2020年安徽省安庆市高考数学二模试卷(理科)(有答案解析)

2023年11月14日发(作者：复读数学试卷评语大全)

2020年安徽省安庆市高考数学二模试卷（理科）

一、选择题（本大题共小题，共分）

1260.0

1.已知集合，，则

A. B. C. D.

2.已知为虚数单位，复数满足，则下列判断正确的是

iz

的虚部为

A. B. C. D.

zi

3.设：，：，则是成立的

pqpq

A. B.

充分不必要条件 必要不充分条件

C. D.

充分必要条件 既不充分也不必要条件

4.函数的大致图象是

A. B.

C. D.

5.等比数列的前项和为若，，则

n

A. B. C. D.

3240

6.改革开放多年来，城乡居民生活从解决温饱的物质需求为主逐渐转变到更多元化的精神追求，

40

消费结构明显优化．如图给出了年部分年份我国农村居民人均生活消费支出与恩格

尔系数恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重统计图．对所列年份进行分析，

则下列结论错误的是

第1页，共18页

A.

农村居民人均生活消费支出呈增长趋势

B.

农村居民人均食品支出总额呈增长趋势

C.

20112015

年至年农村居民人均生活消费支出增长最快

D.

20152017

年至年农村居民人均生活消费支出总额增长比率大于人均食品支出总额增长比率

FABCDABCDEAEFDEF

分别为，的中点，7.已知矩形，，，将四边形沿折起，

使，则过，，，，，六点的球的表面积为

ABCDEF

A. B. C. D.

个8.已知函数的最小正周期为，若将其图象沿轴向右平移

单位，所得图象关于对称，则实数的最小值为

x

m

A. B. C. D.

包括，但不包括年中哪些年份9.今年年是闰年．如图所示是判断

2000

年中年份是闰年的个数是 是闰年的程序框图，那么由框图可知，在

A. B. C. D.

241242243244

10.已知抛物线：的焦点为，准线与轴交于点，过点作圆

CFxKK

若，则的值为 的切线，切点分别为，

pA

A. B. C. D.

123

第2页，共18页

11.棱长为的正方体中，，分别为，

1PQBC

的中点，现有下列结论：；平面；

平面；四面体的体积等于其中正确

的是

恰有两个零点12.函数，，且则所在区间为

A.

B.

C.

D.

A. B. C. D.

二、填空题（本大题共小题，共分）

420.0

13.已知向量，，与的夹角为，则．

______

14.等差数列中，，是其前项和，则使取最大值的的值为．

nn______

15.鞋匠刀形是一种特殊的图形，古希腊数学家阿基米德发现该图形有许多优美的性质．如图，若

点为线段的三等分点且，分别以线段，，为直径且在同侧作半

CABABACBCAB

圆，则这三个半圆周所围成的图形称为鞋匠刀形即图中阴影部分现等可能地从以为直径

AB

的半圆内任取一点，则该点落在鞋匠刀形内的概率为．

______

16.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，一条渐近线方程记为

C

，直线：，与双曲线在第一象限内交于点，若

lCP

则双曲线的离心率为．

C______

三、解答题（本大题共小题，共分）

782.0

17.在中，角，，所对的边分别是，，，且．

ABCabc

Ⅰ求角的大小；

B

Ⅱ若的周长等于，面积等于，求，，的值．

15abc

第3页，共18页

18.如图，在四面体中，是线段的中点，

ABCDEAD

，，．

Ⅰ证明：；

Ⅱ求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

BECDEC

19.某小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超

市采取有力措施保障居民正常生活的物资供应．为做好日常生活必需的甲类物资的供应，超市

对社区居民户每天对甲类物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图如图．

从小区超市某天购买甲类物资的居民户中任意选取户．

5

若将频率视为概率，求至少有两户购买量在单位：的概率是多少？

若抽取的户中购买量在单位：的户数为户，从户中选出户进行生活情况调

5253

查，记户中需求量在单位：的户数为，求的分布列和期望；

3

将某户某天购买甲类物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于时，则

将该居民户称为“迫切需求户”，若从小区某天购买甲类物资的居民户中随机抽取户，且抽

10

到户为“迫切需求户”的可能性最大，试求的值．

kk

第4页，共18页

20.已知椭圆的离心率为，是的右焦点，过点的直线交于点

FEFE

和点当直线与轴垂直时，．

ABx

Ⅰ求椭圆的方程；

E

Ⅱ设直线：交轴于点，过点作轴的平行线交直线于点求证：直线

lxGBxlAC

过线段的中点．

FG

21.已知函数．

Ⅰ讨论的单调性；

Ⅱ当时，对任意的，，且，都有，

求实数的取值范围．

m

22.在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同

x

的长度单位．已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为

Cl

为参数．

Ⅰ求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

lC

Ⅱ若直线与曲线交于，两点，，且，求的值．

lCAB

第5页，共18页

23.已知，，且．

恒成立，求实数的取值范围； Ⅰ若对于任意的正数，，不等式

xab

Ⅱ证明：．

第6页，共18页

-------- 答案与解析 --------

1.

答案：

A

解析：解：集合，

，

．

故选：．

A

求出集合，，由此能求出．

AB

考查集合的表示方法和集合交集的运算，同时也考查一元一次不等式、一元二次不等式解集的计算

方法．

2.

答案：

C

解析：解：，

其虚部为，错；

1A

，错；

B

，正确；

C

，错误．

D

故选：．

C

先整理已知的复数，再根据复数的概念、运算及其性质即可判断结论．

本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的概念、运算及其性质，共轭复数的概念，是基

础题．

3.

答案：

A

解析：解：：，：，则．

p

所以是成立的充分不必要条件．

pq

故选：．

A

利用对数函数、指数函数的性质分别化简，，即可判断出关系．

pq

本题考查对数函数、指数函数的性质，简单的逻辑用语．考查考生的计算能力，属于基础题．

4.

答案：

A

解析：解：函数的定义域为，且为偶函数，排除选项，；

CD

当时，，排除，

B

故选：．

A

利用函数的定义域及周期性可排除，利用时，可排除，由此得出正确选项．

CDB

本题考查函数的概念、奇偶性，考查考生对函数图象的分析及计算能力，属于基础题．

5.

答案：

B

第7页，共18页

解析：解：设公比为，，，，，

q

又，，解得，，，．

故选：．

B

由题设条件求出等比数列的首项与公比，然后求出结果，选出正确选项．

本题考查等比数列的概念、通项公式与前项和公式等基础知识，属于基础题．

n

6.

答案：

D

解析：解：从图中可以看出，农村居民人均生活消费支出呈增长趋势，故正确；

A

根据“农村居民人均食品支出总额农村居民人均生活消费支出恩格尔系数”，计算可得农村居

民人均食品支出总额呈增长趋势，故正确；

B

年份

农村居民人均生活消费

支出

恩格尔系数

农村居民人均食品支出

总额

农村居民人均生活消费

支出比较上一统计数据

的增长量

1983198719911995199920032007201120152017

2122834927368959422016340874869050

67616156525052494243

71209244159471074139240781564

471

201120154078C

年至年农村居民人均生活消费支出增长元，为最快；故正确；

20152017

年到年农村居民人均生活消费支出增长比率为，人均食品支出总

额增长比率为，

故错误．

D

故选：．

D

根据图表数据进行判断，求增长速度，增长率，进行判断．

本题考查统计图的应用，考查学生“读图识图”的能力和从统计图中提取数据的能力，属于中档题．

7.

答案：

D

解析：解：折起的如图所示，其中，分别为正方形和的中心，

AEFDBCFE

OABCDEFGEF

为过，，，，，六点的球的球心，为中点，

则，分别垂直于这两个平面，且，

所以，

而，

所以，

所以球的表面积为．

故选：．

D

根据已知条件画出示意图，求出球的半径即可求解结论．

第8页，共18页

本题主要考查了直棱柱和球的相关概念，考查了考生逻辑推理能力、运算求解能力以及分析问题和

解决问题的能力．

8.

答案：

B

解析：解：，由其最小正周期为，，所以，

将其图象沿轴向右平移个单位，所得图象对应函数为，

x

因为其图象关于对称，则有，

，解得，

由，实数的最小值为．

m

故选：．

B

先利用降幂公式将函数式化简为的形式，然后利用图象变换的规律求出变换

后的解析式，最后利用函数的最值的性质求出的值．

m

本题考查考生对正弦型三角函数的图象与性质对称性、周期性、单调性的掌握情况．考查考生对

三角函数三种表征零点、对称轴、单调性的理解与转换．考查考生对三角函数的数形结合思想、

基于三角函数的逻辑推理能力及运算求解能力．

9.

答案：

C

解析：解：根据框图可知，判断是闰年的条件是年份能被整除但不能被整除，或者能被

4100400

整除．

由，得，所以在年中，年份能被整除个数是．

同理可得，在年中，年份能被、整除个数分别是和，所以闰年的个数为

，

故选：．

C

根据流程图的，判断其意义，进行判断．

本题考查考生对程序框图基本逻辑结构的理解和掌握，考查算法的含义和算法思想，属于基础题．

10.

答案：

C

解析：解：连接，因为就是圆的圆心，

FAF

所以，且．

又，所以，那么，

所以． 是等边三角形，所以

又，所以．

故选：．

C

连接，通过是圆的圆心，结合图形，，通过求解是等边

FAF

4250

100400103

三角形，推出结果．

考查抛物线的标准方程、焦点、准线以及圆有关的概念，考查数形结合的思维方法和考生对数量关

第9页，共18页

系的分析能力．

11.

答案：

C

解析：解：如图，取

1AD

中点，连接与，

MMQ

则，平面

，则与异

PQ

面，矛盾，故错误；如图

2CDR

，取中点，易得平面

平面，故

正确；若正确，则

，则，矛盾，故错误；

如图，故正确．

2

故选：．

C

如图，取中点，连接与，说明与异面，判断；如图，取中点，

1ADMMQPQ2CDR

推出平面平面，判断；通过，则，推出矛盾，判断；

利用体积求解判断．

本题侧重于考查考生对立体几何中的直线与直线、直线与平面的位置关系以及空间几何体的体积的

计算，考查考生的空间想象能力和转化能力．

12.

答案：

D

解析：解：当时，不符合题意；

当时，考查函数与图象易知，与图象在区间上必有一

个交点，

则在区间上有且仅有一个公共点，

当时，，，

则在上单调递增，在上单调递减，

所以，则只需，故，

当时，，易知，，

可知．

第10页，共18页

故选：．

D

结合导数分析函数的特征性质，然后结合函数图象的基本趋势及零点判定定理进行求解即可．

本题考查对数函数的概念与性质，考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力以及综合运用数学知识

灵活解决问题的能力，考查数形结合的思想，属于中档题．．

13.

答案：

3

解析：解：根据题意，向量，则，

又由与的夹角为，则，则有，

； 变形可得：

故答案为：

3

根据题意，求出的值，由数量积的计算性质可得，变形

分析可得答案．

本题考查平面向量数量积的计算，涉及向量的坐标以及向量的模的计算，属于基础题．

14.

答案：

16

解析：解：方法：设公差为，，

1d

得，

，即．

又，．

等差数列中，时，取得最大值．

方法：设公差为，由，

2d

得，故，即．

又因为，其对应为二次函数的图象开口向下，

对称轴为，，故时，取得最大值．

故答案为：．

16

直接套用等差数列的通项公式，化简题中不等式，根据等差数列的基本性质或二次函数的最值来求

解的最大值．

本题考查等差数列的通项公式和前项和最值的求解，对考生的逻辑推理能力、运算求解能力有一

n

定要求．

第11页，共18页

15.

答案：

解析：解：设，，则，，

于是阴影部分的面积为，

于是所求概率为．

故答案为：．

分别求出各自的面积，转化为面积比即可．

本题考查几何概型与几何概率的计算，考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力以及分析问题和解

决问题的能力．

16.

答案：

解析：解：如图，延长交直线于点

M

，

则由角平分线的性质可得为的中点，，

P

求得，， ，代入双曲线

有，解得．

故答案为：．

交直线由题意画出图形，延长于点，可得为的中点，

MP

，求得点坐标，进一步求得点坐标，把点坐标代入双曲线方程即可求得双

MPP

曲线的离心率．

本题考查双曲线的定义、标准方程、焦点等相关概念，考查数形结合的思维方法和考生对数量关系

的分析能力，是中档题．

17.

答案：解：Ⅰ由，

根据正弦定理得，

根据余弦定理得，由，所以．

Ⅱ由，得又，

由Ⅰ知，所以，

化简得得，，或者，．

第12页，共18页

所以，，，或者，，．

解析：由已知结合正弦定理及余弦定理可求，进而可求；

cosBB

由已知结合三角形的面积公式可求，结合的结论可求．

ac

本题考查正弦定理、余弦定理和考生对面积公式的合理选用情况，考查考生的运算求解能力．

18.

答案：解：Ⅰ证明：取线段的中点，连接，．

BDFEFCF

因为是线段的中点，所以又，所以

EAD

．

因为，是的中点，所以．

FBD

因为平面，平面，，所以

ECFECF

平面，而平面，所以．

ECFECF

Ⅱ解法一：令，则，

那么，，所以

又，，故可以点为原点，射线、、分别为轴、轴、轴正方向，

，所以．

FFCFDFExyz

，，，建立空间直角坐标系，如图所示．则

，

所以，，．

，， 设平面、平面的法向量别为

BECDEC

由，得，取，则．

由，得，取，则．

所以．

故平面与平面所成锐二面角的余弦值为．

BECDEC

解法二：令，由已知及Ⅰ得，所以，均为

棱长为的正三角形．

a

第13页，共18页

取中点，则，，故为二面角的平面角，在

CEG

中，，， ，由余弦定理可得：

故平面与平面所成锐二面角的余弦值为．

BECDEC

解析：Ⅰ取线段的中点，连接，证明推出平面，然后证明

BDFEFECF

．

Ⅱ解法一：令，点为原点，射线、、分别为轴、轴、轴正

FFCFDFExyz

方向，建立空间直角坐标系，如图所示．求出平面、平面的法向量，利用空间向量的数量

BECDEC

积求解平面与平面所成锐二面角的余弦值．

BECDEC

解法二：令，取中点，则，，说明为二面

CEG

角的平面角，利用余弦定理转化求解，平面与平面所成锐二面角的余弦值

BECDEC

即可．

本题综合考查立体几何的基本知识、基本思想和基本方法，通过空间的直线与直线、直线与平面、

平面与平面的位置关系考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力，通过二面角的概念及计算考查考

生的运算求解能力．

解：由题意，事件“从小区超市购买甲类物资的居民户中任意选取户，购买量在”答案：

1

19.

发生的概率为．

”为，记事件“从小区超市购买甲类物资的居民户中任意选取户，则至少有两户购买量在

A5

则．

随机变量所有可能的取值为，，则，，

01

，

所以．

012

每天对甲类物资的购买量平均值为

，

则购买甲类生活物资为“迫切需求户”的购买量为，从小区随机抽取中随机抽取一户为“迫切

需求户”的概率为，若从小区随机抽取户，且抽到户为“迫切需求户”，则∽

10XX

，故，若户的可能性最大，则

k

，得，

解得，由于，故．

第14页，共18页

解析：事件“从小区超市购买甲类物资的居民户中任意选取户，购买量在”发生的概率

为．

1

记事件“从小区超市购买甲类物资的居民户中任意选取户，则至少有两户购买量在”为，

5A

利用独立重复实验的概率求解即可．

随机变量所有可能的取值为，，求出概率得到分布列，然后求解期望．

01

每天对甲类物资的购买量平均值，求出从小区随机抽取中随机抽取一户为“迫切需求户”的概

率为，判断∽，通过若户的可能性最大，列出不等式组，求解即可．

Xkk

本题考查统计与概率的基础知识和基本思想方法、二项分布的知识和应用、样本估计总体的思想与

方法、随机事件概率的计算以及随机变量期望的概率的计算与应用，考查考生应用所学的统计与概

率知识分析问题、解决问题的能力．

20.

答案：解：Ⅰ由，得，所以．

因为直线经过点，且，

ABF

当直线与轴垂直时，，则，且，

ABx

所以，故，得，所以，．

所以椭圆的方程为．

E

Ⅱ由Ⅰ有直线：，故，因为，则线段的中点为．

lGFG

当直线与轴垂直时，，，且，

ABx

故，，，

A

，即这时直线的方程为．

AC

令，得，所以直线过线段的中点．

ACFG

，代入， 当直线不与轴垂直时，可设其方程为

ABx

整理得．

所以，．

因为，，，所以直线的方程为．

因为，，

所以

AC

，这说明直线过点．

AC

第15页，共18页

综上，可知直线过线段的中点．

ACFG

解析：Ⅰ通过离心率推出，结合，转化求解，求解椭圆的方程．

Ⅱ求出，，得到线段的中点为当直线与轴垂直时，说明直线

FGABx

baE

，代入，过线段的中点．当直线不与轴垂直时，可设其方程为

推出直利用韦达定理设，，，求出的方程为

ACFGABx

AC

线系方程，说明直线过线段的中点．

ACFG

本题主要考查椭圆的方程、离心率以及直线与椭圆的位置关系，考查数形结合的数学思想和考生的

逻辑思维能力与运算求解能力以及应用解析几何方法解决几何问题的能力．

21.

答案：解：Ⅰ．

当时，，在上单调递增；

当时，，

所以当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减；

当时，，在上单调递减，

Ⅱ当时，，不妨设，

则，考察函数，得等价于

，

令，，则时，，

时，，所以在区间上是单调递增函数，

在区间， 上是单调递减函数．故

所以在上单调递减．

从而，即，故，

所以，即恒成立，

设，则在上恒为单调递减函数，

从而恒成立，故，

第16页，共18页

故．

解析：Ⅰ求出导函数，通过当时，当时，当时，判断导函数的符

号，判断函数的单调性即可．

Ⅱ当时，，不妨设，则等

价于，考察函数，求出导函数，令，

再求解导函数，判断函数的单调性．求出函数的最值，说明在上单调递减．得到

恒成立，设，则在上恒为单调递减函数，

然后转化求解的范围即可．

m

本题考查导数公式和导数运算法则以及恒成立的思想，考查考生灵活运用导数工具分析问题、解决

问题的能力，综合考查考生的分类讨论思想以及逻辑推理能力、运算求解能力和推理论证能力．

22.

答案：解；Ⅰ由直线的参数方程消去参数，得直线的普通方程为，

ltl

将，代入，

得曲线的普通方程为．

C

Ⅱ设，对应的参数为，将代入，

AB

得，所以，．

由于直线过，且，所以，．

l

于是，故．

解析：Ⅰ相切参数方程中的，即可得到直线的普通方程和，利用，代入

tl

，即可化简曲线的极坐标方程为直角坐标方程；

C

Ⅱ利用直线参数方程的几何意义，结合韦达定理，化简求解的值．

本题考查极坐标方程，参数方程的的应用，直线参数方程的几何意义，考查转化思想以及计算能力，

是中档题．

23.

答案：解：Ⅰ因为，所以

即，当且仅当时取等号，因此的最小值是．

于是，所以．

． 故实数的取值范围是

4

x

Ⅱ证明：

第17页，共18页

，

当且仅当时取等号．故．

解析：Ⅰ利用基本不等式转化求解的最小值，然后转化求解不等式，即可实数的取值范

围；

Ⅱ：展开，通过构造法，结合基本不等式求解不等式的最小值，即可证明不等式．

x

本题考查考生对绝对值不等式的理解和转化以及对绝对值函数的运算求解能力，考查绝对值不等式

的性质，考查利用平均不等式证明相关不等式的方法．

第18页，共18页