2024年3月25日发(作者：湖北高三四调数学试卷下载)
第3讲 函数的单调性
课时数量
适用的学生水平
2课时（120分钟）
√
☐优秀 ☐中等 ☐基础较差
理解函数的单调性定义，会根据函数图象写出单调区间并判断函数
单调性．
根据定义证明给定函数在指定区间上的单调性．
教学目标（考试要求）
能讨论简单复合函数的单调性．
渗透数形结合的数学思想，培养学生发现问题、分析问题、解决问
题的能力．
重点：函数的单调性定义，证明给定函数在指定区间上的单调性．
教学重点、难点
难点：复合函数的单调性分析．
建议教学方法
数形结合，讲练结合
资 料
教学内容
一、知识梳理
单调性定义
设函数
y
＝
f(x)
的定义域为A，区间
MA
.
x
，
y
同号，
平均变化率
x
y
＞0，
增函数；
x
，
y
异号，
x
平均变化率
y
减函数．
＜0，
如果取区间
M
上的任意两个值
x
1
,
x
2
，改变量
xx
2
x
1
＞0，则
当
yf(x
2
)f(x
1
)
＞0时，就称函数
f(x)
在区间
M
上是增函数；
当
yf(x
2
)f(x
1
)
＜0时，就称函数
f(x)
在区间
M
上是增函数．
如果一个函数在某个区间
M
上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区
间
M
上具有单调性（区间
M
称为单调区间）．
25
提 示
函数
f(x)
、
g(x)
公共定义域指
f(x)
的定义域与
g(x)
的定义域的交
集．
提 示
这一连串的看似
相同的结论，结合单
调函数的图象不难理
解．
二、方法归纳
在同一单调区间上，两个增（减）函数的和仍为增（减）函数，但单调性相
同的两个函数的积未必是增函数．
设
x
1
,x
2
a,b
，若有
（1）
f(x
1
)f(x
2
)
x
＞0，则有
f(x)在
a,b
上是增函数．
1
x
2
（2）
f(x
1
)f(x
2
)
x
＜0，则有
f(x)在
a,b
上是减函数．
1
x
2
在函数
f(x)
、
g(x)
公共定义域内，
增函数
f(x)
增函数
g(x)
是增函数；
减函数
f(x)
减函数
g(x)
是减函数；
增函数
f(x)
减函数
g(x)
是增函数；
减函数
f(x)
增函数
g(x)
是减函数．
函数的单调性常应用于如下三类问题：
（1）利用函数的单调性比较函数值的大小．
（2）利用函数的单调性解不等式，常见题型是，已知函数的单调性，给出两
个函数的大小，求含于自变量中的某个特定的系数，这时就应该利用函数的
单调性“脱”去抽象的函数“外衣”，以实现不等式间的转化．
（3）利用函数的单调性确定函数的值域，求函数的最大值和最小值．
若函数
yf(x)
在定义域
a,b
上递增，则函数值域为(
f(a)
，
f(b)
)；
若函数
yf(x)
在定义域
a,b
上递减,则函数值域为(
f(b)
，
f(a)
)；
若函数
yf(x)
在定义域
a,b
上递增，则函数值域为 [
f(a)
，
f(b)
] ；
若函数
yf(x)
在定义域
a,b
上递减，则函数值域为 [
f(b)
，
f(a)
]；
若函数
yf(x)
在定义域
a,b
上递增，则函数的最大值为
f(b)
，最小值为
f(a)
；
若函数
yf(x)
在定义域
a,b
上递减，则函数的最大值为
f(a)
，最小值为
26
f(b)
；
提 示
利用函数的单调
性求函数的值域．这
是求函数的值域的又
一种方法．
三、典型例题精讲
［例1］若
yax
与
y
b
3
x
在
0,
上都是减函数，对函数
yaxbx
的单
调性描述正确的是( )
A. 在
,
上是增函数 B. 在
0,
上是增函数
C. 在
,
上是减函数 D. 在
,0
上是增函数，在
0,
上是减函数
解析: 由函数
yax
在
0,
上是减函数，得
a
＜0，
又函数
y
b
x
在
0,
上是减函数，得
b
＜0，
于是，函数
ax
3
，
bx
在
,
上都是减函数，
∴ 函数
yax
3
bx
在
,
上是减函数，故选C．
【技巧提示】 熟悉函数
yax
，
yax
3
，
ybx
，
y
b
x
的单调性与
a
、
b
的符号的关系，就能正确的描述由它们组合而成的函数的单调性．
［例2］求函数
f(x)x1x3
的最大值．
解析：由
f(x)x1x3
4
x1x3
，
知函数
f(x)x1x3
在其定义域 [3，+ 上是减函数．
所以
f(x)x1x3
的最大值是
f(3)2
．
【技巧提示】 显然由
x1x3
4
x1x3
使得问题简单化，
当然函数定义域是必须考虑的．
又例 已知
x
0,1
，则函数
yx21x
的值域是 .
解析：∵
yx21x
在
x
0,1
上单调递增，
∴ 函数
yx21x
的值域是
f(0),f(1)
．
即
21,3
．
27
提 示
关于复合函数
及复合函数的单调
性问题，可由学生
先初步了解，待学
习基本初等函数
时，逐步积累，再
总结．
提 示
讨论给定函数
在指定区间上的单
调性，通常利用单
调性的定义。作差，
变形，判别符号是
常规步骤。
资 料
f(x)ax
b
x
(a0,b0)
被称
为对号函数．对号函
数是奇函数，其图象
是双曲线，
y
轴和直
线
yax
是其渐
近线．
再例 求函数
yx12x
的值域．
解析：∵
yx12x
在定义域
1
2
,
上是增函数，
∴ 函数
yx12x
的值域为
1
2
,
．
［例3］函数
f(x)
在R上为增函数，求函数
yf(x1)
单调递减区间．
解析：令
ux1
，则
u
在(－∞,－1
]
上递减，
又函数
f(x)
在R上为增函数，
∴ 函数
yf(x1)
单调递减区间为(－∞,－1
]
.
【技巧提示】 这是一个求复合函数的单调性的例子，同时又含有抽象函
数．只要知道函数
x1
的单调性，
yf(x1)
与
x1
的单调性和单调区间相
同．如果变函数
f(x)
在R上为减函数，那么函数
yf(x1)
的单调性与函数
x1
的单调性相反，即函数
yf(x1)
单调递增区间为(－∞,－1
]
.
又例 设函数
f(x)
在R上为减函数，求函数
yf(
1
x
)
单调区间．
再例 设函数
f(x)
在R上为增函数，且
f(x)
＞0，求证函数
y
1
f(x)
在R
上单调递减．
［例4］试判断函数
f(x)ax
b
x
(a0,b0)
在
0,
上的单调性
并给出证明.
解析：设
x
1
x
2
0
，
f
x
1
f
x
2
x
ax
1
x
2
b
1
x
2
x
由于
x
1
x
2
0
1
x
2
故当
x
b
x
b
1
,x
2
a
,
时
f
1
f
x
2
0
，此时函数
f
x
在
a
,
上增函数，同理可证函数
f
x
在
0,
b
a
上为减函数.
28
【技巧提示】
f(x)ax
b
要引起足够
(a0,b0)
是一种重要的函数模型，
x
b
b
,
a0,b0
的增函数区间为
a
x
的重视．事实上，函数
f
x
ax
b
b
b
和
减函数区间为
0,
但注意本题中不能说
f
x
a
,
，
和
a
,0
．
a
在
,
b
a
b
b
上为增函数，在
,
0,
a
a
b
a
,0
上为减函数,
在叙述函数的单调区间时不能在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”．
2
又例：求函数
y
x5
的最小值．
x
2
4
解析：由
y
x
2
5
x
2
4
x
2
4
1
x
2
4
u
1
g
u
,
u
2,
,用单
u
调性的定义法易证
g
u
u
2
1
在
2,
上是增函数，易求函数
y
x5
的
u
x
2
4
最小值为
5
为所求．
2
x
2
2xa
,x
1,
. 若对于
x
1,
,
f(x)
再例：已知函数
f
x
x
＞0恒成立，试求
a
的取值范围.
x
2
2xaa
解析：由
f(x)
＝
x2,x
1,
.
xx
当
a
＞0时，
f
x
x
a
2
显然有
f(x)
＞0 在
1.
恒成立；
x
x
2
2xaa
a
≤0时，由
f
x
x2,x
1,
知其为增函数，只需
xx
f(x)
的最小值
f(1)
＝3＋
a
＞0,解之，
a
＞－3.
∴当
a
＞－3时，
f(x)
＞0在
1,
上恒成立.
［例5］已知
f(x)
是定义在R上的增函数，对x∈R有
f(x)
＞0，且
f(10)
＝1，
设
F(x)
=
f(x)
1
，讨论
F(x)
的单调性，并证明你的结论．
f(x)
解析：在R上任取
x
1
、
x
2
，设
x
1
＜
x
2
，∴
f(x
2
)
＞
f(x
1
)
，
29
F(x
2
)F(x
1
)[f(x
2
)
11
][f(x
1
)]
f(x
2
)f(x
1
)
[f(x
2
)f(x
1
)][1
1
],
f(x
1
)f(x
2
)
∵
f(x)
是R上的增函数，且
f(10)
＝1，
∴当x＜10时0＜
f(x)
＜1，而当x＞10时
f(x)
＞1；
① 若
x
1
＜
x
2
＜10，则0＜
f(x
1
)
＜
f(x
2
)
＜1，
∴0＜
f(x
1
)f(x
2
)
＜1，
∴
1
1
＜0，
f(x
1
)f(x
2
)
∴
F(x
2
)
＜
F(x
1
)
；
②
x
2
＞
x
1
＞10，则
f(x
2
)
＞
f(x
1
)
＞1 ，
∴
f(x
1
)f(x
2
)
＞1，
∴
1
1
＞0，
f(x
1
)f(x
2
)
∴
F(x
2
)
＞
F(x
1
)
；
综上，
F(x)
在（－∞，10）为减函数，在（10，＋∞）为增函数.
【技巧提示】 该题属于判断抽象函数的单调性问题，用单调性定义解决是关
键．
［例6］已知
1
a1
，若
f(x)ax
2
2x1
在区间[1，3]上的最大值为
3
M(a)
，最小值为
N(a)
，令
g(a)M(a)N(a)
．
（1）求函数
g(a)
的表达式；
（2）判断函数
g(a)
在区间[
解析：（1）∵
为
x
1
，1]上的单调性，并求
g(a)
的最小值．
3
1
a1
∴ 函数
f
x
的图像为开口向上的抛物线，且对称轴
3
1
[1,3].
a
1
.
a
∴
f
x
有最小值
N(a)1
30
当2≤
111
≤3时，
a
[
,
],
f
(
x
)
有最大值
M
a
f
1
a1
；
a32
11
当1≤＜2时，a∈(
,1],f(x)
有最大值M（a）＝f(3)＝9a－5；
a2
111
a2(a),
a32
∴
g(a)
11
9a6(a1).
a2
（2）设
11
a
1
a
2
,
则
32
1
)0,g(a
1
)g(a
2
),
a
1
a
2
g(a
1
)g(a
2
)(a
1
a
2
)(1
∴
g(a)在[,]
上是减函数．
设
11
32
1
1
)0,g(a
1
)g(a
2
),
a
1
a
2
1,
则
g(a
1
)g(a
2
)(a
1
a
2
)(9
a
1
a
2
2
∴
g(a)在(,1]
上是增函数． ∴当
a
【技巧提示】 当知道对称轴为
x
1
2
11
时，
g
a
有最小值．
22
1
[1,3]
后，要求
f(x)ax
2
2x1
在区
a
间[1，3]上的最大值为
M(a)
，最小值为
N(a)
，就必须分类讨论．本题对培养学
生分类讨论的思想有很好的作用．第（2）问讨论一个分段函数的单调性并求最值，
也具有一定的典型性．
四、课后训练
1、函数
f(x)x
1
(x0)
的单调性描述，正确的是（ ）
x
A、在(－∞，＋∞)上是增函数；
B、在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是增函数；
C、在(－∞，－1)∪(1，＋∞)上是增函数；
D、在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数
2、证明函数
f
x
＝
x
在[0，＋∞）上是增函数．
2
3、证明函数
y4x
11
在
[,)
上是增函数．
x2
4、对于任意
xR
，函数
f
x
表示
x3
，
大者，则
f
x
的最小值是_____________.
31
31
x
，
x
2
4x3
中的较
22
5、已知函数
f(x)
、
g(x)
在R上是增函数，求证：
f(g(x))
在R上也是增函
数.
6、已知函数
f
x
x2x3
，那么（ ）
2
2
A．
yf
x
在区间
1,1
上是增函数
B．
yf
x
在区间
,1
上是增函数
C．
yf
x
在区间
1,1
上是减函数
D．
yf
x
在区间
,1
上是减函数
7、函数
f(x)
是定义在
[0,)
上的单调递减函数，则
f(1x)
的单调递增
区间是
8、函数
y
2
2x
2x
的递减区间是 ；函数
y
的
3x6
3x6
递减区间是
9、设
yf
x
是
R
上的减函数，则
yf
2
x3
的单调递减区间为
10、求函数
f(x)x2ax1
在区间
[0,2]
上的最值．
11、若函数
f(x)x2x2
当
x[t,t1]
时的最小值为
g(t)
，求函数
2
g(t)
当
t[3,2]
时的最值．
12、讨论函数
f(x)
＝
ax
(a0)
，在－1＜
x
＜1上的单调性．
2
x1
五、参考答案
1．D 2．略
3．解析：设
x
1
＞
x
2
≥
1
，
2
1
1
－（
4x
1
）
x
2
x
1
则
f(x
2
)
－
f(x
1
)
＝
4x
2
＝
4(x
2
x
1
)
x
1
x
2
4xx1
＝
(x
2
x
1
)
12
，
x
1
x
2
x
1
x
2
∵
x
2
x
1
0
，
x
1
x
2
1
， ∴
f(x
2
)
－
f(x
1
)
＜0
4
32
∴ 函数
y4x
4．2
11
在
[,)
上是增函数．
x2
5．证明：设
x
1
＞
x
2
，则
f(x
1
)
－
f(x
2
)
＞0，
g(x
1
)
－
g(x
2
)
＞0，
即
g(x
1
)
＞
g(x
2
)
于是
f(g(x
1
))
－
f(g(x
2
))
＞0
∴
f(g(x))
在R上也是增函数.
6．C 7．
[0,1]
8．
(,2)
和
(2,)
(2,2]
9．
[3,)
10．解析：函数
f(x)x2ax1(xa)(a1)
，
当
a0
时，
f(x)
在区间
[0,2]
上的最小值为
f
min
(x)
＝
f(0)
＝－1
f(x)
在区间
[0,2]
上的最大值为
f
max
(x)
＝
f(2)
＝
34a
；
当
0a1
时，
f(x)
在区间
[0,2]
上的最小值为
f
min
(x)
＝
(a1)
f(x)
在区间
[0,2]
上的最大值为
f
max
(x)
＝
f(2)
＝
34a
；
当
1a2
时，
f(x)
在区间
[0,2]
上的最小值为
f
min
(x)
＝
(a1)
f(x)
在区间
[0,2]
上的最大值为
f
max
(x)
＝
f(0)
＝－1；
当
a2
时，
f(x)
在区间上的最小值为
f
min
(x)
＝
f(2)
＝
34a
f(x)
在区间
[0,2]
上的最大值为
f
max
(x)
＝
f(0)
＝－1；
11．解析：因为函数
f(x)x2x2
＝
(x1)1
当
t
≤0时，最小值
g(t)
＝
f(t1)
＝
t1
；
当0＜
t
≤1时，最小值
g(t)
＝
f(1)
＝1；
当
t
＞1时，最小值
g(t)
＝
f(t)
＝
t2t2
；
2
2
22
222
2
2
t
2
1,t0
∴
g(t)
1,0t1
，
t
2
2t2,t1
33
g(t)
当
t[3,2]
时的最大值为
g(3)
＝10；最小值为
g(2)
＝5．
12．解析：函数
f(x)
＝
a
ax
＝
2
1
x1
x
x
作函数
g(x)x
1
，
g(x)
为奇函数且在
(1,0)
和
(0,1)
上都是增函数，
x
∴ 当
a
＜0时，
f(x)
在
(1,0)
和
(0,1)
上都是增函数；
当
a
＞0时，
f(x)
在
(1,0)
和
(0,1)
上都是减函数．
34
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