

则

f(x

1

)f(x

2

)f(x

1

)f(x

2

x

1

x

1

)

=

f(x

1

)f(x

2

x

1

)f(x

1

)

=

f(x

1

)[1f(x

2

x

1

)]

因为

x

1

x

2

所以

x

2

x

1

0

所以

f(x

2

x

1

)1

即

1f(x

2

x

1

)0

又因为

f(x

1

)0

，所以

f(x

1

)[1f(x

2

x

1

)]0

所以

f(x

1

)f(x

2

)0

，即该函数在

R

上是减函数

.

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(4)

因为

f(x)f(2x)1

，所以

f(x)f(2x)f(2xx

2

)f(0)

所以

2xx

2

0

，所以

x的范围为x2或x0

滨湖区课外辅导教育专家

检验：1、设

f(x)

是定义在

(0,)

上的单调增函数，满足

f(xy)f(x)f(y),f(3)1

求：（1）f（1）；（2）当

f(x)f(x8)2

时x的取值范围.

2、 定义在R上的函数

yf(x)

，

f(0)0

，当x＞0时，

f(x)1

，且对任意的a、b∈R，有f

（a+b）=f（a）·f（b）.

（1）求证：f（0）=1；

（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；

（3）求证：f（x）是R上的增函数；

（4）若f（x）·f（2x－x

2

）＞1，求x的取值范围.

五、函数的值域求解——把握单调性以及单调区间

例题：1．函数

f(x)a

x

log

a

(x1)

在[0,1]

上的最大和最小值的和为

a

，则

a

=_______

y

2

2.作出函数

f(x)|x1|x

的图象，并根据函数图象写出函数的单调区间.

2

解:当

x1或x1

时,

yxx1

(x)

1

2

2

5

4

当

1x1

时,

yxx1(x_)

2

1

2

2

5

4

-1

由函数图象可以知道函数增区间为

(,1],[,1]

1

2

1

函数减区间为

[1,],[1,)

2

六、

对号函数——

f(x)

＝

x

＋

在

[

01

2

1

x

a

有如下性质：如果常数

a

＞0，那么该函数在

(

0，

a

]

上是减函数，

x

a

，＋∞

)

上是增函数．（利用单调性定义证明其单调性）

例题：

2

b

（1）如果函数

f(x)

＝

x

＋（

x

＞0）的值域为

[

6，＋∞

)

，求

b

的值；

x

c

（2）求函数

f(x)

＝

x

＋(

c

＞0)在区间

[1,2]

上的最小值；

x

c

2

（3）研究函数

f(x)

＝

x

＋

2

（常数

c

＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；

x

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课堂跟随练：

1.

函数

yx

2

|x|

的单调递减区间为

______.

[,0]和[,)

滨湖区课外辅导教育专家

1

2

1

2

2.

单调增函数

f(x)

对任意

x,yR

，满足

f(xy)f(x)f(y),若f(k3

x

)f(3

x

9

x

2)0

恒成立，则

k

的取值范围是

_______.

(,221)

3.

函数

y

＝

1

x2x80

2

的单调递增区间为

________.

(,8)

4.函数y＝

1, ＋1]

1x

1x

的递减区间是 (－

的递减区间是 (―∞, ―1)、(―1, ＋∞) ；

函数y＝

1x

1x

2

),

f

(

)，

3

2

5.已知函数

f(x)

在[0, π)上是递减函数，那么下列三个数

f(lg100)

,

f

(

6.(1) 证明：函数

y

(2)并判断函数

yx

(3)求函数

yx

x

在

[0,)

上是增函数，

x

在

[0,)

上的单调性

x

在区间[1，4]上的值域.

7.若

f(x)

是定义在

(0,)

上的增函数，且对于

x0

满足

f()f(x)f(y)

。

（1）求

f(1)

的值；（2）若

f(6)1

，试求解不等式

f(x3)f()2

。

答案：5、从大到小的顺序是

f

(

（2）因为

f(6)1

，所以

x

y

1

x

2

)>

f(lg100)

>

f

(

）

3

2

7、解：（1）令

xy0

，则

f(1)f(x)f(x)0

。

11

f(x3)f()2f(x3)f()2f(6)

xx

f[x(x3)]f(6)f(6)f[x(x3)]f(6)f(6)

x(x3)

f

f(6)

6

x(x3)x(x3)

0

，所以

6

， 由于

f(x)

是定义在

(0,)

上的增函数，且

66

3317

解得：

0x

。

2

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函数,单调,区间