高中数学函数的单调性知识点总结

2024年3月25日发(作者：中考数学试卷答题时间分配方法)

高中数学函数的单调性知识点总结

函数的单调性，指的是函数的在其定义域或某区间上的增减性。包括单调增

和单调减两种情况。

1.增函数和单调递增区间

一般地，设函数

f



x



的定义域为

I

，区间

DI

：如果

x

1

,x

2

D

，当

x

1

x

2

时，都有

f



x

1



f



x

2



，那么就称函数

f



x



在区间

D

上单调递增。

特别地，当函数f



x



在它的定义域上单调递增时，就称它是增函数。

图象特点：在区间

D

上，沿

x

轴正向从左向右看图象呈上升趋势。

2.减函数和单调递减区间

一般地，设函数

f



x



的定义域为

I

，区间

DI

：如果

x

1

,x

2

D

，当

x

1

x

2

时，都有f



x

1



f



x

2



，那么就称函数f



x



在区间

D

上单调递减。

特别地，当函数

f



x



在它的定义域上单调递减时，就称它是减函数。

图象特点：在区间

D

上，沿

x

轴正向从左向右看图象呈下降趋势。

3.定义法判断或证明函数单调性的步骤，可以归纳为：取值定大小，作差和变形，

定号给结论，3个关键步骤。

4. 复合函数的单调性

复合函数

yf



u



x





的单调性，遵循“同增异减”的原则.其中

yf



u



是外层函数，

uu



x



是内层函数,有以下几种情况：

①

yf



u



②

yf



u



③

yf



u



④

yf



u



，

uu



x



，

uu



x



，

uu



x



，

uu



x



，则

yf



u



x





，则

yf



u



x





，则

yf



u



x





，则

yf



u



x





；

；

；

；

【小结】内外层函数单调性相同时为增函数，单调性相反时为减函数。

例题：判断下列复合函数在

x



0,1



上的单调性。

（1）

yx

2

解：

x



0,1



时,

ux

2





0,1



。

外层函数:

yu

在

u



0,1



上单调增，

内层函数:

ux

2

在

x



0,1



上单调减。

内外层函数的单调性相反，∴复合函数

yx

2

在



0,1



上是减函数。

（2）

y

1

2

x2x

解：

x



0,1



时,

ux

2

2x



1,0



。

1

外层函数:

y

1

在

u



1,0



上单调减，

u

内层函数:

ux

2

2x

在

x



0,1



上单调减。

内外层函数的单调性相同，∴复合函数

y

（3）

ysinx

2

解：

x



0,1



时,

ux

2





0,1



。

外层函数:

ysinu

在

u



0,1



上单调增，

内层函数:

ux

2

在

x



0,1



上单调减。

1

在



0,1



上是增函数。

x

2

2x

内外层函数单调性相反，∴复合函数

ysinx

2

在



0,1



上是减函数。

5.如果函数

yf



x



在区间

D

上单调递增或单调递减，那么就说函数

yf



x



在

这一区间具有（严格的）单调性，区间

D

叫做

yf



x



的单调区间。

6.（1）函数

yf



x



在



a,b



上是增函数



任取

x

1

,x

2





a,b



，且

x

1

x

2

时，都有

f



x

1



f



x

2



成立。



任取

x

1

,x

2





a,b



，且

x

1

x

2

时，都有

f



x

1



f



x

2



成立。



任取x

1

,x

2





a,b



，且

x

1

x

2

时，都有



x

1

x

2







f



x

1



f



x

2







0

成立。

f



x

1



f



x

2



0

成立。



任取

x

1

,x

2





a,b



，且

x

1

x

2

时，都有

xx



12



（2）函数

yf



x



在



a,b



上是减函数



任取

x

1

,x

2





a,b



，且

x

1

x

2

时，都有

f



x

1



f



x

2



成立。



任取

x

1

,x

2





a,b



，且

x

1

x

2

时，都有

f



x

1



f



x

2



成立。



任取

x

1

,x

2





a,b



，且

x

1

x

2

时，都有



x

1

x

2







f



x

1



f



x

2







0

成立。



任取

x

1

,x

2





a,b



，且

x

1

x

2

时，都有

f



x

1



f



x

2



0

成立。



x

1

x

2



7.单调区间的端点问题：由于讨论在某一点处的单调性也没有意义，所以书写函

数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定（可开可闭）。习惯上，定

义域中含有端点时写成闭区间（也可写成开区间），但定义域中不含端点时，

只能写成开区间。如下面例题解析：

（1）

yx

2

的递增区间可以写成



0,



，也可以写成



0,



，

但是，一般都写成



0,



。

（2）

y

1

的递减区间，因为定义域中不含

0

，所以只能写成

x



,0



,



0,



。

【注】单调区间之间一般都不能“并”，要用逗号或“和”字隔开。

2